La variabile casuale (v.c.) è un modello matematico in grado di interpretare gli esperimenti casuali. Infatti gli eventi elementari  che compongono lo spazio campionario  possono essere di qualunque natura (“T” e “C” nel lancio della moneta, “m” e “f” nella previsione del sesso del nascituro, “figura”, “cuori”, “fiori” nell’estrazione da un mazzo di carte ecc.). Da qui l’esigenza di uno strumento che trasformi gli eventi elementari    in numeri reali x   sui quali è possibile usare la matematica. Nella “trasformazione” non si deve trascurare che: a) ad ogni evento elementare    è associata una probabilità; b) qualunque insieme di eventi elementari rappresenta un evento (compreso l’insieme vuoto che rappresenta l’evento impossibile) con associata la propria probabilità. La v.c. è tale strumento. 3) VARIABILI CASUALI 3.1) Significato e definizione

IMMAGINE E CONTROIMMAGINE Ogni elemento  in , tramite la funzione X(  ), trova una “immagine” in un punto di ascissa x della retta R. Può accadere anche che la stessa ascissa x sia l’immagine in R di più elementi  di , ad esempio se più oggetti degli n precedenti hanno lo stesso numero x. Tali oggetti formano un sottoinsieme E di , che è a sua volta un elemento dell’insieme delle parti   al quale la funzione P ha assegnato la probabilità P(E). L’ascissa x di R ha quindi la sua controimmagine nell’elemento E di   e di conseguenza si assegna ad x la probabilità che la funzione P ha attribuito ad E, cioè: P (X = x) = P (E)

con adottando a volte anche la notazione  (x i )=P(X=x i ). Si dirà inoltre che la v.c. X assume i valori x 1,…,x i,…,x n, dove per motivi di semplicità si pone x 1 <…<x i <…<x n, con “funzione di probabilità” (f.p.)  (x i ), (i=1,…,n). Ricordiamoci comunque che: i valori x 1,…,x i,…,x n formano lo spazio numerico indicato in precedenza con  R e tale spazio rappresenta l’insieme delle immagini in R di eventi le cui controimmagini sono elementi di  .  (x) è la funzione che assume quali valori le probabilità relative all’elemento o agli elementi di   la cui immagine sull’asse R è rappresentata dall’ascissa x. Una variabile casuale verrà intesa come l’insieme delle coppie di valori:

Sotto il profilo grafico il comportamento della f.p.  (x) è del tipo:  (x) x xnxn xixi x2x2 x1x1 0 cioè  (x) è costantemente nulla ad eccezione dei punti di ascissa x 1,…,x i,…,x n in cui effettua salti pari alla probabilità  (x 1 ),…,  (x i ),…,  (x n ).

La v.c. X è una funzione con dominio nello spazio campionario  e codominio in . X assegna ad ogni    uno ed un solo numero reale x  , detto “valore o determinazione di X”; un numero reale x   può avere più di una controimmagine in  e l’insieme di tali controimmagini rappresenta un evento (o un evento elementare, o l’evento impossibile). Esempio 1:  =lancio contemporaneo di una moneta e di un dado regolari X = “punteggio del dado - n. croci” è una v.c.. Essa ha dominio in  e codominio in , poiché ad ogni evento elementare    associa un numero x  .

 1T 2T 3T 4T 5T 6T 1C 2C 3C 4C 5C 6C X Quindi X ha “trasformato” gli eventi elementari in numeri. In tale trasformazione ha conservato le probabilità associate a . Infatti: P (X = 0) = P (1C) = 1/12 P (X = 1) = P (1T) + P (2C) = 2/12 = 1/6 … P (X = 5) = P (5T) + P (6C) = 2/12 = 1/6 P (X = 6) = P (6T) = 1/12 Infine qualunque numero reale x   ha come controimmagine un evento (o un evento ele-mentare o l’evento impossibile). Ad esempio, la controimmagine, attraverso X, del numero 5 è l’evento {5T, 6C}= “esce 5 e T oppure esce 6 e C”; la controimmagine, attraverso X, del nu-mero 0 è l’evento elementare {1C} = “esce 1 e C”; la controimmagine, attra-verso X, del nu-mero 8 è l’evento impossibile {} = .

Definizione: ad ogni v.c. X è associata la f.r.  (x) così definita:  (x)= probabilità che X assuma valori inferiori o uguali al numero x = P (X  x) = P{(- ,x]}= Proprietà della f.r.: 1.e infatti la definizione di  (x) mette in luce che si tratta di una probabilità. 2. Fissati due numeri x e y con x < y allora  (x)  (y), cioè la f.r. è monotona non decrescente. (Le proprietà 1 e 2 garantiscono che la f.r. assume valori compresi tra 0 e 1). 3. La f.r. gode della proprietà matematica della continuità (puntuale). In particolare è continua (almeno) a “destra”, cioè: 3.2) Funzione di ripartizione (f.r.)

Osservazione: la f.r. è utile, ad esempio, per cal-colare la seguente probabilità: dati 2 numeri a e b, con a<b si ha: P (a<X<b) = P (X  b) - P (X  a) =  (b) -  (a) in quanto: da cui: e graficamente:  (x) x xnxn xixi x2x2 x1x

che è una funzione a gradini del tipo: Osservazione: la f.r. è utile, ad esempio, per cal- colare la seguente probabilità: dati 2 numeri a e b, con a<b si ha: P (a<X<b) = P (X  b) - P (X  a) =  (b) -  (a)

X è v.c. discreta se il suo dominio  è un insieme finito o infinito numerabile. Caratteristiche di una v.c. discreta 1. L’insieme dei valori x assumibili dalla v.c. X è finito o infinito numerabile. 2. Generalmente le determinazioni x di X sono numeri interi. 3. Le probabilità associate alla v.c. X sono interpretate da una funzione detta di probabilità. 3.3) V.c. discrete e continue

X è v.c. continua se il suo dominio  è un insieme infinito non numerabile cioè con la potenza del continuo. 1. L’insieme dei valori x assumibili dalla v.c. X è infinito non numerabile (ad esempio coincide con  o con un intervallo). 2. Perdono di significato i singoli punti x ed è necessario procedere con riferimento ad intervalli. 3. Le probabilità associate alla v.c. X sono interpretate da una funzione detta di densità. Esempio 2: la v.c. dell’esempio 1 è discreta perché assume i 7 valori x = 0,1,2,3,4,5,6. La v.c. interprete del peso dei neonati che na- sceranno nella prossima ora nella clinica XXX della città YYY è uin esempio di v.c. continua. Il peso dei neonati è infatti un numero x appar- tenente ad un intervallo di , ad esempio x  (2000, 5000) grammi.

V.c. continue La figura mostra un esempio di funzione di densità di probabilità, dove in ascissa ci sono le X ed in ordinata le densità associate ai valori di X. La curva continua deriva dai rettangoli facendo tendere a 0 la base degli stessi.

1. 0<p(x)  1 Infatti la definizione di p(x) mette in luce che si tratta di una probabilità 2. La somma delle probabilità associate a tutti i valori x   della v.c. X vale 1. Tale somma coincide, infatti, con P(  ). Esempio 1 (continua): la v.c. X = “punteggio del dado - n. delle croci” è v.c. discreta perché può assumere i soli valori x = 0,1,2,...,6. X ha f.p.: 3.4) Funzione di probabilità (f.p.)

con 0  p(x)  1 e X ha anche f.r.:  (x) = P (X  x) = Ad esempio con a = 3 e b = 5 si ha: P(a<X  b) = P(3<X  5) =  (5)-  (3) = = [p(5) + p(4) + p(3) + p(2) + p(1) + p(0)] - [p(3) + p(2) + p(1) + p(0)] = p(5) + p(4) = =1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Osservazione: (3<X  5) rappresenta l’evento {4T, 5C, 5T, 6C}.

Se X è una v.c. continua, le probabilità che rimangono associate ai valori di X sono interpretate dall’area sottesa a una funzione  (x) detta f.d. Esempio 3: sia X la v.c. che assume i valori x dell’intervallo [0,4]. Allora x è v.c. continua. Sia La f.d. di X. Graficamente  (x) è composta dai 3 segmenti:  (x) x ++ -- ) Funzione di densità (f.d.)

L’area sottesa a tali segmenti esprime la probabilità associata all’insieme di valori di X. Ad esempio:  (x) x ++ -- P(1  X  3) = (3 - 1)  0.25 = 0.5 Osservazioni: l’area totale sottesa a  (x) è pari a 1 e coincide con P(  ); (1  X  3) rappresenta un evento; poiché X è continua le probabilità puntuali sono nulle. Infatti: P(X = x) = area sottesa ad un punto di  (x) = 0 poiché l’area sottesa ad un punto è, come si intuisce, nulla. È per tale motivo che nel caso continuo occorre procedere con riferimento ad intervalli; per l’osservazione precedente gli eventi (a  X  b), (a  X < b) e (a < X < b)hanno tutti la stessa probabilità, poiché, ad esempio, P(a  X  b) = P(a < X < b) + P(X = a) + P( X = b) = P(a < X < b) ; anche la v.c. X continua ha associata la f.r.  (x) = P(X  x). Poiché i valori minori o uguali a x rappresentano l’intervallo (- , x] allora la f.r. per x continua è rappresentata dall’area sottesa alla f.d.  (x) a sinistra del punto x.

Esempio 3 (continua)  (x) x ++ -- x  (x) = P(X  x) = (x - 0)  0.25 = 0.25 x

Se X è continua il calcolo del valore atteso richiede l’operazione di integrale che è strumento non contemplato tra gli obbiettivi di questo eserciziario. Il valore atteso  (media) di una v.c. X è un numero che informa sull’ordine di grandezza e sulla “tendenza centrale” (baricentro) di X. La media  della v.c. X si calcola attraverso l’operazione E(X) che è diversa a seconda che X sia discreta o continua. Se X è discreta l’operazione E(X) consiste nel sommare tutti i prodotti fra i valori di x ed il corrispondente valore della funzione di probabilità p(x). Formalmente: 3.6) Valore atteso (media) di una v.c.

È quindi possibile scambiare tra loro i simboli  e E comunque siano le v.c. X i sommate. Esempio 1 (continua) la media della v.c. X = “punteggio del dado - n. di croci” è = 0  1/  1/6 + 2  1/6 + 3  1/6 + 4  1/  1/6 + 6  1/12 = 36/12 = 3.

Esempio 1 (continua): la varianza della v.c. X = “punteggio del dado - n. di croci” è: = (0 - 3) 2  1/12 + (1 - 3) 2  1/6 + + (3 - 3) 2  1/6 + (4 - 3) 2  1/6 + (5 - 3) 2  1/6 + + (6 - 3) 2  1/12 = 38/12 = 3.16 La varianza  2 = V(X) di una v.c. Xè un numero positivo che informa circa la dispersione dei valori X intorno alla media  ed è così definita: V(X) si calcola attraverso l’operazione di valore atteso E. ad esempio, se X è discreta si ha: 3.7) Varianza di una v.c.