Fisici sul mercato Introduzione alla finanza quantitativa Leonardo Bellucci 3 Dicembre 2008

Un primo sguardo: mondo binomiale Outline I modelli in finanza Un primo sguardo: mondo binomiale Il principio: Black-Scholes e le sue formulazioni Il modello di Heston

Esiste una sola legge, la legge del prezzo unico: Models in Finance Esiste una sola legge, la legge del prezzo unico: Due strumenti con gli stessi flussi futuri, qualunque futuro si realizzi, devono avere lo stesso prezzo. E. Derman replication no-arbitrage

Models in Finance I modelli hanno quindi due compiti fondamentali. Identificare strategie di replica (statica/dinamica): semplici complessi Permettere ai traders di sfruttare le loro opinioni: opinioni prezzi

Market Money Market Account Asset Derivative CALL PUT

Call Diritto ad acquistare, al tempo T, l’asset S al prezzo K.

Toy Model Evoluzione su un time-step, tutte le quantità note

Toy Model Call su S con maturity T1, strike K=100 ? NO!

No-Arbitrage Pricing Portafoglio in S e B piuttosto che call.

No-Arbitrage Pricing Opportuna scelta di a e b  strategia di replica della call: Per la legge del singolo prezzo: !

Risk-neutral measure Riarrangiando la formula di pricing: Dalla misura reale a quella risk-neutral:

The Black-Scholes model Money Market Account Asset Normalità dei ritorni (logaritmici) Discretizzazione di Itô

Stratonovich vs Itô La forma differenziale non è ben definita (integrale stocastico): Stratonovich Itô Discretizzazione Non anticipatore

The Black-Scholes model Option Applicando il lemma di Itô:

The Black-Scholes model Portafoglio costituito da call e asset: L’evoluzione del valore del portafoglio è data da: no m no risk delta

The Black-Scholes model Essendo risk-less: Uguagliando con la precedente: Black-Scholes PDE

The Black-Scholes model Supponendo tassi nulli: La volatilità realizzata è indipendete dal path !

BS: PDE approach Tramite una serie di cambi di variabile la BS-PDE può essere ricondotta all’equazione del calore e risolta: Vol implicita: Formula di BS come metrica

BS: MC approach Il teorema di Feynman-Kac permette di formulare il problema come valore atteso: Valutazione Monte Carlo da simulazione diretta del processo. Possibilità di gestire strumenti non analitici.

BS: SC approach La determinazione della strategia di hedge, e quindi del prezzo, è un problema di controllo ottimo (stocastico): Variabile di controllo: Funzione costo: La soluzione in tempo continuo del problema è:

BS: success Ipotesi ragionevoli: realistico Semplice e intuitivo: gedanken experiment Non solo formula di prezzo: strategia di hedge Unico parametro “opinabile”: volatilità implicita Assunzioni chiare: aggiustamenti intuitivi

INNOVAZIONE MODELLISTICA Quant’s activities Variazioni fenomenologia Nuovi prodotti (su nuovi rischi) INNOVAZIONE MODELLISTICA Approfondimento implicazioni fisiche Sviluppo aspetti analitici/numerici

Quant’s activities HESTON MODEL Smile Path-dependent, barrier options Calibrazione, soluzione MC e PDE Dinamica dello smile, strategie di hedge

The Heston model Anche la volatilità è una variabile stocastica. Si assume che la volatilità segua un processo di Ornstein-Uhlenbeck, da cui un processo di tipo CIR per la varianza. Il mercato non è completo.

The Heston model Risolvendo il processo CIR: Il processo è non negativo: : strettamente positivo. : 0 è una barriera riflettente.

The Heston model : evoluzione deterministica. : variabilità della volatilità. : correlazione fra i processi.

The Heston model : componente deterministica. : distribuzione di vol - variance. : distribuzione di vol - skewness.

Heston: calibration Il primo requisito di un modello è che recuperi i fenomeni elementari direttamente osservabili sul mercato. Non costanza (smile) della volatilità implicita Non-lognormalità della distribuzione dell’asset

Heston: calibration Queste informazioni sono contenute nelle quotazioni delle opzioni plain-vanilla (call/put). Il problema della calibrazione è quindi un problema di minimizzazione nello spazio dei parametri del modello. Dove p() è una funzione di regolarizzazione e c() è una funzione di constraints nello spazio dei parametri. Tecniche di ottimizzazione

Heston: analytical solution Una calibrazione efficiente richiede la soluzione analitica del problema di valutazione delle plain-vanilla. Per la call:

Heston: analytical solution Passando in trasformata di Fourier: L’integrale complesso della funzione caratteristica può essere ridotto ad un integrale sulla parte reale: Dove G è la funzione generatrice dei momenti.

Heston: pricing Un modello di smile permette di valutare strumenti non trattabili in maniera chiara nel modello di Black. Come esempio possiamo considerare una barrier option: Call up&out, strike K1, barriera K2. Il prodotto si comporta come una call plain-vanilla con strike K1, ma se il sottostante sale sopra K2 viene cancellata. Non risolvibile analiticamente, MC o PDE.

Heston: MC approach La simulazione del sottostante a tutte le date rilevanti di vita del prodotto è ancora un problema aperto. Aderenza al processo Prestazioni Schema di Eulero: Il processo discreto per V può diventare negativo.

Heston: MC approach Schema di Broadie-Kaya: Molto costoso da un punto di vista computazionale. Schemi di dicretizzazione

Heston: PDE approach PDE: Equazione convettivo-diffusiva in due variabili con termine in derivata mista.

Heston: PDE approach Anche per semplici plain-vanilla (call/put), le condizioni al contorno possono essere difficili da trattare: Schemi di risoluzione e condizioni al contorno per prodotti complessi

Heston: delta hedge Portafoglio con una call con strike K1 e una call con strike K2, sullo stesso sottostante. I due delta sono confrontabili/additivi? Non nel modello di Black-Scholes: Si suppone una variabilità dello stesso sottostante diversa nelle due valutazioni.

Heston: delta hedge Un modello di smile, come quello di Heston, permette di trattare i due casi in maniera omogenea. Intuitivamente, il delta è dato da: Delta di Black-Scholes Correzione per variazione dello smile generato dal modello

Heston: delta hedge La determinazione del delta è affrontabile in maniera rigorosa come problema di controllo ottimo. Si riesce a dimostrare che:

Heston: vega hedge La volatilità è stocastica… …hedge anche sulla volatilità (vega) e non solo sul sottostante (delta) Non coerente con le ipotesi di Black-Scholes Significatività del vega Problema di confrontabilità/additività Un modello di smile permette un approccio coerente.

Heston: vega hedge Calcolo del vega rispetto ai parametri del modello. Problema di rappresentazione se vengono usati più modelli per vari strumenti sullo stesso sottostante. Via SVD ci si riconduce ad un “vega di Black”:

Heston: vega hedge Calcolo del vega su scenari predefiniti e basket di hedge, rendendo più intuitivo il metodo precedente. Definizione dei componenti del portafoglio di hedge. Definizione di scenari di variazione dello smile. Calcolo delle variazioni di prezzo dello strumento esotico e del basket di hedge. Selezionare i pesi del portafoglio di hedge per minimizzare le differenze fra le variazioni. Il vega è il “vega di Black” del portafoglio di hedge.

Heston: vega hedge L’approccio precedente dovrebbe poter essere affrontato con le metodologie delle strategie di controllo ottimo. Selezione del portafoglio di hedge ottimale. Stima dell’effettiva replicabilità. Stima dell’incertezza dei profitti. L’utilizzo del controllo ottimo per questi fini è un argomento di frontiera

Heston: smile dynamics Le più recenti strutture esotiche sono sensibili non solo alla configurazione attuale dello smile, ma soprattutto alle sue realizzazioni future. Napoleon Cliquet: Un’analisi approfondita del comportamento di questa opzione mostra che si comporta come una put sulla volatilità futura.

Heston: smile dynamics Nel modello di Heston la dinamica dello smile è determinata dal processo che abbiamo scelto per la volatilità: sticky strike sticky delta

Heston: smile dynamics L’informazione sulla dinamica non può essere ricavata dallo smile delle plain-vanilla: queste dipendono solo dalla distribuzione terminale del sottostante, e non da quelle condizionali. Il mercato tende ad alternare i due regimi: sticky strike su scale di tempo brevi, sticky delta su orizzonti temporali lunghi. Come formalizzare un modello in cui la dinamica dello smile è uno dei “parametri” del modello stesso? Un modello di dinamica dello smile è uno dei temi dell’attuale ricerca.

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