La probabilità

Concetti di base Probabilità Grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova Esempio Numero che appare sulla faccia superiore del dado dopo averlo lanciato

Concetti primitivi di probabilità La prova è un esperimento Che ha due o più possibili risultati La prova Per evento si intende uno dei possibili risultati della prova L’evento La probabilità è un numero compreso tra 0 ed 1 che misura il grado di incertezza sul verificarsi di un evento La probabilità

Prova, evento e probabilità In una data prova, l’evento E si verifica con probabilità P(E) Esempio: Nel lancio di un dado (ben bilanciato) La faccia contrassegnata dal numero 5 (E=5) si presenta con probabilità P(E=5)=1/6

Eventi e Algebra di Eventi Gli eventi formano una algebra di Boole Postulato 1 Dato il postulato 1 sono definite le seguenti operazioni: La negazione di un evento A, ossia A L’intersezione tra due eventi A e B, ossia A  B L’unione tra due eventi A e B, ossia A  B

Eventi Definizione due eventi rilevanti: 6 Eventi Definizione due eventi rilevanti: Evento impossibile: è l’evento che non può mai verificarsi e può essere definito come Evento certo, ossia l’evento che si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dell’esperimento. Può essere definito Al lancio di un dado esce la faccia 0 Al lancio di una moneta esce T o C Due eventi A e B, si dicono incompatibili (o mutualmente esclusivi o disgiunti) se

A A B A B

Proprietà assiomatiche della probabilità La probabilità è una funzione di insieme che associa a ogni evento EiE un numero reale. La probabilità sarà indicata con P(Ei) P(A)0 Postulato 2 P()=1 Postulato 3 [A  B = ø]  [P(A U B)=P(A)+P(B)] Postulato 4

Esperimento casuale Evento è un sottinsieme di S E’ ogni processo la cui singola esecuzione (prova) dà luogo a un risultato non prevedibile. Esempio: Lancio di una moneta 3 volte S= Spazio campionario= Eventi elementari Evento è un sottinsieme di S

Spazio campionario E2 E1 E4 E3 E8 E5 E6 E7 F A E2 E1 E4 E3 E8 E5 E6 E7 L’evento è un sottinsieme delle spazio campionario.

E3 E1 E4 E2 E8 E5 E6 E7

La probabilità dell’intersezione è sommata due volte!

DEFINIZIONI DI PROBABILITA’ Classica: è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, supposto che questi siano equiprobabili (di Laplace) Frequentista: è la frequenza relativa con cui l’evento si verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto condizioni simili (di Von Mises) Soggettivista: è il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni al verificarsi dell’evento

Probabilità condizionate e indipendenza n. dei casi favorevoli ad (A  B) n. dei casi favorevoli a B P(AB)= ossia P(AB)= P(A  B) P(B) Si definisce probabilità condizionata di A dato B il rapporto tra la probabilità dell’evento (A  B) e la probabilità dell’evento B

Probabilità condizionata Si vuol calcolare la probabilità dell’evento e4 rispetto allo spazio campionario S’ E è il nuovo spazio campionario S’ e3 e1 e4 e2 e8 e5 e6 e7

Principio delle probabilità composte 16 Dati 2 eventi A e B tali che P(A)>0 e P(B)>0 : P (A  B) =P(A) P(B|A)= P(B)P(A|B) Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di B non influenza la probabilità di A e il verificarsi di A non influenza la probabilità di B P (A|B) =P(A) P(B|A) = P(B) da cui si ricava

Probabilità a posteriori: Teorema di Bayes Probabilità a posteriori: Teorema di Bayes

poichè P(B1|A1) = 1 – P(B2|A1) = 0,9 Esempio 18 P(A1) = 0,1 prob. di estrarre un individuo malato P(A2) = 0,9 prob. di estrarre un individuo sano P(B1|A2) = 0,2 prob. che il test dia un falso-positivo P(B2|A1) = 0,1 prob. che il test dia un falso-negativo Determinare: P(A1|B1) = probabilità che un individuo positivo al test sia effettivamente malato poichè P(B1|A1) = 1 – P(B2|A1) = 0,9

Esempio (continua) 19

20/100=0.2 Tipo A 60/100=0.6 adulto 40/100=0.4 Tipo non A 100 14/100=0.14 Tipo A giovane 40/100=0.4 Tipo non A 26/100=0.26

Esercizio Excel

La distribuzione di probabilità X è la variabile casuale “numero di T in tre lanci di una moneta” S=

Variabili casuali discrete: Distribuzioni di probabilità

Variabili casuali continue: Funzione di densità Immaginiamo di avere un carattere statistico continuo e di rappresentarlo tramite istogramma con 8 classi di ampiezza finita

Variabili casuali continue: Funzione di densità Man mano che aumentiamo il numero delle classi, si riduce l’ampiezza della classe. Al limite, l’ampiezza della classe diviene infinitesima e il poligono di frequenza si approssima con una linea continua. Tale linea si chiama funzione di densità di frequenza in quanto l’ordinata non è altro che l’altezza dei rettangoli che compongo l’istogramma

Alcune distribuzioni teoriche La distribuzione binomiale (discreta) La curva di Gauss o Normale (continua)

Distribuzione binomiale Esperimento bernulliano: esperimento casuale che ammette due soli esiti possibili, successo e insuccesso. Esempio: lancio di una moneta, condizione di malattia p è la probabilità di successo. q=1-p è la probabilità di insuccesso Hanno distribuzione binomiale: La variabile casuale X definita come “numero di successi su n prove” ha distribuzione binomiale La variabile casuale F definita come “frequenza relativa di successo su n prove” Esempio: La probabilità che un paziente guarisca da una determinata malattia è p=0.60. Determinare la probabilità che su 5 pazienti ne guariscano esattamente 3

G=guarito NG= non guarito Si tratta di un esperimento bernulliano con p=0.60 e q=0.40 Considerando gruppi di 5 pazienti, possiamo avere le seguenti combinazioni (G,G,G,NG,NG) (G,NG,NG,G,G) … Ogni combinazione è il prodotto di eventi indipendenti. In tutto le combinazioni sono:

La prima combinazione ha probabilità: La seconda combinazione ha probabilità: Tutte e 10 le combinazioni possibili hanno probabilità Quindi, la probabilità di x successi su n prove è: Tornando all’esempio:

Statistiche della distribuzione binomiale Simmetria della distribuzione binomiale All’aumentare di n e a prescindere da p, la distribuzione binomiale tende ad essere simmetrica e si può approssimare con la curva Normale N(np,np(1-p)) per X e N(p, p(1-p)/n) per F

Esempio: con p=0.15 Prob(almeno 2 successi su 5 prove)= Prob(x≥2)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) Prob(meno di 2 successi su 7 prove)= Prob(x<2)=P(X=0)+P(X=1) Prob(fra 3 e 5 successi su 7 prove)= Prob(3≤x ≤ 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)