Università di Roma Tor Vergata, A.A. 2009/2010 Corso di Fisica II/2 (già Fisica 4 – Ottica) Prof. R. Pizzoferrato Università di Roma Tor Vergata, A.A. 2009/2010

Programma A.A. 2009/2010 Cap. I Le onde elettromagnetiche. Cap. II Le onde nei materiali. Cap. III Effetti alle discontinuità: rifrazione e riflessione. Cap. IV Ottica geometrica. Sistemi e strumenti ottici. Cap. V Ottica fisica: interferenza. Cap. VI Ottica fisica: diffrazione. Cap. VII Ottica dei materiali. Colorimetria. Sorgenti e rivelatori. Testi di riferimento: Testi di Fisica generale, ad esempio: P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci “Elementi di Fisica: Onde” EdiSES R. Blum, D.E. Roller “Fisica vol. secondo” Zanichelli Ed. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker “ Elettrologia, Magnetismo, Ottica Testi di consultazione: F.W. Sears, "Ottica" Casa Editrice Ambrosiana E. Persico, "Ottica", Zanichelli

CAP. I Le onde elettromagnetiche 1. Introduzione 2. Richiami sulle eq. di Maxwell e le onde elettromagnetiche 3. Caratteristiche spaziali delle onde. La polarizzazione 4. Caratteristiche temporali delle onde

1. INTRODUZIONE: perché l’Ottica? PER CAPIRE I FENOMENI NATURALI STUDIO DELLE PROPRIETA’ DEI MATERIALI APPLICAZIONI DI FENOMENI E PROCESSI OTTICI

1. BREVISSIMA STORIA DELL’OTTICA 300 a.C. Euclide scrive “Ottica” 1609 Keplero inventa il telescopio 1621 Legge di Snell (rifrazione) 1672 Teoria corpuscolare e dei colori di I. Newton 1801 Young dimostra l’interferenza e ipotizza onde trasversali 1849 Fizeau misura c con metodi terrestri 1864 Teoria ondulatoria: Equazioni di Maxwell Einstein ipotizza l’esistenza del fotone 1960 Realizzazione del primo LASER Cominciamo da qui e torniamo indietro

LE EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO 2.a RIPASSO LE EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO (ovvero: da dove nascono le onde elettromagnetiche) nel S.I. Ampere Faraday-Neumann Lenz B solenoidale Gauss Eq. di continuità inoltre: Forza di Lorentz

2.b LE EQUAZIONI DI MAXWELL NELLA MATERIA Materiali omogenei, isotropi e lineari Come nel vuoto con:

nel caso di discontinuità del materiale valgono le seguenti: condizioni di raccordo alle superfici n E2 t E1 es. vetro es. aria

In ottica alcune semplificazioni: 1) rlib = 0 2) Jcond = 0 3) M = 0 (m @ m0) sicuramente valide nel vuoto e nei materiali “ottici” (dielettrici trasparenti) (adottate nel seguito del corso) descrivono i campi dove non ci sono sorgenti

2c LE ONDE ELETTROMAGNETICHE Prendiamo il rotore della II eq.: II) III) da un’identità di operatori e utilizzando la III): IV) quindi, dalla I): ovvero: equazioni delle onde

Si osservi l’analogia: 2c LE ONDE ELETTROMAGNETICHE Si osservi l’analogia: Eq. onde di campo elettrico Eq. onde elastiche (acustica, ecc)

- - In sostanza, una variazione locale di E: per via delle: II) III) IV) per via delle: + si propaga nello spazio circostante secondo la: - +

Si opera analogamente con il vettore B e si ottiene: II) III) IV) equazioni delle onde tridimensionali per E e B (onde elettromagnetiche) (2) a) b) insieme:

onda elettromagnetica rappresentazione intuiva onda elettromagnetica E(t)

soluzioni: onde tridimensionali vettoriali Prendiamo un campo alla volta: equazione vettoriale tridimensionale 3 equazioni differenziali scalari tridimensionali! soluzioni: onde tridimensionali vettoriali

Alcune considerazioni generali: sono equazioni alle derivate parziali lineari la combinazione lineare di due soluzioni è anch’essa soluzione (vale il principio di sovrapposizione)

soluzioni: onde tridimensionali scalari per ognuna delle componenti Cominciamo con una sola componente: Per esempio x (3) soluzioni: onde tridimensionali scalari per ognuna delle componenti (es. di onde scalari: le onde acustiche)

CARATTERISTICHE DELLE ONDE E.M. CARATTERISTICHE SPAZIALI: 1) forma del fronte d’onda 2) polarizzazione CARATTERISTICHE TEMPORALI: 1) onde monocromatiche e quasi-monocrom. 2) spettro di frequenza

3. CARATTERISTICHE SPAZIALI DELLE ONDE Richiamiamo cosa succede in una dimensione: dalla matematica: soluzione generale monodimensionale (4) F(x-vt), G(x+vt) qualsiasi! ESEMPI:

si noti la simmetria x « vt PROPAGAZIONE DELLE ONDE (4) si noti la simmetria x « vt propagazione! f x v F(x, t) F(x, t + Dt)

f x f x una funzione di x che si propaga con velocità v onde scalari unidimensionali una funzione di x che si propaga con velocità v F(x - vt) onda progressiva Ep(x - vt) v f F(x, t) F(x, t + t) x insieme a una che si propaga con velocità -v f x -v G(x + vt) onda regressiva Er(x + vt) G(x, t+t) G(x,t)

f x per il campo E: dipende dal materiale nel vuoto: onde scalari unidimensionali le ampiezze relative dipendono dalle condizioni iniziali f v F(x) -v G(x) x per il campo E: dipende dal materiale nel vuoto:

approfondimento - dimostrazione Dimostriamo che: infatti: dw dG du dF dx x f + = ÷ ø ö ç è æ ¶ 2 dw G d du F dx x f + = ÷ ø ö ç è æ ¶ dw dG du dF dt t f v - + = ÷ ø ö ç è æ ¶ 2 v - x f dw G d du F dt t ¶ = ÷ ø ö ç è æ +

in realtà lo spazio è tridimensionale idem per le altre componenti più varietà di soluzioni onde con fronte d’onda: a) piano b) sferico c) cilindrico d) irregolare

def. fronte d’onda: E(x, y, z, t0) = cost onde scalari 3D def. fronte d’onda: E(x, y, z, t0) = cost varie soluzioni: a) onda piana E(x, y, z, t0) = cost v x y z fronte d’onda

a) onda piana def. fronte d’onda: E(x, y, z, t0) = cost onde scalari 3D def. fronte d’onda: E(x, y, z, t0) = cost varie soluzioni: a) onda piana E(t2) E(t3) E(t4) E(t1) = cost x y z v fronti d’onda

b) onda sferica fronti d’onda x y » onda piana onde scalari 3D E(r,t3)

Onde vettoriali: la polarizzazione Comunque il campo E è un vettore a tre componenti E(t) Ex Ez Ey soluzioni vettoriali ï î í ì

prendiamo, per esempio: onde vettoriali Come variano le componenti e quindi la direzione di E? E º E(z, t) onda piana propagantesi lungo z prendiamo, per esempio: x y z v E(z, t) E(z, t+Dt1) E= cost. E(z, t+Dt2)

vettore d’onda E ^ v E ^ k quindi: onde trasversali onde vettoriali la scelta E º E(z, t) implica: poiché: Ez non appartiene a un’onda propagante e, dalla III eq. di Maxwell: quindi: Ep,r(z, t) = Ex(z, t) i + Ey(z, t) j vettore d’onda E ^ v E ^ k onde trasversali (per qualsiasi fronte d’onda)

E ^ B B ^ v, k vettore d’onda analogamente, per B º B(z, t): ovvero: k onde vettoriali analogamente, per B º B(z, t): B ^ v, k scegliendo (polarizzazione lineare lungo x) dalla II eq. di Maxwell si ha: ovvero: E ^ B E B k la tripletta dei vettori x z y vettore d’onda

il campo varia lungo una direzione costante polarizzazione lineare Come varia la direzione del campo? 1) Polarizzazione lineare Ex Ey Ez +E -E E(t) il campo varia lungo una direzione costante (varia solo il modulo) direzione di polarizzazione onda polarizzata linearmente (es: lungo x) x y z v

polarizzazione lineare considerando anche B: v x osservatore fisso E B z y

polarizzazione lineare considerando il fronte d’onda: E º Ex(z, t)i onda piana polarizzata lungo x e propagantesi lungo z E(z+Dz, t) E(z, t) x v v v E z y

il campo ruota lungo un’ellisse (cerchio) polarizzazione ellittica 2) Polarizzazione ellittica destra Ex E(t) il campo ruota lungo un’ellisse (cerchio) Ez Ey onda polarizzata ellitticamente (nel piano x,y) x y z v sinistra

il campo ruota lungo un’ellisse (cerchio) polarizzazione ellittica polarizzazione ellittica di un’onda piana il campo ruota lungo un’ellisse (cerchio) E(z+Dz, t) E(z, t) v x E z y

la direzione varia casualmente (ma rimane sul piano trasversale) onde non polarizzate 3) onde non polarizzate E(t) Ex la direzione varia casualmente (ma rimane sul piano trasversale) Ez Ey onda non polarizzata x y z v

rivelazione e misura della polarizzazione i polarizzatori

polarizzazione rivelazione, misura e applicazioni della polarizzazione – filtri polarizzatori

polarizzazione applicazioni della misura della polarizzazione: Fotoelasticità: misura dello stress nei materiali

inoltre dalla I e dalla II eq. di Maxwell: polarizzazione inoltre dalla I e dalla II eq. di Maxwell: e ponendo: e si ha: ovvero:

in conclusione: nel vuoto: impedenza caratteristica onde piane vettoriali in conclusione: impedenza caratteristica nel vuoto:

Riepilogo E ^ B ^ k onde trasversali nel vuoto equazioni delle onde onde vettoriali tridimensionali Eq. di Maxwell onde con diversi fronti d’onda 1) piano 2) sferico polarizzazione dei campi E ^ B ^ k onde trasversali nel vuoto

5. CARATTERISTICHE TEMPORALI DELLE ONDE A) onde impulsive E = F(z - vt) = F(z - ct) B = F(z - ct)/c (nel vuoto: v = c) F(z - ct) limitata in z e in t x y z v E B nello spazio osservatore fisso nel tempo E t

B) onde sinusoidali (armoniche) infinite: E(z, t) = E0 cos(kz - wt ) B(z, t) = B0 cos(kz - wt ) E0 , B0 ampiezze onde monocromatiche k numero d’onda nello spazio w pulsazione o frequenza angolare x l lunghezza d’onda v E l B z y

w pulsazione o frequenza angolare onde sinusoidali infinite: E(z, t) = E0 cos(kz - wt ) B) B(z, t) = B0 cos(kz - wt ) nello spazio x v E onde monocromatiche z B y E t nel tempo l E0 , B0 ampiezze w pulsazione o frequenza angolare k numero d’onda l lunghezza d’onda inserendo le B) nell’equazione d’onda:

Il campo di frequenze delle onde elettromagnetiche E(z, t) = E0 cos(kz - wt) = E0cos(kz - 2pnt) LUNGHEZZA D’ONDA l (m) 100 10-5 10-10 10-15 RADIOFREQUENZE RAGGI GAMMA MICROONDE RAGGI X INFRAROSSO VISIBILE UV RADIO TV 105 1010 1015 1020 1025 FREQUENZA n (Hz)

L’intervallo del visibile: 380 – 750 nm (Ottica) LUNGHEZZA D’ONDA l (m) 100 10-5 10-10 10-15 RADIOFREQUENZE RAGGI GAMMA MICROONDE VISIBILE RAGGI X INFRAROSSO UV RADIO TV 105 1010 1015 1020 1025 FREQUENZA n (Hz) I R U V 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 LUNGHEZZA D’ONDA l (mm) L’intervallo del visibile: 380 – 750 nm (Ottica) es. “doppietto del sodio”: l1 = 589.0 nm l2 = 589.6 nm

in modo più pittoresco:

è ovvio che: E(z, t) = E0 cos(kz - wt ) onde monocromatiche nel tempo Ex è ovvio che: E(z, t) = E0 cos(kz - wt ) si può scrivere anche esplicitando k = w/c t Inoltre, si possono usare i fasori: onda piana che si propaga lungo z

comunque, è sempre: eventualmente c’è una fase iniziale: t t onde monocromatiche Ex eventualmente c’è una fase iniziale: t Ex t comunque, è sempre:

onda piana che si propaga lungo x onde monocromatiche oppure: onda piana che si propaga lungo x oppure: onda piana che si propaga lungo y

onde monocromatiche più in generale: onda piana che si propaga lungo la direzione definita da k e polarizzata lungo E0 z x y

onde monocromatiche e, per un’onda sferica: x E(r, t) r z y

1) 2) inoltre, si noti che: Ex(z, t) = E0x cos(kz - wt) onde monocromatiche inoltre, si noti che: Ex , Ey in fase Ex Ex(z, t) = E0x cos(kz - wt) Ey(z, t) = E0y cos(kz - wt) 1) z polarizzazione lineare Ey Ex(z, t) = E0x cos(kz - wt) Ey(z, t) = E0y sen(kz - wt) Ex z Ey polarizzazione ellittica 2) Ex , Ey in quadratura

Esercizio 1.1 Scrivere in forma vettoriale l’espressione del campo elettrico di un’onda elettromagnetica piana di frequenza angolare , polarizzata linearmente lungo una direzione a 45° con l’asse z, che si propaga lungo l’asse y, con un’ampiezza E0.

Esercizio 1.2 Si scriva l’espressione delle componenti del campo elettrico di un’onda monocromatica di lunghezza d’onda  e polarizzata ellitticamente che si propaga lungo la direzione z.

caratteristiche temporali C) onde quasi monocromatiche (pacchetti d’onda) E(z, t) = E(z - ct)cos(kz - t) nello spazio c E(z- ct) E z cos(t - kz)

z il pacchetto d’onda rappresentato coi fasori: caratteristiche temporali il pacchetto d’onda rappresentato coi fasori: E z c nello spazio E(z-ct) nel tempo E t e, per un osservatore fisso (p.e. a z = 0): E(ct)

caratteristiche temporali D) Radiazione (“onde”) a spettro continuo nel tempo E t E(z, t) = ?

consideriamo la somma di funzioni armoniche a frequenze multiple Teorema di Fourier per l’analisi di una forma d’onda periodica consideriamo la somma di funzioni armoniche a frequenze multiple E(t) = E1 cos(wt ) E(t) = E2 cos(2wt ) + E(t) = E3 cos(3wt ) + E(t) = E4 cos(4wt ) + E(t) = E5 cos(5wt ) + = E1 = E3 = E5 = E7 E(t) = E1 cos(wt )+ E2 cos(2wt )+..... Serie di Fourier

consideriamo la somma delle sole armoniche dispari Teorema di Fourier per l’analisi di una forma d’onda periodica consideriamo la somma delle sole armoniche dispari E(t) = E1 cos(wt ) + E(t) = E3 cos(3wt ) + E(t) = E5 cos(5wt ) + E(t) = E7 cos(7wt ) = E(t) = E1 cos(wt )+ E3 cos(3wt )+..... E1 = E3 = E5 = E7

influenza dei coefficienti sulla somma delle sole armoniche dispari E1 = 3E3 = 3E5 = 3E7 influenza dei coefficienti sulla somma delle sole armoniche dispari E1 = E3 = E5 = E7 + = + + + =

+ + + = rappresentazione dei coefficienti di Fourier E(t) = E1 cos(wt ) + + E(t) = E3 cos(3wt ) + E(t) = E5 cos(5wt ) E(t) = E7 cos(7wt ) = dal dominio del tempo al domino delle frequenze “spettro” di frequenze E(t) En(w) w 3w 5w 7w w t

rappresentazione dei coefficienti di Fourier spettro di frequenze E(t) En(w) w 3w 5w 7w w t t 3w w En(w) 5w 7w spettro di frequenze

caratteristiche temporali nel tempo E(t) per forme d’onda non periodiche: t diventa: integrale di Fourier che definisce la grandezza complessa “Trasformata di Fourier”

t w e si definisce: Spettro della radiazione (Spettro di potenza, caratteristiche temporali e si definisce: Spettro della radiazione (Spettro di potenza, Intensità spettrale) I(w) w spettro della radiazione t E(t) nel tempo

si osservi la corrispondenza: caratteristiche temporali si osservi la corrispondenza: nel tempo I(w) w t E(t) wc Dw I(w) w wc E t Dw Dtc

si osservi la corrispondenza: caratteristiche temporali si osservi la corrispondenza: lo spettro nel tempo pacchetto d’onde I()   tc E t I()  0 E t onda monocromatica

si ricordi la relazione fra l e w I(w) Û I(l) 105 1015 1010 1020 1025 FREQUENZA n (Hz) LUNGHEZZA D’ONDA l (m) 100 10-10 10-5 10-15 RADIOFREQUENZE RADIO TV MICROONDE VISIBILE INFRAROSSO UV RAGGI X RAGGI GAMMA

LUNGHEZZA D’ONDA l (mm) L’intervallo del visibile: 380 – 750 nm 100 10-5 10-10 10-15 RADIOFREQUENZE RAGGI GAMMA MICROONDE VISIBILE RAGGI X INFRAROSSO UV RADIO TV 105 1010 1015 1020 1025 FREQUENZA n (Hz) I R U V 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 LUNGHEZZA D’ONDA l (mm) L’intervallo del visibile: 380 – 750 nm

Spettri di potenza di radiazione emessa da sorgenti Spettro corpo nero Spettro emissione del corpo nero visibile [m] Spettro luce solare I(w) Û I(l)

Per le frequenze del visibile lo spettro di potenza corrisponde al colore percepito I(w) Û I(l) I(l) I(l)

suddivisione della radiazione ultravioletta LUNGHEZZA D’ONDA l (mm) I R U V 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 LUNGHEZZA D’ONDA l (mm) UV-A: 380 – 320 nm invecchiamento della pelle (rughe) UV-B: 320 – 280 nm danni al DNA: melanoma UV-C: 280 – 100 nm (bloccati dall’atmosfera) germicidi

spettro della radiazione Riepilogo onde impulsive E = F(z - vt) = F(z - ct) Onde monocromatiche: piane sferiche Ex(z, t) = E0x cos(kz - wt) Ey(z, t) = E0y cos(kz - wt) E0 , B0 ampiezze w pulsazione o frequenza angolare k numero d’onda l lunghezza d’onda Onde a spettro continuo spettro della radiazione I(w) Dw