Geometria Solida Poliedri Prima parte

Geometria Solida La Geometria solida è la geometria dello spazio tridimensionale, il tipo di spazio in cui viviamo ...

Geometria Solida 3 dimensioni (3D) Si chiama tridimensionale, o 3D, perché ci sono tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza.

Geometria Solida Semplici forme Cominciamo ad osservare alcune dei solidi più semplici.

Geometria Solida Semplici forme Cubo Parallelepipedo

Geometria Solida Semplici forme Prisma Piramide

Geometria Solida Semplici forme Sfera Cilindro Cono

Geometria Solida I solidi hanno: Proprietà I solidi hanno: Volume (pensate a quanta acqua può contenere un cilindro). Superficie (pensate alla zona che si può dipingere di un cubo). Alcuni (i poliedri) hanno un certo numero di facce, spigoli e vertici.

Geometria Solida Ci sono due tipi di solidi: Poliedri e non poliedri Ci sono due tipi di solidi: i poliedri che hanno facce piane poligonali; i non poliedri che hanno facce non poligonali.

Geometria solida Poliedri Un poliedro è un solido delimitato da facce piane (dal greco poli- che significa "molti" e -edron che significa "faccia").

Le superfici delle facce di un poliedro sono dei poligoni! Geometria solida Poliedri Le superfici delle facce di un poliedro sono dei poligoni! Esempi di poliedri: Cubo Tetraedro

Geometria solida Poliedri Il vertice di un poliedro è il punto d’incontro di tre o più bordi del poliedro; il bordo che unisce due vertici è chiamato spigolo; una faccia è un singolo poligono che delimita il poliedro.

Solidi Platonici I solidi platonici sono quei poliedri: Geometria solida Solidi Platonici I solidi platonici sono quei poliedri: in cui le facce sono poligoni regolari congruenti; ad ogni vertice concorre lo stesso numero di facce. Esempio Il cubo è un solido platonico perché: ha tutte le facce quadrate e congruenti; ogni vertice è l’incontro di tre facce.

I solidi platonici sono cinque: Geometria solida Solidi Platonici I solidi platonici sono cinque: Tetraedro Cubo Ottaedro Dodecaedro Icosaedro

Solidi Platonici Geometria solida Tetraedro: 4 facce (triangoli equilateri); 3 facce che si incontrano nel vertice; 4 vertici; 6 spigoli.

Solidi Platonici Geometria solida Cubo (o esaedro): 6 facce (quadrati); 4 facce che si incontrano nel vertice; 8 vertici; 12 spigoli.

Solidi Platonici Geometria solida Ottaedro: 8 facce (triangoli equilateri); 4 facce che si incontrano nel vertice; 6 vertici; 12 spigoli.

Solidi Platonici Geometria solida Dodecaedro: 12 facce (pentagoni regolari); 3 facce che si incontrano nel vertice; 20 vertici; 30 spigoli.

Solidi Platonici Geometria solida Icosaedro: 20 facce (triangoli equilateri); 5 facce che si incontrano nel vertice; 12 vertici; 30 spigoli.

Solidi Platonici Geometria solida Perché i solidi platonici son solo 5? In ogni vertice si incontrano almeno tre facce. La somma dell’ angolo interno del solido deve essere minore di 360° (a 360° l’angolo si “appiattisce”)

Solidi Platonici Geometria solida Perché i solidi platonici son solo 5? Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni regolari identici. Il triangolo equilatero ha angoli di 60° e pertanto si potranno avere solidi platonici con: 3 triangoli (3x60° = 180°); 4 triangoli (4x60° = 240°); 5 triangoli (5x60° = 300°).

Solidi Platonici Geometria solida Perché i solidi platonici son solo 5? Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni regolari identici. Il quadrato ha angoli di 90° e pertanto si potrà avere solo un unico solido platonico,il cubo: 3 quadrati (3x90° = 270°)

Solidi Platonici Geometria solida Perché i solidi platonici son solo 5? Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni regolari identici. Il pentagono regolare ha angoli di 108° e pertanto si potrà avere solo un unico solido platonico: 3 pentagoni (3x108° = 324°)

Solidi Platonici Geometria solida Perché i solidi platonici son solo 5? Se volessimo usare più di 5 triangoli equilateri, 4 quadrati, 3 pentagoni regolari o addirittura altri poligoni regolari per costruire un solido platonico, ci renderemo conto che ciò è impossibile in quanto l’angolo sarà Esempio: 3 esagoni regolari = 3 x 120° = 360°

Geometria solida Solidi Platonici Riepilogando:

Formula di Eulero F + V – S = 2 Geometria solida Per qualsiasi poliedro convesso: il numero delle facce, più il numero dei vertici, meno il numero degli spigoli: è sempre uguale a 2 F + V – S = 2

Formula di Eulero Geometria solida F + V – S = 2 Facciamo un esempio, consideriamo il cubo: ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli, cioè: 6 + 8 – 12 = 2

Formula di Eulero Geometria solida F + V – S = 2 Per capire il perché, immagina di prendere il cubo e aggiungerci uno spigolo (basta tracciare la diagonale di una sua faccia). Si ottiene così uno spigolo in più e una faccia in più: 7 + 8 – 13 = 2 La formula è sempre valida!

Formula di Eulero Geometria solida F + V – S = 2 Aggiungendo un altro vertice (diciamo nel punto medio dello spigolo), si avrà anche uno spigolo in più. vertice 2 spigoli Se aumenta un vertice si avrà uno spigolo in più: 6 + 9 – 13 = 2 La formula è sempre valida!

Fine prima parte