Simulazione del palleggio di una pallina da ping pong Giulio Lapini

Si vuole implementare un modello SIMULINK di una pallina da ping pong che viene palleggiata tramite una racchetta per farle così compiere una traiettoria desiderata

Analisi del problema La pallina presenta le seguenti caratteristiche: massa m=2,7 g raggio r=20 mm momento di inerzia baricentrico IG=2mr2/3 = 72*10-8 kgm2 La pallina è soggetta alle seguenti forze: forza peso mg diretta verso il basso forza di resistenza dell’aria (attrito viscoso) Fv=-6πηrv, sempre opposta al moto della pallina, dove η è il coefficiente di viscosità, che per l’aria è pari a 17,1*10-6 Pa s

Modellazione dell’urto L’impatto con la racchetta è stato implementato mediante un modello molla-smorzatore, elementi caratterizzati dalle seguenti costanti (ipotizzate molto elevate per rendere l’urto praticamente istantaneo): costante elastica della molla k=20000 N/m costante dello smorzatore β=20 Ns/m

Dinamica lungo l’asse delle x Lungo l’asse delle x la pallina è soggetta solamente alla resistenza dell’aria, che si oppone al moto della stessa, e alla propria forza di inerzia. Quindi lungo tale direzione la pallina ha dinamica regolata dalla seguente equazione:

Dinamica lungo l’asse delle y Lungo l’asse delle y la pallina è soggetta alla resistenza dell’aria, che si oppone al moto della stessa, alla forza peso, diretta verso il basso, e alla propria forza di inerzia. Quindi lungo tale direzione la pallina ha dinamica regolata dalla seguente equazione:

Dinamica della rotazione La palla è inoltre caratterizzata da un moto rotatorio attorno al proprio centro, definito dalla velocità angolare ω, cui si oppone anche in questo caso la resistenza dell’aria. La dinamica della rotazione è stata modellata con la seguente relazione: in cui k è una costante positiva

Dinamica dell’urto L’urto con la racchetta andrà a modificare, pressoché istantaneamente, le tre velocità caratterizzanti il moto della pallina, in particolare: la forza di attrito F andrà a diminuire sia la componente orizzontale della velocità della pallina, sia la sua velocità angolare la forza dovuta all’azione congiunta della molla e dello smorzatore agiranno in modo da invertire (al netto di qualche perdita) la componente verticale della velocità della pallina

Il “controllore” racchetta Si suppone di usare la racchetta per far rimbalzare la pallina fra i due punti x1 e x2 ad un’altezza massima h dal piano della racchetta (supposta muoversi lungo l’asse delle x ad un’altezza costanze pari a 0). Per soddisfare tali richieste si dovrà imporre dopo ogni urto che la velocità della pallina sia in componenti pari a:

Simulazione in SIMULINK

Dinamica lungo l’asse delle x urto con la racchetta velocità imposta dalla racchetta resistenza dell’aria

Dinamica lungo l’asse delle y resistenza dell’aria velocità imposta dalla racchetta urto con la racchetta

Dinamica della rotazione urto con la racchetta resistenza dell’aria

Il “controllore” racchetta componenti della velocità imposta dalla racchetta rete sequenziale che sceglie il prossimo punto di rimbalzo

Simulazione Si vuole che la pallina rimbalzi tra i punti -1 e 4 ad un’altezza massima di 1.3 m