Vettori e matrici algebrici Capitolo 7 Vettori e matrici algebrici

Vettori e matrici Definizione 7.1 (Matrice) Tabella di numeri ordinata per righe e colonne. Si indica con aij l'elemento della matrice A che si trova all'incrocio della riga i-esima con la colonna j-esima. Se m è il numero di righe ed n quello delle colonne abbiamo m ed n sono dette dimensioni della matrice; se m = n la matrice è detta quadrata. Nota. Se tutti gli elementi sono nulli, si parla di matrice nulla indicata con O. L'insieme di tutte le matrici con m righe e n colonne sarà indicato con RmXn e tali matrici saranno dette di tipo m X n. Gli elementi che hanno il primo e il secondo indice uguale 11; a22; a33; :::; akk, k = min{m, n}, formano la diagonale principale della matrice A. Due matrici si dicono uguali se hanno la stessa dimensione e inoltre sono uguali i rispettivi elementi.

Vettori e matrici Definizione 7.2 (Vettori) Sono matrici particolari formate da una sola riga, per cui m = 1 detto vettore riga, oppure da una sola colonna, per cui n = 1 detto vettore colonna.

Matrici quadrate…per tutti i gusti 1. Matrici triangolari inferiori:

Matrici quadrate…per tutti i gusti 2. Matrici triangolari superiori:

Matrici quadrate…per tutti i gusti 3. Matrici diagonali: Caso particolare se Detta matrice identità.

Operazioni con matrici Definizione 7.3 (Trasposta) Data una matrice A di tipo m X n definiamo la trasposta di A la matrice AT i cui elementi sono ottenuti da quelli di A scambiando righe e colonne; AT è quindi di tipo n X m: Nota. Una matrice A è detta simmetrica se A = AT . Definizione 7.4 Siano A e B matrici di tipo m X n; definiamo, con a in R, i) C = A + B ponendo cij = aij + bij per ogni valore di i e j; ii) C = a A ponendo cij = aij per ogni valore di i e j. Tali operazioni sono dette rispettivamente somma di matrici e prodotto per uno scalare a.

Operazioni con matrici Definizione 7.5 (Prodotto righe per colonne) Sia A di tipo m X q e B di tipo q X n: Allora iii) C = AB ha dimensione m X n e si ottiene ponendo per ogni valore di i e j. Nota. Il prodotto tra matrici non e commutativo.

Proprietà algebriche Proposizione 7.1 (Proprietà prodotto) Siano A, B matrici tali che il prodotto AB risulta definito e a in R. Allora 1. (aA)B = A(aB) = a(AB). 2. Se D ha le stesse dimensioni di A si ha (A + D)B = AB + DB. 3. Se C ha le stesse dimensioni di B si ha A(B + C) = AB + BC. 4. Se A di tipo m X q, B di tipo q X p e C di tipo p X n: Allora A(BC) = (AB)C. 5. (AB)T = BTAT.

Nota. Il prodotto scalare non dipende dall'ordine con cui viene Nel caso di vettori di uguali dimensioni e possibile eseguire i prodotti di tipo 1 X q con q X 1 ossia vettore riga per vettore colonna xT y = (x1y1 + x2y2 + …+ xqyq) detto anche prodotto scalare e “restituisce” quanto restituisce un numero. Nota. Il prodotto scalare non dipende dall'ordine con cui viene eseguito. Non si deve confondere il prodotto scalare con il prodotto di un vettore di tipo m X 1 per un vettore di tipo 1 X n.

(A-1)-1 = A, (AT)-1 = (A-1)T, (AB)-1 = B-1A-1. Inversa di una matrice Definizione 7.6 (Matrice inversa) Sia A quadrata n X n. Se esiste una matrice avente la stessa dimensione di A, tale che A-1A = I = AA-1 allora la matrice A-1 è detta inversa della matrice A. Proposizione 7.2 (Proprietà dell'inversa) Siano A e B due matrici invertibili. Allora risultano invertibili anche A-1, AT e AB e si ha (A-1)-1 = A, (AT)-1 = (A-1)T, (AB)-1 = B-1A-1. Altre proprietà delle matrici. Proposizione 7.3 Siano A matrice quadrata, I matrice identità e O matrice nulla di dimensione n. Allora 1. A + O = O + A = A; 2. A + (-A) = (-A) + A = O; 3. AO = OA = O; 4. AI = IA = A.