Autovalori e autovettori Capitolo 9 Autovalori e autovettori

insieme C dei numeri complessi Gli insiemi numerici N, Z, Q e R si possono ricollegare alla soluzione di equazioni. Consideriamo per x  R l'equazione x2 + 1 = 0. È evidente che tale equazione non ha soluzione nell'ambito dei numeri reali dobbiamo ampliare l'insieme numerico in cui lavorare: insieme C dei numeri complessi La quantità fondamentale è rappresentata dall'unità immaginaria i, ossia un numero che soddisfa l'equazione i2 = -1, è un numero immaginario puro (e tali sono i suoi multipli ib con b in R).

La “somma” di un numero reale e di un immaginario puro è un numero complesso a + ib e si può rappresentare nel piano complesso (i numeri reali, per cui b = 0, sono inclusi come caso speciale di numeri complessi). Figura 9.1: Il piano complesso.

Segue… Numeri complessi La somma di due numeri complessi è definita come (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), e la moltiplicazione (a + ib) (c + id) = ac + ibc + iad + i2bd = (ac – bd) + i(bc + ad). Il complesso coniugato di a + ib è il numero a – ib. Il coniugato di un prodotto è uguale al prodotto dei coniugati Il coniugato di una somma è uguale alla somma dei coniugati Il prodotto di un numero complesso con il suo complesso coniugato è un numero reale pari al quadrato dell’ipotenusa del triangolo rettangolo |a| e |b| (a + ib) (a – ib) = a2 + b2. La lunghezza di tale ipotenusa è detta modulo del numero complesso a + ib e indicato come |a + ib|. Segue…

Nota: Esiste uno stretto legame tra i numeri complessi e le funzioni trigonometriche. Se infatti indichiamo con  l’angolo tra l’asse reale e l’ipotenusa abbiamo le seguenti relazioni Da queste equazioni abbiamo la rappresentazione in coordinate polari di un numero complesso Dove ei = cos  + i sin  rappresenta un numero complesso con modulo uguale a 1.

Autovalore e autovettore Indicheremo con Cn l'insieme dei vettori aventi n elementi complessi e con Cmn l'insieme delle matrici con m righe e n colonne a elementi complessi. Definizione 9.1 (Autovalore e autovettore) Sia A una matrice quadrata n X n ad elementi reali. Definiamo autovalore e rispettivamente autovettore della matrice A un numero complesso  ed un vettore u non nullo di numeri complessi per cui Au = u o equivalentemente (A - I)u = 0. Segue…

A(au) = a(Au) = a(u) = (au). Osservazione. Dalla definizione precedente segue che u è una soluzione non nulla di un sistema lineare omogeneo di matrice A - I. Osservazione. Se u è un autovettore di A, tale che è anche au, con a numero reale o complesso non nullo A(au) = a(Au) = a(u) = (au). Ossia gli autovettori sono infiniti (potremmo sempre scegliere l’autovettore unitario).

Autovalori e autovettori Esempio. Sia Abbiamo visto che (A - I)u = 0 ha soluzioni non nulle solo se le colonne di A - I sono l.d. In questo caso 1 = 3 e 2 = -1 sono autovalori. Infatti, Gli autovettori corrispondenti sono Infatti Poiché Gli autovettori normalizzati (unitari) sono Proposizione 9.1 La somma degli autovalori di una matrice A uguaglia la somma degli elementi sulla diagonale della matrice A. Tale somma è detta traccia della matrice A.

Calcolo di autovalori e autovettori Sia ora A quadrata di tipo n X n: Il problema del calcolo di autovalori e autovettori coinvolge il sistema lineare (A- I)u =0, con u nullo. Sappiamo che il calcolo di una soluzione non nulla u è possibile se e soltanto se det (A - I) = 0. L’equazione det (A - I) = |A - I| = 0 È detta equazione caratteristica di A. Si calcola quindi il determinante della matrice caratteristica Si può dimostrare che det (A - I) è un polinomio di grado n in  Detto polinomio caratteristico. Teorema fondamentale dell’algebra  vi sono n radici in C. Segue…

In pratica, quindi, per calcolare autovalori e autovettori possiamo: determinare le radici del polinomio caratteristico Per ogni autovalore determinato al punto 1), risolvere il sistema lineare Per calcolare gli autovettori associati a .

Calcolo di autovalori e autovettori Proposizione 9.2 Se A è una matrice triangolare allora gli autovalori coincidono con gli elementi della diagonale. Osservazione. Se conosciamo gli autovalori 1,…, n di A, allora gli autovalori di A2 sono In modo analogo per calcolare gli autovalori di Ar, r > 2 intero. Nota. In pratica, nel caso generale, solo per n = 2 il calcolo è “immediato”.

Proposizione 9.3 (Autovalori di matrici 2 X 2) Nel caso di matrici 2 X 2 abbiamo quattro possibilità: i) i due autovalori sono reali distinti, corrispondenti a due autovettori linearmente indipendenti; ii) due autovalori complessi coniugati corrispondenti a due autovettori complessi coniugati; iii) un autovalore reale con molteplicit due corrispondente a un solo autovettore; iv) un autovalore reale con molteplicit due corrispondente a due autovettori linearmente indipendenti.

Diagonalizzazione Una matrice quadrata A di dimensione n ammetta n autovalori (non necessariamente distinti) di cui alcuni eventualmente complessi. Indichiamo con 1, 2,…, n gli autovalori e supponiamo che la matrice A ammetta n autovettori che indichiamo con v1, v2,…, vn. Sia ora V la matrice e Abbiamo Se la matrice A ammette n autovettori linearmente indipendenti allora la matrice V è invertibile. In tal caso otteniamo A = V DV-1, e la matrice A è detta diagonalizzabile. Definizione 9.2 (Matrici simili) Due matrici quadrate A e B sono dette simili se esiste una matrice invertibile V tale che A = V BV –1.

Matrici simmetriche Nel caso in cui la matrice reale A sia simmetrica, ossia A = AT, è possibile determinare alcune proprietà degli autovalori. 1. Gli autovalori di una matrice simmetrica sono numeri reali. 2. Gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti di una matrice simmetrica sono ortogonali. 3. Esistono n autovettori unitari ortogonali tra loro. Una matrice simmetrica quindi ammette n autovalori reali 1, …, n e n autovettori unitari ortogonali. Se indichiamo tali autovettori con u1, …, un possiamo definire la matrice che soddisferà la relazione UTU = I = UUT poiché

Matrice ortogonale Definizione 9.3 (Matrice ortogonale) Una matrice U tale che UTU = UUT = I è detta ortogonale. Osservazione. Per una matrice ortogonale l'inversa coincide con la trasposta. Se indichiamo con D = diag(1, …, n), allora AU = UD da cui UTAU = D quindi U è una matrice simmetrica di A, quindi diagonalizzabile. Definizione 9.4 (Forma quadratica) Un'espressione del tipo xTAx con x in Rn e A matrice simmetrica è detta forma quadratica associata alla matrice A: Definizione 9.5 (Matrice definita positiva) La matrice A è detta definita positiva se per x  0 la forma quadratica è positiva, ossia xTAx > 0. Se xTAx  0 si dice che A è semidefinita positiva. Analogamente si parla di semidefinita negativa se xTAx  0 è definita negativa se xTAx < 0. Osservazione. Si verifica che una matrice simmetrica A è definita positiva se e soltanto se tutti i suoi autovalori sono positivi. Definizione 9.6 (Raggio spettrale) Si dice raggio spettrale della matrice A, indicato con , il massimo degli autovalori di A.

||x + y||  ||x|| + ||y|| (disuguaglianza triangolare). Minimi quadrati Risolvere Ax = b “minimizzando” gli errori: Cosa significa? Norme di vettori e matrici Vogliamo misurare quanto è grande un vettore o una matrice. Ad ogni vettoreè possibile associare un numero reale non negativo che indicheremo con ||x||; detto norma di x; tale che 1. se x  0 allora ||x|| = 0 e viceversa; 2.  scalare, ||x|| = || ||x||; 3. per ogni coppia x,y di vettori con la stessa dimensione ||x + y||  ||x|| + ||y|| (disuguaglianza triangolare). (Norme di vettore) a) Norma  b) Norma 1 c) Norma 2

Norme di matrici Il concetto di norma può essere esteso alle matrici. Sia A di tipo m X n: Indichiamo con ||A|| un numero che soddisfa le seguenti condizioni: 1. ||A|| = 0 se e solo se A è la matrice nulla. 2. ||A|| = || ||A||, dove  è uno scalare. 3. Se A e B hanno le stesse dimensioni ||A + B|  ||A|| + ||B||. 4. Se B ha un numero di righe pari al numero di colonne di A ||AB||  ||A||||B||. (Norme di matrice) Dalle norme di vettori si possono dedurre norme di matrici. 1. Norma  2. Norma 1 3. Norma 2 ossia il massimo autovalore di ATA e uguale alla norma

Sistema sovradeterminato. Se fissiamo m = 3 e n = 2 abbiamo il sistema Il sistema è sovradeterminato e avrà soluzione solo se b è combinazione lineare delle colonne di A e quindi non ne aumenta il rango. È possibile che il sistema non abbia soluzione. In questi casi possiamo pensare di estendere il concetto di soluzione di un sistema lineare definendo come soluzione il vettore x tale che il vettore r = Ax- b sia il “più piccolo” possibile. Dobbiamo scegliere una norma per r. Nel caso della norma 2 Il problema della determinazione del minimo è detto problema dei minimi quadrati.

Esempio: retta dei minimi quadrati Esempio: retta dei minimi quadrati. Vogliamo approssimare l’andamento delle misure (xi, yi), i = 1, …, m con la retta y = ax + b. Pretendiamo Da risolvere nel senso dei minimi quadrati.