Il Teorema di Sovrapposizione degli effetti Laboratorio Liceo Scientifico M.L. King – Genova 26 marzo 2007 E.Smerieri & L.Faè Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Linearità e sovrapposizione La sovrapposizione è valida ogni qualvolta la relazione tra due grandezze è di semplice proporzionalità Matematicamente un elemento descritto dall’equazione y = f(x) si dice lineare se per essa valgono le seguenti proprietà Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

La sovrapposizione degli effetti nei circuiti elettrici Il teorema vale per circuiti con generatori che forniscono tensioni di forma qualsiasi e costituiti da soli elementi lineari. Si dimostra che se un circuito è realizzato con componenti R - L - C a parametri costanti e da generatori ideali la sua risposta è lineare. La tensione (corrente) in ogni lato è data dalla somma algebrica delle tensioni (correnti) dovute ad ogni singolo generatore agente da solo e passivando gli altri. Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007 Alcuni esempi Circuito resistivo con una lampadina e con due generatori in continua Circuito puramente resistivo (con tre resistenze) e due generatori in continua Circuito RC con due generatori in continua Circuito con due resistenze e un diodo e due generatori in continua Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Circuito con la lampadina I [A] V [V] R[] 0,067 0,102 1,5 0,090 0,187 2,1 0,122 0,564 4,6 0,137 0,743 5,4 0,159 1,022 6,4 0,189 1,451 7,7 0,190 1,481 7,8 0,200 1,681 8,4 0,220 2,04 9,3 0,230 2,23 9,7 0,250 2,53 10,1 0,260 2,72 10,5 0,270 2,98 11,0 0,280 3,20 11,4 0,290 3,48 12,0 0,310 3,96 12,8 E Dalla tabella voltamperometrica della prima esperienza effettuata si trova che in corrispondenza di una tensione di circa 4V la corrente è 310 mA Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Con la lampadina NON vale il teorema di sovrapposizione I [A] V [V] 0,067 0,102 0,090 0,187 0,122 0,564 0,137 0,743 0,159 1,022 0,189 1,451 0,190 1,481 0,200 1,681 0,220 2,04 0,230 2,23 0,250 2,53 0,260 2,72 0,270 2,98 0,280 3,20 0,290 3,48 0,310 3,96 E1 = 1.02 V I1=159 mA E2 = 2.98 V I2=270 mA ma in questo caso E1+ E2 = 4 V I1+ I2 = 429 mA E1 E2 E1 E2 Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Un altro semplice esempio Circuito Lineare Studio con le Leggi di Kirchoff Studio con il teorema di sovrapposizione degli effetti Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Studio con i Principi di Kirchoff Si trova facilmente I1 = 2.87 mA I2 = 0.93 mA I3 = 3.8 mA Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti Il segno meno per I2 indica semplicemente che la corrente circola nel verso opposto a quello prescelto come positivo. Il risultato è lo stesso di quello ricavato applicando i Principi di Kirchoff Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Il circuito RC e la sovrapposizione degli effetti Primo caso : condensatore inizialmente SCARICO Secondo caso : condensatore inizialmente CARICO a 2 V Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Circuito RC - Condensatore scarico Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Circuito RC - Condensatore carico Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Il circuito RC e la sovrapposizione degli effetti - Considerazioni Nel Primo caso con il condensatore inizialmente SCARICO il Teorema di sovrapposizione fornisce risultati corretti Nel Secondo caso con il condensatore inizialmente CARICO il Teorema di sovrapposizione non fornisce risultati corretti Il Teorema di sovrapposizione si può applicare soltanto se gli elementi circuitali capacitivi (e/o induttivi) sono scarichi Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Un semplice esempio di circuito non lineare Studio con le Leggi di Kirchoff Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti (si vedrà che non è applicabile) Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Studio con i Principi di Kirchoff Si trova facilmente, considerando VD ≈ 0.7 V, I1 = 6.5 mA I2 = 1.13 mA ID = 7.63 mA Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti Il RISULTATO ottenuto è ERRATO. È differente da quello ricavato applicando i Principi di Kirchoff. Il Teorema di sovrapposizione si può applicare soltanto se gli elementi circuitali sono lineari Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Strumentazione disponibile Primo Alimentatore Regolazione Uscita Il generatore fornisce tensioni continue variabili da circa 1.5 V a 30 V e corrente massima 1A Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Strumentazione disponibile Multimetro digitale                                                              Strumentazione disponibile Multimetro digitale                                                              Funzione 10A V – mA -  COM Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Strumentazione disponibile Secondo Alimentatore Molto economico Tensione d’uscita stabilizzata e variabile a scatti con valori 1.5V- 3V- 4.5V- 6V-7.5V- 9V-12V Variatore di tensione Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Circuiti per le esperienze proposte Circuito a) Circuito b) Studio con Kirchoff Studio con la sovrapposizione degli effetti Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Esperienza 1a : Kirchoff Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) Calcolare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) applicando le Leggi di Kirchoff Verificare la validità dei risultati ottenuti con il calcolo con quelli misurati Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Esperienza 2a: Sovrapposizione Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) Calcolare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) applicando il teorema di sovrapposizione Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) applicando il teorema di sovrapposizione Verificare la validità dei risultati ottenuti con il calcolo con quelli misurati Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Esperienza 2a: Sovrapposizione Il Teorema di sovrapposizione si può applicare perchè la resistenza è un elemento circuitale lineare Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Esperienza 1b : Kirchoff Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) Calcolare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) applicando le Leggi di Kirchoff Verificare la validità dei risultati ottenuti con il calcolo con quelli misurati Nota: Assumere la tensione VD ai capi del diodo circa uguale a 0.7 V Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Esperienza 2b: Sovrapposizione Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) Calcolare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) applicando il teorema di sovrapposizione Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) applicando il teorema di sovrapposizione Verificare la validità dei risultati ottenuti con il calcolo con quelli misurati Nota: Assumere la tensione VD ai capi del diodo circa uguale a 0.7 V Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Esperienza 2b: Sovrapposizione Il Teorema di sovrapposizione non si può applicare perchè il diodo è un elemento circuitale non lineare Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007