Percentili Il P -esimo percentile di una variabile ordinata e’ quel valore sotto il quale c’é il P % (P percento) delle osservazioni. Ad esempio …il 20 -esimo percentile di una variabile ordinata e’ il valore sotto il quale c’é il 20 % delle osservazioni.

COME SI CALCOLA UN PERCENTILE? Percentili COME SI CALCOLA UN PERCENTILE? Si ordina in senso crescente la variabile Il P-esimo percentile si calcola determinando prima il valore del prodotto del numero di osservazioni (numero dei dati=n) e del percentile che si desidera calcolare (P).

Percentili Se si indica con i il prodotto nP e con xi il valore della variabile in posizione i si ha che il P-esimo percentile vale :

(si osservi che la variabile PSA e’ ordinata) Esempio: PSA Posizione PSA 1 0.1 23 1.3 2 24 3 0.2 25 1.7 4 26 1.8 5 0.3 27 2.1 6 0.5 28 2.2 7 0.6 29 2.3 8 30 2.6 9 31 2.9 10 32 3.2 11 33 3.7 12 0.7 34 3.9 13 35 4.4 14 0.8 36 4.6 15 0.9 37 4.7 16 1.1 38 5.0 17 1.2 39 5.7 18 40 6.0 19 41 7.6 20 42 8.9 21 43 9.1 22 44 10.5 Si esaminano i dati relativi alla determinazione del PSA in n=44 campioni di siero umano (si osservi che la variabile PSA e’ ordinata)

Esempio (calcolo percentili) Determinare il percentile di ordine 50. Il percentile di ordine P = 50, é il dato in posizione Dove n e’ il numero di osservazioni. Il 50-esimo percentile é la media fra il il ventiduesimo e ventitreesimo valore e quindi vale:

Esempio: PSA Posizione PSA 1 0.1 16 1.1 2 17 1.2 3 0.2 18 4 19 5 0.3 20 6 0.5 21 7 0.6 22 8 23 1.3 9 24 10 25 1.7 11 26 1.8 12 0.7 27 2.1 13 28 2.2 14 0.8 29 2.3 15 0.9 30 2.6 Posizione PSA 30 2.6 31 2.9 32 3.2 33 3.7 34 3.9 35 4.4 36 4.6 37 4.7 38 5.0 39 5.7 40 6.0 41 7.6 42 8.9 43 9.1 44 10.5

Il 90-esimo percentile vale quindi 6 Esempio Per determinare il percentile 90, si determina prima la la posizione i : Quindi il percentile é alla posizione 40. La quarantesima osservazione vale 6.0. Il 90-esimo percentile vale quindi 6

Esempio: PSA Posizione PSA 1 0.1 16 1.1 2 17 1.2 3 0.2 18 4 19 5 0.3 20 6 0.5 21 7 0.6 22 8 23 9 24 10 25 11 26 12 0.7 27 13 28 14 0.8 29 15 0.9 30 2.6 Posizione PSA 30 2.6 31 2.9 32 3.2 33 3.7 34 3.9 35 4.4 36 4.6 37 4.7 38 5.0 39 5.7 40 6.0 41 7.6 42 8.9 43 9.1 44 10.5

Esempio:output di SAS

I Quartili sono i punti che dividono i dati ordinati in quarti . Percentili e Quartili I Quartili sono i punti che dividono i dati ordinati in quarti . Il primo quartile (Q1) è il 25-esimo percentile.Sotto tale punto c’é un quarto dei dati. Il secondo quartile (Q2) è il 50-esimo percentile. Sotto tale punto c’é la metà dei dati. E’ chiamato mediana. Il terzo quartile (Q3) è il 75-esimo percentile. Sotto tale punto ci sono i 3/4 dei dati.

Quartili e Interquartile Range Il primo quartile ( Q1) (percentile 25) é chiamato lower quartile. Il secondo quartile ( Q2) (percentile 50) é chiamato mediana o middle quartile. Il terzo quartile ( Q3) (percentile 75) é chiamato upper quartile. L’interquartile range (IQR) é la differenza fra primo e terzo quartile : IQR=(Q3-Q1)

Quartili e Interquartile Range Variable sesso N Mean Median StDev altezza M 59 170.37 170.00 7.15 F 54 158.78 160.00 7.37 Variable sesso Minimum Maximum Q1 Q3 altezza M 149.00 187.00 166.00 177.00 F 140.00 170.00 154.00 165.00 Q3-Q1 = 177-166 = 11 , quindi il 50% dei maschi ha altezza compresa fra 177cm e 166 cm. Q3-Q1 = 165-154 = 11 , quindi il 50% delle femmine ha altezza compresa fra 165cm e 154 cm.

Quartili e Interquartile Range

ESEMPIO : PERCENTILI

ESEMPIO : PERCENTILI Vengono misurate le pulsazioni cardiache a due gruppi di persone, una a riposo e l’altra dopo una corsa di 500 metri.

ESEMPIO : PERCENTILI 90 116,442 84,9528 PERCENTILE CORSA RIPOSO 1 49,080 49,3763 2 54,169 52,0644 3 57,399 53,7698 4 59,828 55,0528 5 61,804 56,0964 6 63,486 56,9846 7 64,960 57,7634 8 66,281 58,4608 9 67,482 59,0950 10 68,587 59,6788 20 76,801 64,0168 30 82,723 67,1448 40 87,784 69,8176 50 92,514 72,3158 PERCENTILE CORSA RIPOSO 60 97,244 74,8140 70 102,305 77,4868 80 108,228 80,6148 90 116,442 84,9528 91 117,547 85,5366 92 118,748 86,1708 93 120,068 86,8681 94 121,543 87,6470 95 123,225 88,5352 96 125,201 89,5788 97 127,630 90,8618 98 130,859 92,5672 99 135,949 95,2552

ESEMPIO : PERCENTILI Percentile 90