SPECIFICA LOOSE DELLE MAPPE FINITE v. 1.1 Gianna Reggio

Ver. 1.1 Applicazione/esempio grande Madre di tutti gli esercizi/esempi –la più usata specifica nelle applicazioni vere –dare la specifica della struttura dati mappe finite, per semplicità da stringhe di caratteri in naturali –si richiedono operazioni per rappresentare tutti i dati (caratteri, stringhe, naturali, mappe) costruttori –operazioni sulle mappe: mappa vuota (nessuna associazione) aggiungere/eliminare/modificare una associazione trovare il numero associato ad una stringa dominio/codominio di una mappa controllare se una mappa è vuota/è iniettiva

Ver. 1.1 Come procedere scomporre modularmente il compito in –specificare i naturali –specificare le stringhe di caratteri –specificare la mappe basiche (cioè solo i costruttori e loperazione per ritrovare il numero associato ad una stringa) operazioni necessarie per costruire i termini per rappresentare tutti i valori di interesse –specificare una ad una le ulteriori operazioni e predicati

Ver. 1.1 Linguaggio di specifica Utilizzeremo un semplicissimo linguaggio di specifica per presentare le varie specifiche Esercizio 24.5: individuare I vari costrutti di tale linguaggio, mano a mano che li utilizzeremo, precisandone sintassi e semantica.

Ver. 1.1 Naturali spec NAT = Sorts nat Opns 0: nat succ: nat -> nat Axioms Def(0) Def(succ(x)) Consideriamo solo i modelli term-generated di NAT spec NATg = generated { NAT } Esercizio 25: aggiungere a NAT le 5 operazioni (somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione intera e resto della divisione intera). Esercizio 26: aggiungere il predicato.

Ver. 1.1 Aggiunta di < spec NAT1 = extend NAT Preds _<_: nat x nat Axioms x < succ(x) x < y x < succ(y) Esercizio 27: –0 < succ(x) è valida in Mod(NAT1) ? –0 < succ(x) è valida in generated { NAT1 } ?

Ver. 1.1 Stringhe di caratteri spec STRING = Sorts char, string Opns : string -- stringa vuota _::_: char x string -> string -- aggiunta elemento in testa A, …,Z: char -- le 26 lettere -- permettono di rappresentare tutte le stringhe Axioms -- tutte le operazioni sono totali Def( ) Def(c::s) Def(A) … Def(Z)

Ver. 1.1 Esercizi Esercizio 28: Si consideri spec STRING1 = extend STRING Axioms c = A … Z s = ( c:char. s:string. s = c:s) è vero che i modelli di STRING1 e quelli di generated {STRING} sono gli stessi ? Soluzione. No, infatti lalgebra DOPPIA definita come segue char DOPPIA = { A, …., Z } string DOPPIA = { *, + } A DOPPIA = A... B DOPPIA = B DOPPIA = * DOPPIA (c,s) = s è un modello di STRING1 ma non è term-generated. Verificare per esercizio quanto affermato sopra.

Ver. 1.1 Esercizi Esercizio 29: Ogni modello di generated {STRING} rappresenta ottimamente la struttura dati delle stringhe ? Soluzione. No, infatti unalgebra banale (cioè dove ogni carrier contiene esattamente un singolo elemento, e dove le operazioni sono totali e definite nel modo ovvio) è un modello di tale specifica, e non rappresenta per niente le stringhe.

Ver. 1.1 Stringhe di caratteri 2 spec STRING2 = extend STRING Axioms AB … AZ … WZ c:s c 1 c 2 s 1 s 2 c 1 :s 1 c 2 :s 2 Esercizio 30: Ogni modello di generated {STRING2} rappresenta ottimamente la struttura dati delle stringhe ?

Ver. 1.1 Mappe basiche (1) spec MAP = extend NAT, STRING2 Sorts map Opns []: map -- mappa che non contiene alcuna associazione _[_/_]: map x nat x string -> map -- aggiunta associazione o modifica associazione _[_]: map x string -> nat -- ritorna il naturale associato ad una stringa -- se esiste Axioms -- [] e _[_/_] sono totali Def([]) Def(m[n/s]) [] m[n/s] (m 1 m 2 n 1 n 2 s 1 s 2 ) m 1 [n 1 /s 1 ] m 2 [n 2 /s 2 ] è accettabile ??? NO! Nelle mappe non conta lordine tra le associazioni, una nuova associazione può rimpiazzare una vecchia

Ver. 1.1 Mappe basiche (2) è possibile dare assiomi che richiedano tutte le possibili identificazioni sugli elementi rappresentati da [] e _[_/_] Esercizio 31: Dare tali assiomi. oppure è possibile definire prima loperazione _[_] e poi richiedere che due mappe sono uguali ses associano gli stessi naturali alle stesse stringhe

Ver. 1.1 Mappe basiche (3) -- continuazione degli assiomi di MAP -- definizione di _[_] Def([][s]) m[n/s][s] = n s s m[n/s][s] = m[s] -- identificazioni sulle mappe ( s:string. m[s] = m[s]) m = m

Ver. 1.1 Predicati sulle mappe spec MAP2 = generated{ extend MAP Preds isEmpty: map injective: map pv: map -- i pari sono associati a stringhe che iniziano con --una vocale boh: map Axioms isEmpty([]) ( s: string. Def(m[s])) isEmpty(m) injective(m) s1,s2: string. s1 s2 m[s1] = m[s2]) boh(m) (( s:string. m[s] > 0) s:string. m[s] = 0) ) } Esercizio 30,2: Dare gli assiomi che definiscono pv. Esercizio 30,21: Dare degli assiomi che definiscono pv. Esercizio 30,22: Che cosa definisce il predicato boh ?

Ver. 1.1 Insiemi di naturali spec SET-NAT = extend NAT Sorts set-nat Opns -- costruttori {}: set-nat {_}: nat -> set-nat -- singleton _ _: set-nat x set-nat -> set-nat card: set-nat -> nat Preds isIn: nat x set-nat Axioms -- tutte le operazioni sono totali -- U è comm, assoc, idempotente e {} è la sua identità -- costruttori -- due insiemi sono uguali ses hanno gli stessi elementi -- la cardinalità di un insieme è il numero dei suoi -- elementi Esercizio 30,3: Dare tutti gli assiomi suggeriti dai commenti riportati sopra.

Ver. 1.1 Mappe con dominio e codominio spec MAP3 = generated{ extend MAP2, SET-NAT, SET-STRING Opns dom: map -> set-string cod: map -> set-nat Axioms dom([]) = {} dom(m[n/s]) = dom(m) U {s} -- codominio } Esercizio 30,4: Completare tale specifica.

Ver. 1.1 Naturali con tecnica iniziale spec NAT = init{ Sorts nat Opns 0: nat succ: nat -> nat Axioms Def(0) Def(succ(x)) }