I modelli di valutazione delle opzioni su tassi Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi

Definizione della yield curve Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount) Stesso emittente Stessa liquidità Diversa scadenza La struttura dei rendimenti per scadenza (term structure) rappresenta la distribuzione continua dei rendimenti dei titoli privi di cedola (zero coupon o pure discount) in funzione della relativa scadenza. Le ragioni per cui non è possibile conoscere con perfezione la reale distribuzione di questa struttura vanno ricondotte a elementi di imperfezione dei mercati: a) scarso numero di emissioni di titoli pure discount; b) rischio emittente che, sebbene ridotto per i titoli governativi, non può essere aprioristicamente escluso; c) eterogenea diffusione dei flussi di domanda e di offerta nell’intervallo temporale delimitato dalle scadenze estreme della struttura.

Finalità della yield curve Interpretazione delle aspettative degli operatori Valorizzazione dei flussi delle attività e delle passività finanziarie Analisi del rischio di interesse di un portafoglio Pricing di alcuni derivati La struttura dei rendimenti per scadenza permette: a) valutare le aspettative degli operatori: se la curva è inclinata positivamente le attese sono per un aumento futuro dei tassi e, viceversa, se l’inclinazione dovesse essere negativa; b) determinare il valore teorico (fair value) dei titoli a reddito fisso; c) misurare la sensibilità di un portafoglio obbligazionario alla variazione inattesa dei tassi e, conseguentemente, valutare il rischio di perdita dell’investitore; d) fare il pricing corretto di alcuni contratti derivati (in particolare le opzioni) che dipendono dalla variazione dei tassi di interesse (cap e floor).

Criteri per la stima Scelta del campione Parsimonia Rassomiglianza Robustezza La necessità di stimare una term structure continua si scontra con la disponibilità di un insieme discreto di titoli. La numerosità dei titoli condiziona la capacità di valutare adeguatamente tutti i titoli che presentano dei flussi che non coincidono con i vertici stessi. La soluzione dipende essenzialmente dalla volontà di lavorare con un ridotto numero di titoli, con il rischio di stimare dei prezzi distanti da quelli effettivamente quotati dal mercato; oppure dalla volontà di adattare al meglio la curva alle condizioni effettive, aumentando la numerosità del campione di stima. La parsimonia risulta essere un criterio rilevante nei casi in cui sul mercato vengono negoziati titoli zero coupon particolarmente liquidi e diversificati per scadenze e quando la term structure viene utilizzata per finalità di analisi del mercato e/o di analisi della rischiosità del portafoglio di proprietà. Se invece la finalità dell’analista è quella di supportare le decisioni in merito alle posizioni da prendere sul mercato, sarà opportuno stimare un elevato numero di rendimenti. L’aumento del numero dei vertici della curva non deve essere indiscriminato, poiché si deve tenere in debita considerazione l’eventuale esistenza di segmentazioni del mercato caratterizzate dalla prevalenza di alcune tipologie di operatori. C’è inoltre il rischio che un ridotto numero di titoli “anomali” possa condizionare la configurazione negli intervalli stimati: se questi errori vengono commessi nel tratto breve della curva, si propagano in modo rilevante al resto della stima, con l’effetto di una dinamica dei tassi anche molto distante da quella “reale”. Infine, la robustezza può risultare un utile criterio di selezione del metodo di stima poiché offre un elemento numerico che consente di quantificare, a parità di altre condizioni, la bontà del metodo utilizzato.

Soluzioni per la stima Metodi di mercato Metodi no-arbitrage Obiettivo: minimizzare l’errore Per poter disporre di una stima della struttura vengono proposti alcuni metodi, che risultano assai differenti per accuratezza e semplicità di calcolo. I modelli di stima possono essere ricondotti a due tipologie fondamentali: la prima si affida ai procedimenti statistici e matematici di individuazione dei rendimenti che consentono di minimizzare la funzione di errore dove è il prezzo teorico del titolo i-esimo con scadenza t, calcolato attualizzando ciascun flusso mediante la funzione di sconto generata dalla curva dei rendimenti, mentre P(t) è il prezzo dello stesso titolo realmente osservato sul mercato. La seconda tipologia di modelli si basa invece sulla teoria dell’arbitraggio, ritenendo che la term structure da stimare sia proprio quella che annulla (o minimizza) la possibilità di realizzare degli arbitraggi sulle medesime scadenze

Modelli statistici (es. I)

Modello TRES/vita residua Un primo metodo di stima della curva è basato sulla misurazione del rendimento effettivo a scadenza in funzione della vita residua del titolo di riferimento. La curva viene qui rappresentata in forma continua, sebbene sia originata solo da 5 punti sul piano. Quello della continuità e della derivabilità costituisce un primo problema rilevante nella stima della curva dei rendimenti. Una soluzione possibile è quella della minimizzazione dell'errore quadratico (ordinary least squares regression).

Stima della continuità Interpolazione statistica Adattamento alla polinomiale Misura dell’errore commesso

Interpolazione statistica Semplicità Regressione rispetto alla vita residua, per approssimare la dinamica del tasso in funzione del tempo

Adattamento polinomiale Adattamento lineare Adattamento esponenziale Adattamento potenza La funzione lineare raramente si adatta alla configurazione tipica dei tassi, poiché dovrebbero essere lineari le aspettative degli operatori e i loro premi per il rischio, oppure, caso ancora più improbabile, compensarsi esattamente su un livello lineare. La funzione esponenziale è in grado di modellare meglio la variabilità dei tassi rispetto alle scadenze, sebbene sia spesso eccessivamente rigida nei casi, molto frequenti, di curve inclinate verso l’alto. La funzione potenza è raramente in grado di adattarsi ai periodi in cui la curva incorpora aspettative al ribasso dei tassi di interesse, ma è molto sensibile a quelli in cui gli operatori si attendono un aumento dei rendimenti nel futuro e generano una curva inclinata positivamente. FOGLIO EXCEL

Stima lineare (esempio) Stimare la curva dei rendimenti utilizzando le equazioni precedenti fa migliorare il fitting della curva aumentando il grado della funzione MODELLO DI STIMA COEFFICIENTE DI DELLA CURVA DEI RENDIMENTI DETERMINAZIONE ( R 2 ) r = 4,985 + 0,161t 96,25% t Il fitting di una curva dei rendimenti è generalmente data dal valore del coefficiente di determinazione (R^2): esso fornisce il valore unitario o percentuale della componente di volatilità di un fenomeno spiegata dal modello stimato. Nella tabella in lucido si nota come il quarto modello sia quello con il coefficiente più alto, quasi vicino alla perfetta spiegazione del fenomeno complessivo. r = 5,032 + 0,1377t + 0,0021 t 2 96,36% t r = 5,436 – 0,2209t + 0,0799 t 2 – 0,0047t 3 99, 44% t r = 5,4918 – 0,2921t +0,106 t 2 - 0,0083t 3 + 0,0002t 4 99,46% t

Stima della continuità Una volta stimata la funzione della curva è possibile determinare la struttura sui nodi scelti, sostituendo i valori delle scadenze alle variabili indipendenti La curva è continua in ogni punto che rappresenta le scadenze

Stima della continuità (es.) Si prenda la prima curva stimata Il rendimento dell’attività con scadenza a 3 mesi si determina nel seguente modo Si calcola il valore di t. Nel caso specifico Nel parte seguente dei lucidi verrà esemplifico il procedimento che si deve seguire per ottenere la continuità della curva, una volta stimato il modello che si ritiene più adatto alla descrizione del comportamento dei rendimenti per scadenza.

Stima della continuità (es.) Si sostituisce il valore i t alla funzione di stima Si procede in questo modo su tutte le scadenze desiderate

Stima della continuità (es.) Nel caso delle funzioni stimate, fino al quarto grado, le strutture dei rendimenti sono le seguenti Si nota come i modelli tendano a rappresentare diversamente lo stesso fenomeno; in particolare, nei vertici estremi del tempo, i tassi risultano molto differenziati, raggiungendo, nell’esempio proposto, 40 punti base sul mese e 33 p.b. sui 10 anni.

Stima logaritmica Per ottenere migliori risultati in termini di stima è possibile operare mediante logaritmi La soluzione più semplice per stimare la curva dei rendimenti è quella proposta da Bradley e Crane i quali trasformano rendimenti e scadenze in forma logaritmica L’utilizzo della trasformata logaritmica consente di generare un migliore adattamento delle curve alla dinamica dei tassi. La soluzione più semplice per stimare la curva dei rendimenti è quella proposta da Bradley e Crane i quali trasformano i rendimenti osservati e le rispettive scadenze in forma logaritmica, regredendo l’indicatore di rendimento alla propria scadenza T Recuperando i dati dell'esempio contenuto nella , la stima della curva dei rendimenti secondo questo modello avviene utilizzando un pacchetto statistico che consente di quantificare il valore dei coefficienti :

Modello di Bradley-Crane Questo modello di stima ( =96,29) permette di ottenere la seguente serie di rendimenti Si osserva agevolmente come il valore stimato del TRES non coincida con quello effettivo, sia pure in misura contenuta. Per questa ragione la curva dei rendimenti secondo il modello di Bradley-Crane differisce da quella direttamente osservata sul mercato

Modello Cohen-Kramer-Waugh Nel modello proposto da Cohen, Kramer e Waugh, il rendimento diventa funzione della scadenza, della scadenza al quadrato e del quadrato del logaritmo sempre della vita residua Utilizzando sempre, per semplicità, i dati dell’esempio in , l’equazione viene stimata come di seguito: Il modello presenta un coefficiente di determinazione pari al 96,88 per cento, migliore di quello stimato secondo il modello di Bradley e Crane. FOGLIO EXCEL

Modello Cohen-Kramer-Waugh Sostituendo alle variabili dell’equazione i coefficienti stimati, si ottiene il valore del TRES stimato [r*(t)]. La rappresentazione grafico della curva è la seguente

Difetti dei modelli L’esistenza di flussi eterogenei I fattori di imposizione fiscale Le tipologie degli emittenti Misura del TRES I modelli presentati finora si limitano a individuare la relazione migliore dati i rendimenti del mercato. Queste metodologie, invero non permettono di annullare gli effetti distorsivi provocati dai fattori di eterogeneità del mercato obbligazionario. Le caratteristiche dei mercati obbligazionari e finanziari in genere, l'esistenza di cedole eterogenee, i fattori di imposizione fiscale, le forme di riscatto e pagamento, le tipologie degli emittenti e dei titoli stessi, sono tutti elementi che possono rendere eterogenei i rendimenti a scadenza osservati. Tutti i fattori che determinano un allontanamento dalle condizioni ideali di un mercato continuo di titoli zero coupon comportano un peggioramento della stima della curva dei rendimenti per scadenza.

Modello di Echols-Elliot Echols ed Elliot propongono una funzione di regressione che corregge la distorsione dovuta alle caratteristiche delle cedole dove i indica il titolo i-esimo e C è l'ammontare della sua cedola A tal fine è stata utilizzata, da Echols ed Elliot (1976), una funzione di regressione in base alla quale si è in grado di attenuare il fattore di disturbo dovuto alle caratteristiche delle cedole: l'equazione di stima può essere formalizzata secondo l’equazione riportata nel lucido. Nel caso in cui si volesse determinare la struttura dei rendimenti degli zero- coupon sarebbe possibile con questa equazione di stima considerare la cedola nulla e utilizzare esclusivamente i coefficienti della regressione. Seguendo l’esempio già utilizzato, il modello stimato è

Modello di Echols-Elliot Il modello stimato sull’esempio ( =96,85) permette di ottenere i risultati seguenti Il grafico che riproduce la curva stimata è il seguente

Il metodo TRES/duration La duration approssima la scadenza finanziaria di un titolo con cedola Per ottenere una curva continua è utilizzare i modelli di stima già proposti in precedenza Il difetto di associare il rendimento del titolo alla sua vita residua anche se si tratta di un titolo con cedola viene solo parzialmente risolto dal modello di Echols ed Eliott, poiché la stima statistica non sempre individua la corretta relazione fra cedola e vita residua che invece risulta implicita nella definizione della durata finanziaria o duration. La duration sostituisce la vita residua per effetto della sua caratteristica di approssimare la scadenza finanziaria di un titolo con cedola. Per ottenere una curva continua è utilizzare i modelli di stima già proposti in precedenza.

Interpolazione statistica Se si applicano i precedenti modelli ai dati dell’esempio, le curve stimate sono: La seconda funzione è quella preferibile in termini di parsimonia (rapporto fra numero delle variabili esplicative e bontà della stima)

Interpolazione statistica. Il modello TRES/Duration Se si applicano i precedenti modelli ai dati dell’esempio, le curve stimate sono: La seconda funzione è quella preferibile in termini di parsimonia (rapporto fra numero delle variabili esplicative e bontà della stima)

Altri modelli TRES/duration Oltre ai modelli statistici presentati si possono applicare quelli già visti per la vita residua Bradley e Crane Cohen, Kramer e Waugh

Difetti dei modelli TRES/duration La variabile temporale è dipendente dal rendimento stesso Il valore in ascissa varia per effetto del tempo ma anche per la variazione del TRES Con la duration si accorcia sensibilmente l’intera struttura dei rendimenti Un primo difetto dei metodi basati sulla duration consiste nello stimare il rendimento effettivo a scadenza in funzione di una variabile temporale anch’essa dipendente dal rendimento stesso. Inoltre, sostituendo alla durata nominale quella finanziaria si accorcia sensibilmente l’intera struttura dei rendimenti. Una possibile soluzione a questo problema consiste nello stimare i tassi spot, intesi come i rendimenti che si possono stimare attraverso un processo di coupon stripping:

Calcolo tassi spot Rendimenti di titoli zero-coupon Problema della stima in assenza di titoli senza cedola Metodo del coupon stripping Il metodo del calcolo dei tassi spot si basa su un procedimento che cerca di valutare “artificialmente” il tasso che avrebbe un flusso se potesse essere staccato dal suo titolo e alienato singolarmente. Nei paesi anglosassoni esistono mercati dei titoli strippati che permettono di recuperare direttamente sul mercato questi tassi. A partire da marzo 1998 è previsto l’avvio del mercato delle cedole strippate dei titoli trentennali BTp.

Calcolo tassi spot (es.) Formula di calcolo La formula del tasso spot differisce da quella del TRES per il fatto che stima un tasso per ciascun flusso, mentre il TRES ipotizza che il tasso sia lo stesso per tutta le sequenza dei flussi intermedi di un titolo. Ciò equivale a dire che i 60 flussi di un trentennale dovrebbero essere reinvestiti allo stesso tasso. Il tasso spot prevede invece che per ciascuna scadenza vi sia un solo rendimento, quindi un solo valore della funzione di sconto.

Calcolo tassi spot (es.)

Calcolo tassi spot (es.) Se sul mercato esiste un titolo a 6 anni con cedola annuale del 10% (coincidenti con la scadenza dei titoli zero coupon) e un prezzo pari a 97,56 è possibile determinare il tasso spot attualizzando le prime cinque cedole con i tassi della tabella precedente

Calcolo tassi spot (es.)

Stima struttura continua Una volta calcolati i tassi spot, è possibile stimare la continuità della curva con uno dei metodi di interpolazione precedenti Il rischio è quello di forzare la minimizzazione dell’errore, alterando la configurazione dell’intera curva Una volta calcolati i tassi spot, è possibile utilizzare uno dei metodi di interpolazione proposti nelle pagine precedenti, così da disporre di una curva continua. Un inconveniente in cui spesso si incorre quando ci si limita a interpolare i punti corrispondenti ai tassi spot è quello di forzare la minimizzazione dell’errore alterando la configurazione dell’intera curva. Si immagini di dovere stimare la struttura dei rendimenti sulla base del calcolo della seguente serie di tassi spot.

Stima struttura continua Si ipotizzi di volere stimare la curva dai seguenti tassi spot Se si stima la curva mediante il modello descritto in precedenza, si commette un errore medio particolarmente elevato, evidenziabile sia dal basso valore del coefficiente di determinazione (67,1%), sia dal confronto grafico dei dati effettivi dei tassi spot con quelli teorici

Il modello degli splines Una soluzione ampiamente utilizzata è quella degli spline Si tratta di un insieme di funzioni polinomiali separate rispetto a nodi predefiniti, in corrispondenza dei quali si garantisce la derivabilità La soluzione degli spline per la stima della struttura dei rendimenti garantisce in primo luogo che il cambiamento degli input in un segmento non altera i segmenti contigui: inoltre permette di ottenere tassi forward che risultano attendibili nel lungo termine, una curva forward differenziabile e l’interpolazione non introduce oscillazioni ulteriori alla configurazione originaria. Rimane la necessità di determinare il numero e la posizione dei nodi su cui stimare la curva dei rendimenti.

Il modello degli splines I benefici sono: il cambiamento degli input in un segmento non altera i segmenti contigui i tassi che esprimono le aspettative degli operatori sono attendibili nel lungo termine e la loro curva è differenziabile l’interpolazione non introduce oscillazioni ulteriori alla configurazione originaria

Il modello degli splines I problemi sono: occorre definire in modo soggettivo il numero e la posizione dei nodi se ci sono troppi nodi si torna alla stima dei tassi di mercato (overfitting) se i nodi sono pochi si rischia di allontanarsi eccessivamente dai dati di mercato, commettendo un errore elevato

Il limite dei modelli di stima Rimane un limite: i modelli ipotizzano che il rendimento rappresenti la relazione fra i tassi di mercato e le relative scadenze Il prezzo dei titoli obbligazionari è caratterizzato da altri elementi (emittente, flusso cedolare, tassazione sulle componenti di capitale e di interesse) I modelli presentati fino a ora presuppongono che il tasso di rendimento effettivo costituisca il fattore in grado di rappresentare la relazione fra i tassi di mercato e le relative scadenze. Che questo processo non sia corretto è intuibile dal fatto che i titoli obbligazionari (quindi il loro prezzo) sono caratterizzati da numerosi elementi quali l’emittente, il flusso cedolare, l’eventuale tassazione sulle componenti di capitale e di interesse, le altre componenti contrattuali e, naturalmente, la scadenza. La term structure, invece, è la relazione, ceteris paribus, del prezzo di queste attività finanziarie rispetto alla sola scadenza: ciò significa che occorrerebbe calcolare questa relazione in assenza di rischio di credito, su titoli zero coupon, senza tasse o altri elementi che possano differenziarli, salvo la durata. Le due soluzioni proposte, la duration e il tasso spot, sono entrambe criticabili perché dipendenti, sia pure in forma diversa, dal rendimento effettivo a scadenza realmente misurato sul mercato.

Il modello matriciale Il modello matriciale permette di interpretare la relazione fra titoli e scadenze, grazie al vettore dei rendimenti coerente con il set delle scadenze cedolari e di capitale dell’intero mercato Una possibile alternativa è quella di risolvere il problema della relazione fra titoli e scadenze mediante un sistema matriciale (o di algebra lineare) che possa individuare il vettore dei rendimenti coerente con il set delle scadenze cedolari e di capitale dell’intero mercato. Occorre considerare la matrice degli m flussi degli n titoli

Il modello matriciale Partendo dalla matrice F degli m flussi degli n titoli Si deve risolvere il sistema dove P è il vettore degli n prezzi e v è il vettore degli m fattori di sconto

Il modello matriciale Per verificare l’affidabilità di questo modello ci si deve accertare che sia in grado di risolvere un sistema di equazioni caratterizzato da titoli zero coupon determinando il vettore v dei fattori di sconto effettivamente calcolabili mediante la formula Gli esempi che seguono, permettono di verificare come questo metodo sia in grado di determinare il tasso di rendimento effettivo di titoli zero coupon. Questo risultato permette di ipotizzare che, se applicato ad una matrice di dati di mercato, in cui anche le cedole condizionano il rendimento del titolo, sia possibile individuare una struttura dei rendimenti adatta a rappresentare le condizioni più vicine a quelle di mercato.

Il modello matriciale Ripartiamo dall’esempio dei titoli zero coupon

Il modello matriciale Le matrici del modello sono le seguenti

Il modello matriciale Occorre quindi risolvere il sistema lineare per ottenere i valori del vettore v dei fattori di sconto

Il modello matriciale Per ottenere il valore di v(1) si deve anzitutto risolvere il determinante della matrice

Il modello matriciale Quindi occorre calcolare il determinante della matrice F

Il modello matriciale A questo punto si risolve il rapporto fra i due determinanti, ottenendo il valore della funzione di sconto in corrispondenza del primo anno

Il modello matriciale Per ottenere il rendimento del titolo senza cedola a 1 anno si risolve la formula seguente

Il modello matriciale In modo del tutto analogo, il valore di v(2) si ottiene calcolando il determinante della matrice

Il modello matriciale Rapportando il determinante riportato nel lucido precedente con quello della matrice F si ottiene

Il modello matriciale Il rendimento del titolo a due anni si ottiene nel modo seguente

Il modello matriciale La bontà del modello è confermata dalla coincidenza dei rendimenti originari I risultati coincidono con quelli attesi e consentono di ritenere il metodo di algebra lineare utilizzabile anche nei casi, più pratici, di stima della term structure con titoli che presentano delle cedole.

Il modello matriciale Si consideri un esempio concreto Una volta dimostrato che il metodo matriciale è adeguato a rappresentare un mercato di zero coupon, applichiamo le stesse regole ad un mercato che effettivamente è stato osservato nel marzo 1997. Si prenda il caso di una ventina di titoli selezionati in modo tale da generare una matrice F caratterizzata da flussi semestrali quasi coincidenti. Il vettore P dei prezzi quotati in data valuta 26/3/1997 (25/3/1997 per i BOT) è il seguente. L’obiettivo è, come nel caso precedente, individuare i valori del vettore v. L’obiettivo è, come nel caso precedente, individuare i valori del vettore v

Il modello matriciale Flussi dei titoli monetari e obbligazionari (BOT, CTZ e BTP quotati il 26.3.1997) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 100 4,5 104,5 100 3,75 103,75 3 103 5,25 105,25 6,25 106,25 6 106 3,125 103,125 6 106 5,75 105,75 4,5 104,5 4,25 104,25 4,25 105,25 5,25 Per determinare la term structure implicita nel mercato rappresentato dalla matrice dei flussi e dal vettore dei prezzi è necessario seguire il percorso già descritto in precedenza Si consideri il calcolo del fattore di sconto della scadenza 6 mesi 5,25 105,25 4,75 104,75 3,875 103,875 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 103,375

Il modello matriciale Il determinante della prima matrice è il seguente

Il modello matriciale Il determinante della matrice F è il seguente

Il modello matriciale Il fattore di sconto v(0,5) si individua rapportando i due determinanti mentre il rendimento è dato da

Il modello matriciale Il risultato completo è riprodotto di seguito Il risultato complessivo della risoluzione matriciale è riportata nella tabella. Si nota come la term structure calcolata presenti una configurazione tendenzialmente crescente con alcune spezzate il cui andamento angolare dipende dalla dimensione della matrice dei flussi considerati nella stima.

Il modello matriciale La rappresentazione grafica delle curve mostra le differenze I metodi statistici o matematici già descritti consentono di realizzare un migliore fitting della term structure Il modello statistico presenta la stima con un coefficiente di determinazione pari all’80,89% Migliore è la curva ricavata con le cubic splines ottenute con 4 nodi (posti rispettivamente a 3, 5, 7 e 10 anni)

Limite del modello matriciale Dipende dall’esistenza di una matrice F non ridondante, cioè non caratterizzata da titoli che possano essere perfettamente replicati con portafogli di altri titoli anch’essi considerati nella matrice Un elemento critico del metodo basato sull’algebra lineare è quello di dipendere dall’esistenza di una matrice F non ridondante, cioè non caratterizzata da titoli che possano essere perfettamente replicati con portafogli di altri titoli anch’essi considerati nella matrice. Se infatti il prezzo del titolo replicabile dovesse differire dalla combinazione lineare dei prezzi dei titoli che lo replicano, l’equazione non genererebbe alcuna soluzione. Questa condizione consente di evidenziare il limite finanziariamente più rilevante dei modelli precedentemente descritti, che ammettono soluzioni anche non coerenti con le reali opportunità dei mercati finanziari i quali, in condizioni di efficienza, annullano ogni possibilità di arbitraggio. A questo fine sono stati sviluppati in letteratura modelli volti a incorporare le ipotesi di equilibrio di mercato, generalmente detti no-arbitrage model.