Metodi numerici per lo studio di sistemi multicorpo Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Metodi numerici per lo studio di sistemi multicorpo V. Lorenzi Dipartimento di Progettazione e Tecnologie

Esempi di sistemi multibody

Cos’è un sistema multicorpo: È un insieme di due o più corpi collegati tra loro in modo che sia conservata la possibilità di moto relativo F M

Schema della presentazione Struttura, vincoli e gradi di libertà nei sistemi multibody Tipi di coordinate Classi di problemi Cenni sull’ integrazione tra FEM e multibody

Struttura di un sistema multicorpo Un sistema multicorpo può essere a catena aperta … o a catena chiusa

Giunti e gradi di libertà I corpi sono collegati tra loro tramite giunti… I gradi di libertà corrispondono al numero di coordinate indipendenti che definiscono la posizione del sistema. Formula di Gruebler: dof=6*n_corpi-nv

Giunti e gradi di libertà …si scambiano azioni tramite elementi elastici, viscosi… Alcuni vincoli legano tra loro solo le velocità (o le variazioni delle coordinate)

Vincoli anolonomi La ruota ha 4 gdl: 2 gdl per il centro e due rotazioni. Le 2 eq. di vincolo legano le velocità, ma non riducono i gradi di libertà.

Tipi di coordinate Per definire la posizione si puo’ usare un set di coordinate indipendenti o un set esteso di coordinate dipendenti legate da equazioni di vincolo Un programma “general purpose” utilizza il medesimo set: coordinate relative coordinate cartesiane coordinate naturali Un programma dedicato può utilizzare formulazioni miste

Coordinate relative Vediamo un esempio di uso di coordinate relative per un quadrilatero articolato 3 coordinate, 1 gdl, perciò 2 equazioni di vincolo

Coordinate cartesiane Ed ora cartesiane.. 9 coordinate, 1 gdl, perciò 8 equazioni di vincolo…

Coordinate relative in 3D Molto usata la notazione di Denavit e Hartenberg, con matrici omogenee 4x4

Matrici omogenee A [3x3] definisce l’orientamento del corpo R[3x1] la posizione dell’origine della terna Si hanno a disposizione 9+3 equazioni tra loro dipendenti

Coordinate cartesiane in 3D Nel caso 3D si usano le coordinate di un punto e l’orientamento. Per definire l’orientamento vengono usati gli angoli di Eulero, di Cardano (3 parametri indipendenti) o set di 4 coordinate dipendenti (parametri di Rodriguez-Hamilton, quaternioni, asse di rotazione finita) Le equazioni di vincolo sono in generale del tipo:

Coordinate relative Vantaggi : Svantaggi: ridotto numero di coordinate adatte a catena aperte facilità nell’imporre moti relativi nei giunti Svantaggi: la posizione di un elemento dipende da tutti quelli precedenti equazioni di vincolo e matrice di massa “piene” devono essere individuati anelli indipendenti

Coordinate cartesiane Vantaggi: la posizione di ciascun corpo è determinata direttamente equazioni di vincolo e matrice di massa “sparse” uniformità nel trattare catene aperte o chiuse Svantaggi: numero elevato (dipende dal problema) “difficoltà” nell’imporre moti relativi ai giunti

Classi di problemi Analisi cinematica Analisi dinamica Studio del movimento di un sistema multicorpo a prescindere dalle forze agenti Analisi dinamica Studio del movimento di un sistema multicorpo in relazione alle forze agenti Sintesi cinematica e dinamica Progetto di un sistema multicorpo che soddisfa “criteri” cinematici o dinamici

Approccio numerico-simbolico I programmi per l’analisi di sistemi multicorpo possono formulare le equazioni in forma: Simbolica Vantaggi: rapidità, possibilità di costruire applicazioni stand- alone. Difficoltà nel gestire “eventi” Numerica Vantaggi: generalità

Cinematica-Assemblaggio Con n coordinate q e m equazioni di vincolo si possono imporre n-m valori iniziali

Cinematica Analisi di posizione e simulazione cinematica Consente di esaminare il posizionamento del meccanismo, individuare collisioni, determinare gli angoli di pressione etc.

Cinematica Velocità: nota la velocità dei moventi determinare la velocità del sistema: Accelerazione: nota l’accelerazione dei moventi determinare l’accelerazione del sistema Sono problemi lineari nelle velocità e accelerazioni. Se il sistema ha n coord q, m eq. di vincolo devono essere assegnate n-m=f posizioni, velocità ed accelerazioni

Cinematica Vincoli sovrabbondanti: Nel piano il quadrilatero ha 3x3-4x2=1gdl In 3D il quadrilatero ha 3x6-4x5=-2gdl ! Si eliminano i vincoli sovrabbondanti o si risolve il problema nel senso dei minimi quadrati

Dinamica Equazioni di moto: approccio Lagrangiano per un sistema vincolato con coordinate dipendenti n+m equazioni in n+m incognite L=T-V=Lagrangiana T=Energia cinetica del sistema, V=energia potenziale, Qex=carico generalizzato =moltiplicatori di Lagrange reazioni vincolari

Equazioni di moto x q y

Equazioni di moto 1 2 Ad es. la prima equazione risulta semplicemente: x y l1 Ad es. la prima equazione risulta semplicemente:

Equazioni di moto In generale le equazioni di moto sono nella forma: Dinamica diretta: noti i carichi le equazioni forniscono i valori di accelerazione e i moltiplicatori di Lagrange.

Equazioni di moto Dinamica inversa noto il movimento le equazioni forniscono i valori delle reazioni vincolari e le “coppie”ai giunti. I carichi possono poi essere utilizzati per il dimensionamento o la verifica dei membri

Equazioni di moto La … posizione di equilibrio statico si trova risolvendo il sistema nonlineare in q e , ottenuto ponendo q’ e q”=0 Le equazioni di moto possono essere poi linearizzate attorno alla posizione di equilibrio. Il sistema linearizzato fornisce le frequenze proprie, i modi di vibrare del sistema. Ne risulta anche un “blocco” lineare che può essere utilizzato nella sintesi di un controllore o nell’analisi di stabilità.

Sintesi Mecc. generatore di funzione Mecc. generatore di traiettorie Equazioni di vincolo Relazioni funzionali

Elementi flessibili Elementi flessibili vengono modellati a EF Gli spostamenti u dei nodi, dovuti alla flessibilità, vengono definiti tramite un set ridotto di coordinate qf e di “modi”, ottenuti dai modi “statici” e da una analisi modale u=Nqf

Elementi flessibili u0+uf r R … e con approccio Lagrangiano si ottengono le equazioni di moto…

Elementi flessibili FEM MBS Stress

Conclusioni I modelli, per quanto raffinati, rimangono sempre tali: deve essere sempre verificata la corrispondenza tra modello e realtà. Fattori trascurati nel modello possono essere invece importanti. Bisogna mantenere il senso fisico del fenomeno. La parte sperimentale di verifica dei risultati non va trascurata.