MODELLAZIONE DIGITALE Modello numerico - Modello matematico “il modello numerico, una volta che sono state accuratamente descritte le modalità della sua acquisizione, può essere considerato come un dato oggettivo. […] Al contrario, la deduzione del modello matematico dal modello numerico è frutto di una interpretazione e non è ripetibile a meno di non assumere le medesime ipotesi interpretative” Riccardo Migliari Modello numerico: il modello numerico è il risultato di un campionamento di parti rappresentative di un oggetto. immagini ottenute mediante fotocamere digitali acquisizioni di fotografie per mezzo di scanner modelli digitali del terreno nubi di punti ottenute con la scansione tridimensionale dello spazio Modello matematico: descrive in maniera più dettagliata e somigliante i fenomeni analizzati; in questo caso i codici numerici sono strutturati e organizzati per descrivere forme geometriche, dimensioni da associare a queste forme oppure informazioni qualitative utili alla loro rappresentazione.

“siamo di fronte a realtà [realtà percepita e modello] da considerare omologhe quando è simile la loro struttura ma non la loro forma e la loro funzione; a realtà analoghe quando sono simili struttura e funzione ma non la forma; a realtà isomorfiche quando sono simili struttura e forma ma la funzione può essere o non essere simile” Tomás Maldonado Esistono molteplici tipologie di modelli digitali, ognuna delle quali con caratteristiche, campi di applicazione e software per la loro creazione e gestione assolutamente specifici. Operativamente la realizzazione di un modello digitale tridimensionale si può suddividere in tre fasi, ognuna delle quali richiede la definizione formale di una caratteristica propria del modello che si vuole ottenere: la geometria la topologia la fotometria

“La topologia, detta anche analysis situs, studia le proprietà delle figure geometriche che persistono anche quando tali figure sono deformate in modo da perdere ogni loro ulteriore proprietà metrica, descrittiva e proiettiva. La topologia studia cioè le proprietà intrinseche di ogni configurazione geometrica, di ogni campo, ovvero quelle proprietà che rimangono inalterate dalla deformazione. Queste proprietà sono anche definite proprietà delle superfici curve, ma non dobbiamo pensare a superfici curve nel senso di superfici sferiche, rotonde, o prive di spigoli, ma a superfici continue deformate o deformabili” Attilio Marcolli

Le molteplici necessità di realizzare modelli sempre più “specializzati” hanno portato alla nascita di un’altrettanto ampia famiglia di software per la loro modellazione. Modellatori wireframe Questi tipi di modellatori, integrando e sviluppando le potenzialità dei primi sistemi di disegno digitale 2D, consentivano di elaborare dei modelli costituiti essenzialmente da linee che collegavano punti nello spazio 3D: una sorta quindi di trasposizione in uno spazio tridimensionale di ciò che il disegno tecnico al computer permetteva, fino ad allora, di fare in uno spazio bidimensionale. Modellatori poligonali Questi modellatori sfruttavano la possibilità di descrivere le forme reali attraverso delle facce poligo-nali, spesso solo dei triangoli (in virtù della efficienza data loro dalla caratteristica di essere sempre e solo complanari e convessi). Questa tipologia di software presenta dei limiti rappresentati dall’approssimazione con cui si riescono a simulare le superfici curve: è intuitivo, infatti, che al crescere del numero di poligoni impiegati dal modello aumenti anche il grado di similarità rispetto alle superfici reali, ma al tempo stesso aumenti anche il grado di complessità del modello (in termini di pesantezza del data base e di difficoltà di gestione).

Modellatori per superfici Sono in grado di descrivere un modello digitale tridimensionale per mezzo di una rappresentazione di elementi geometrici bidimensionali che descrivono le superfici visibili dell’oggetto: compito dell’utente quindi è quello di assemblare le superfici (disgiunte) in modo tale da ottenere la forma ricercata (la pelle esterna dell’oggetto), senza che il software consideri quindi alcuna relazione topologica. Anche nel caso dei modellatori per superfici il loro approccio teorico comporta dei limiti; i modelli realizzati, infatti, si configurano come delle scatole vuote che mal si prestano a essere associate a alcune caratteristiche fisiche degli oggetti reali (tipo di materiale, peso specifico, proprietà di massa). Modellatori solidi In questi modellatori si affiancavano due sistemi di modellazione: quella che prevedeva l’uso di operazione booleane per combinare forme geometriche elementari (Constructive Solid Geometry), e quella che descriveva tutte le facce di contorno e i legami topologici (Boundary Representation). Modellatori ibridi Questa tipologia di modellatori, nata dall’integrazione tra modellatori per superfici e modellatori solidi, comporta degli innegabili vantaggi dal punto di vista della rappresentazione del reale riuscendo ad integrare le potenzialità dei tipi di modellatori sviluppati in precedenza.

La matematica delle superfici Le infinite forme spaziali rappresentabili con l’ausilio di un computer si possono dividere in due grandi categorie: gli elementi geometrici definibili (geometria esatta) e gli elementi geometrici non definibili (geometria approssimata). Nel campo della geometria esatta si possono annoverare tutti gli elementi appartenenti alla geometria classica (piani, sfere, parabole, cilindri, ecc.); per poter rappresentare tutte quelle forme che non sono “assemblabili” per mezzo di questi elementi (forme non definibili) sono stati sviluppati degli algoritmi, che, basandosi sulla tecnica dell’approssimazione con polinomi, hanno consentito di superare i limiti della geometria classica. I polinomi sono delle espressioni algebriche con costanti (coefficiente numerico) e variabili (parte letterale) moltiplicate tra di loro.

Curva di Bézier Questo tipo di curva si può sinteticamente descrivere come una curva definita da una poligonale con quattro vertici, il primo e l’ultimo dei quali sono interpolati, mentre i due centrali vengono approssimati; inoltre il segmento che collega i primi due è tangente alla curva nel primo punto e il segmento che collega gli ultimi due è tangente alla curva nell’ultimo punto. Questo sistema di rappresentazione di curve fu ovviamente rivoluzionario, ma mostrò ben presto alcuni limiti operativi: le curve di Bézier sono infatti curve a controllo globale, non permettono cioè di operare delle modifiche al loro interno, in uno specifico punto, senza che l’intera configurazioni muti; esse inoltre, per configurazioni complesse, richiedono parecchi punti di controllo, rendendo la loro gestione non particolarmente agevole; ma la limitazione forse più grave consiste nella loro impossibilità a descrivere delle curve coniche in maniera precisa.

Curve di Bézier

Curva di Bézier razionali In questo tipo di curva, l’introduzione di un valore aggiuntivo (peso) ad ogni polo, consentiva di definire la capacità che ogni polo ha di influire sulla forma della curva. Curva spline Un approccio diverso al problema ci viene fornito dagli studi di Steve Coons e dalle cosiddette spline. Le spline si possono brevemente definire come delle curve interpolanti a controllo globale: esse cioè possiedono dei punti di controllo che appartengono alla curva stessa (non sono esterni come nella curva di Bézier), ma presentano, al pari delle curve di Bézier, la caratteristica di non poter subire delle modifiche localizzate.

Curva spline

Curva B-spline (basis-spline) Questo tipo di curve si presenta come una serie di curve di Bézier concatenate tra loro in punti chiamati knot (indipendenti dai punti di controllo) e possiede quindi la caratteristica di poter subire delle modifiche localizzate. Queste B-spline presentano anche un’altra caratteristica importantissima: esse possono essere parametrizzate sia in modo uniforme (i knot sono posti a intervalli uguali), sia in maniera non uniforme (Non Uniform B-Spline); in quest’ultimo caso la curva presenta una flessibilità operativa maggiore, in quanto offre la possibilità di avere segmenti di curva di lunghezza diversa, anche uguale a zero (cuspidi).

Curve NURBS Nonostante la grande flessibilità offerta dalle curve analizzate in precedenza, rimaneva come più grande limite quello di rappresentare in maniera precisa ed affidabile le coniche. Questo limite fu superato infine con l’introduzione delle NURBS (Non Uniform Rational B-Spline). Come avevamo visto in precedenza per le curve di Bézier razionali, anche in questo caso si adotta un parametro, che, inserito nella formulazione delle Non Uniform B-Spline, ne consente un controllo locale e una flessibilità perfetta: caratteristiche che ne hanno decretato il successo nell’ambito della modellazione geometrica digitale.

Curve NURBS

Curve NURBS

Curve NURBS