OMOLOGIA

OMOLOGIA La relazione omologica è una corrispondenza fra enti geometrici di seconda specie (figure piane) L’omologia si ottiene sovrapponendo le proiezioni di una medesima figura effettuate da due centri di proiezione differenti. In sintesi possiamo dire che l’omologia è un principio di trasformazione

Quali sono gli elementi necessari per individuare un’omologia? I due centri di proiezione, i due piani sovrapposti, il piano π oggetto di proiezione, il centro dell’omologia e l’asse dell’omologia. Inoltre è possibile sviluppare una relazione omologica, passare cioè da un forma di secondo grado ad un’altra quando sono noti nel piano: il centro dell’omologia, l’asse dell’omologia, e due punti corrispondenti o due rette corrispondenti.

Punti corrispondenti sono le immagini dello stesso punto proiettate da due centri di proiezione su due piani diversi. Punti corrispondenti A’ e A’’ Centri di proiezione S’ e S’’ Piani sovrapposti (π’ e π’’) Asse u dell’omologia Centro U dell’omologia

Il centro U dell’omologia è allineato con i centri S’ e S’’ di proiezione. Le rette che uniscono i punti corrispondenti convergono nel centro U Fascio di rette di centro U

Definizione di retta unita La retta a su π la sua immagine sui piani sovrapposti π’ e π’’ è una retta unita poiché le sue due proiezioni (a’ e a’’) si sovrappongono La retta unita congiunge punti corrispondenti

L’asse u dell’omologia è dato dall’intersezione del piano π con i piani sovrapposti π’ e π’’. L’asse u dell’omologia è una retta di punti uniti. Qui si incontrano tutte le rette corrispondenti (per ulteriori delucidazioni su questo argomento vedi pagg.47-59 di Docci, Migliari, La scienza della rappresentazione)

Asserti omologici in forma duale In una omologia sono unite le rette che appartengono a punti corrispondenti, esse appartengono ad un fascio che ha centro “U” nel punto in cui la retta che passa per i centri di proiezione interseca i piani di proiezione sovrapposti π’ e π’’ Il punto U si chiama centro dell’omologia In una omologia sono uniti i punti che appartengono a rette corrispondenti, essi appartengono alla retta “u” intersezione del piano rigato e punteggiato, oggetto della proiezione, con i piani di proiezione sovrapposti π’ e π’’. La retta u si chiama asse dell’omologia Punti corrispondenti sono allineati con il centro dell’omologia Rette corrispondenti si intersecano sull’asse dell’omologia

Dato l’asse dell’omologia u, il centro dell’omologia U, e due punti corrispondenti A’ e A’’, trovare la trasformata omologica della circonferenza data

Dato l’asse u, il centro U dell’omologia, due rette corrispondenti r’ e r’’ e il punto A’ trovare il punto A’’ A’ P’ r’ u P’’ A’’ U r’’

Dato l’asse u, il centro U dell’omologia, due punti corrispondenti A’ e A’’ e il punto B’’ trovare il punto B’ u B’’ A’ A’’ U

RETTA LIMITE (vista assonometrica) Le rette limite sono parallele all’asse dell’omologia infatti sono proiezioni di rette parallele all’asse u e al quadro π.

RETTA LIMITE Le rette limite i e j in una “vista di profilo”

Dato il quadrilatero (A’B’C’D’) il centro U e l’asse u dell’omologia, determinare la trasformata omologica (A”B”C”D”), posto che la retta j’ dove convergono i lati della figura data sia la retta limite dell’omologia F E

FIGURE PIANE

TRIANGOLI

POLIGONI REGOLARI

TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA

RAPPORTI PROPORZIONALI FRA I LATI DI UN RETTANGOLO

RETTANGOLO 1:√2

SEZIONE AUREA

SEZIONE AUREA si dice sezione aurea del segmento AC, il segmento AB, con B compreso tra A e C, medio proporzionale tra l'intero segmento AC e la parte rimanente BC. SERIE DI FIBONACCI

Come si costruisce un rettangolo aureo

Spirale armonica

OTTAEDRO ARIA TETRAEDRO FUOCO CUBO TERRA ICOSAEDRO ACQUA DODECAEDRO UNIVERSO

il lato del decagono regolare convesso è uguale alla sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta:

TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.                                                               Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD.

TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.                                               Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura precedente.

PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.   Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che più di ogni altra rappresenta, all'infinito, la sezione aurea. E' forse per questo motivo che questo fu scelto come simbolo della scuola pitagorica.  

RAPPORTI PROPORZIONALI

RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

MODULOR

La serie rossa ascendente si ottiene moltiplicando la misura 1 La serie rossa ascendente si ottiene moltiplicando la misura 1.13 per il numero aureo 1,618… La serie blu ascendente moltiplicando 2.26 per il numero aureo 1,618…

La serie rossa discendente si ottiene moltiplicando la misura 1 La serie rossa discendente si ottiene moltiplicando la misura 1.13 per la sezione aurea 0,618… La serie blu discendente moltiplicando 2.26 per la sezione aurea 0,618…

Alcuni numeri appartenenti alla serie rossa determinano l’asse delle campate in ville Savoye