Università degli Studi di Tramo Facoltà di Scienze della Comunicazione Master Universitario di I livello Comunicazione e Divulgazione Scientifica   Direttore del Corso Ch.mo Prof. Franco Eufeni La Dimensione: tra immaginazione e realtà Candidata Dott.ssa Antonietta Esposito Relatore Prof. Ferdinando Casolaro

La Dimensione

La Dimensione Il punto ha dimensione 0 La linea ha dimensione 1 La superficie ha dimensione 2 Il solido ha dimensione 3

La IV Dimensione

La IV Dimensione “Nessuno è in grado di indicare la quarta dimensione, eppure essa ci circonda. La quarta dimensione è una direzione diversa da tutte le direzioni dello spazio normale. Alcuni dicono che la quarta dimensione è costituita dal tempo e, in un certo senso, questo è vero. Altri affermano che la quarta dimensione è una direzione dell' iperspazio affatto diversa dal tempo... e anche questo è vero”. Rudy Rucker

La IV Dimensione “E’ stata la totalità delle esperienze derivanti dal mondo a noi circostante a motivare l’estensione delle conoscenze geometriche dalla II alla III dimensione, ma poco o nulla a suggerire lo studio degli spazi a più di tre dimensioni. Ciò tuttavia è irrilevante. Infatti, se la geometria è debitrice al mondo esterno per il suo sviluppo, ne è anche logicamente indipendente. La geometria è una creazione della mente umana e solo incidentalmente e fortuitamente è un riflesso del mondo delle esperienze fisiche...” C. R. Wylie Jr

Una sfera fa visita ad un quadrato Buongiorno signor Quadrato!!! La sfera non contenta di essere considerata un’aberrazione psicologica, decidere di entrare nel mondo piatto… Un essere bidimensionale, come un quadrato, non vede la sfera che aleggia lungo la terza dimensione, e sentendone la voce crede di essere ammattito!!! Un essere tridimensionale nel mondo piatto esiste solo parzialmente!!

Intersezione di una sfera con un piano Quando un essere tridimensionale tocca il suolo di lui si vede solo il punto di contatto con il terreno. Via via che la sfera scivola sul piano si vedono apparire figure dal nulla. Il quadrato conclude che MATTO!!!

Alla scoperta della III Dimensione La sfera non soddisfatta, afferra il quadrato e lo porta in una misteriosa dimensione: “SOPRA” !

H. von Helmovitz “Immaginiamo che esistano esseri dotati di ragione, bidimensionali, viventi, e moventesi sulla superficie di uno dei nostri corpi solidi e che non possano percepire alcunché fuori di questa superficie. Se tali esseri costruissero la loro geometria, attribuirebbero naturalmente al loro spazio due sole dimensioni “ (1870)

Analogia Platone, VII Libro – La Repubblica

Flatlandia Donna, Soldato, Operaio, Mercante, Professionista, Gentiluomo, Nobile, Gran Circolo (Sacerdote)

Analogia In Una Dimensione - osserva il Quadrato - un Punto in movimento genera una Linea con due Punti terminali. In Due dimensioni, una Linea in movimento genera un Quadrato con quattro Punti terminali In Tre Dimensioni, un Quadrato in movimento genera - e questo mio occhio l’’ha contemplato - quell'Essere benedetto, un Cubo, con otto Punti terminali 2,4,8: non è una Progressione Geometrica? Allora in Quattro Dimensioni, un Cubo in movimento darà origine, per l’Analogia, a un Organismo più divino con sedici Punti terminali

Analogia “Oh mio Signore – afferma il Quadrato rivolto alla Sfera – …conducetemi in quella regione benedetta, (Thoughtlandia ) dove io con il Pensiero vedrò l’interno di ogni cosa solida! E una volta colà, vorremo arrestare il corso della nostra ascesa? In quella beata regione a Quattro Dimensioni, indugeremo forse sulla soglia della Quinta, e non vi entreremo? “

Una rappresentazione dello spazio a quattro dimensioni

Da 0-Dim a 1-Dim t01 traslazione Punto Segmento Dimensioni: 0 Vertici: 1 traslazione t01 Segmento Dimensioni: 1 Vertici: 2 Spigoli: 1

Da 1-Dim a 2-Dim t12 traslazione Segmento Quadrato: Dimensioni: 1 Vertici: 2 Spigoli: 1 Quadrato: Dimensioni: 1 Vertici: 4 Spigoli: 4 Facce: 1

Da 2-Dim a 3-Dim t23 traslazione Quadrato: Dimensioni: 1 Vertici: 4 Spigoli: 4 Facce: 1 Cubo Dimensioni: 3 Vertici: 8 Spigoli: 12 Facce: 6 Cubi: 1

Da 3-Dim a 4-Dim t34 traslazione Cubo Dimensioni: 1 Vertici: 8 Spigoli: 12 Facce: 6 Cubi: 1 Ipercubo Dimensioni: 4 Vertici: 16 Spigoli: 32 Facce: 24 Cubi: 8 Ipercubi: 1

Ipercubo Proiezione tridimensionale dell’ipercubo

Generalizzazione pk: numero vertici (0-dim) del k-cubo sk: numero spigoli (1-dim) del k-cubo fk: numero facce (2-dim) del k-cubo ck: numero cubi (3-dim) del k-cubo

Generalizzazione Con un po’ di pazienza… Dim. k-cubo pk sk fk ck 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 2 4 4 1 0 3 8 12 6 1 4 16 32 24 8 … … … … … … e con un po’ di intuito

Generalizzazione Allora la nostra congettura diventa: Inizializzazione: k \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 8 12 6 1 0 0 0 0 0 0 0 4 16 32 24 8 1 0 0 0 0 0 0 5 32 80 80 40 10 1 0 0 0 0 0 6 64 192 240 160 60 12 1 0 0 0 0 7 128 448 672 560 280 84 14 1 0 0 0 8 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 0 0 9 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 0 10 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1 … … … … … … … … … … … … punto segmento quadrato cubo ipercubo supercubo fantacubo extracubo specialcubo elefancubo kilocubo

Teorema hk è uguale a 1, per ogni k Calcoliamo: hk k \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 8 12 6 1 0 0 0 0 0 0 0 1 4 16 32 24 8 1 0 0 0 0 0 0 1 5 32 80 80 40 10 1 0 0 0 0 0 1 6 64 192 240 160 60 12 1 0 0 0 0 1 7 128 448 672 560 280 84 14 1 0 0 0 1 8 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 0 0 1 9 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 0 1 10 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1 1 … … … … … … … … … … … … … hk è uguale a 1, per ogni k

Teorema Il teorema può essere generalizzato. Allora vale la formula: Caso particolare: k=3 Ossia: Vertici – spigoli + facce = 2 (formula di Euler per i poliedri)

Rappresentare uno spazio a quattro dimensioni

Rappresentiamo l’Ipercubo Utilizzando l’ANALOGIA vi sono 2 Modalità.

Il Cubo Un cubo, schematizzato da un fil di ferro, visto da vicino appare come un quadrato piccolo contenuto in quadrato più grande.

Ipercubo L’ipercubo può essere rappresentato disegnando due cubi concentrici con tutti i vertici uniti da linee. L’idea è che il cubo più piccolo si trovi più lontano, lungo la quarta dimensione Thomas Banchoff

Ipercubo Pierelli 1974

Sviluppo di un cubo Esistono 11 modi per sviluppare un cubo!

Sviluppo di un ipercubo

Sviluppo di un ipercubo S. Dalì - Corpus Hypercubicus

Muoversi in uno spazio a quattro dimensioni

Come si percepirebbe il mondo tridimensionale muovendosi nell’iperspazio? Allo stesso modo di come noi esseri 3D possiamo vedere tutti e quattro i lati di un quadrato e tutti i particolari del suo interno, allo stesso modo un essere 4D riuscirebbe a vedere con un solo colpo d’occhio ogni centimetro del nostro corpo, interno ed esterno

Destra o Sinistra? Il profilo di una mano disegnata su una lastra di vetro può essere sia destra che sinistra. Basta effettuare una rotazione nello spazio 3D! Nello sapzio 3D ogni figura piana può essere trasformata nella sua speculare mediante una Rotazione. Analogamente mediante una rotazione nello spazio 4D è possibile trasformare una figura solida nella sua immagine speculare.

Cubo di Necker Figura ambigua che dà origine a un'inversione di profondità permettendo due prospettive orientate in direzioni diverse. Ecco un esempio di rotazione 4D

Il tempo come IV dimensione

Spazio - Tempo Introdotto da Einstein l’Universo piatto (modello euclideo) è un Universo vuoto e privo di materia, in quanto la presenza di materia introduce una curvatura nello spazio. Spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di Minkovsky l'insieme dei punti-eventi (x, y, z, t) definisce un continuo a quattro dimensioni che rappresenta uno spazio geometrico .

Spazio – Tempo di Minkovsky per t = 0 (ovvero t = costante), si ha l'iperpiano , che è lo spazio geometrico euclideo tridimensionale, in cui valgono le leggi della cinematica classica; se invece è costante una delle coordinate x, y, z, si hanno iperpiani di che caratterizzano modelli cinematici relativistici su , che è l'analogo del piano euclideo

Conclusioni la geometria non si può astrarre dall’evoluzione fisica!!