DISEQUAZIONI Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare:                         f(x) > g(x)       f(x) ³ g(x)                         f(x) < g(x)       f(x) £ g(x)

SOLUZIONI Le soluzioni vanno cercate nell’insieme: I = D(f) D(g) Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1) Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione (ex: x2 +1 > 0) Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x2 + 2 < 0)

PRINCIPI DI EQUIVALENZA Due disequazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa.   1) f(x) > g(x) f(x) + h(x) > g(x) + h(x) con h(x) espressione qualsiasi nella variabile x. 2) f(x) > g(x) m · f(x) > m · g(x) ( m > 0 ) m · f(x) < m · g(x) ( m < 0 )

ESEMPIO -2x > 24 x < -12

INTERVALLI DELLA RETTA Siano a e b due ascisse a < b: [ a , b ] = {xR: a  x  b} ] a , b ] = {xR: a < x  b} = ( a , b] [ a , b [ = {xR: a  x < b} = [ a , b ) ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b )

INTERVALLI DELLA RETTA ] -  , b ] = {xR: x  b} = ( -  , b ] ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b ) [ a , +  [ = {xR: x  a} = [ a , +  ) ] a , +  [ = {xR: x > a} = ( a , +  )

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO a x > b a e b reali, a  0 Soluzione x > b/a Esempio: 2x > 2 x > 1

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO a x2 + b x + c > 0 a, b, c reali, a  0 Supponiamo a > 0 D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2 D < 0 -------------

D > 0 Studio il segno di: 1) (x - x1) > 0 2) (x – x2) > 0 Applico la regola dei segni: x1 x2 (x - x1) + - (x – x2) + - + -

D > 0 caso a > 0 P(X) > 0 x{xR: x < x1}  {xR: x > x2} P(X) < 0 x{xR: x1 < x < x2} P(X) = 0 x{ x1, x2}

D = 0 caso a >0 a · (x - x1)2 P(X) > 0 xR \ {x1} P(X) < 0 mai P(X) = 0 x = x1

D < 0 caso a >0 P(X) > 0 xR P(X) < 0 mai P(X) = 0 mai

ESEMPIO 4 x2 + 12 x + 9 > 0 D = 36- 36 = 0 S = xR \ {-3/2}

ESEMPIO -3 x2 - 5 x + 2 > 0 3 x2 + 5 x - 2 < 0 = 25 +24 = 49 > 0 x1 = -2 x2= 1/3 S = x{xR: -2 < x < 1/3}

ESEMPIO 3 x2 - x + 2 < 0 = 1 – 24 < 0 S={}

DISEQUAZIONI FRATTE I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0} Studio segno numeratore Studio segno denominatore Applico regola segni Vedo dove la disequazione è verificata

ESEMPIO -3 4 (x + 3) + - (x - 4) + - + -

Continuazione ESEMPIO S = x{xR: x < -3}  {xR: x > 4} N.B. I = {xR: x  3}

SISTEMI DI DISEQUAZIONI Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni S = S1  S2  …  Sn S = {} allora il sistema è impossibile

ESEMPIO S = x {xR: (-½) < x  3} -1/2 3 (2x + 1) (x – 3)