METODI

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Funzioni che mettono in relazione una variabile indipendente ( es. x), una sua funzione ( es. y = f(x) ) e la derivata di questultima ( es. y = f (x) ). Ordine: massimo grado di derivazione che compare nellequazione differenziale. ESEMPIO

SOLUZIONI Generale ogni equazione differenziale ha infatti infinite soluzioni che differiscono per una costante. Si ottiene applicando la condizione iniziale alla soluzione generale trovata Particolare

APPLICAZIONI ECONOMICHE DINAMICI Considereremo sistemi DINAMICI in cui avremo: t : var. indipendente ( tempo ) x( t ) : var. dipendente (var. economica che si evolve nel tempo) Variabile di stato Useremo questa notazione:

I SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI NELLE APPLICAZIONI ECONOMICHE Saggio di variazione della variabile x al variare del tempo cause del variare di x TERMINE DI CONTROLLO Se sistema NON OMOGENEO soluzioni diverse da quella banale si può guidare la variabile x con opportuni interventi Altrimenti sistema OMOGENEO ammette almeno la soluzione banale la variabile x è incontrollabile

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI In forma esplicita… (1) La cui soluzione è del tipo (2)

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI Se la (2) è soluzione del sistema Il sistema omogeneo avrà soluzioni diverse da quella banale se: infinite soluzioni diverse da quella banale EQUAZIONE CARATTERISTICA DELLA MATRICE Cercare le soluzioni non nulle del sistema equivale a cercare gli autovalori di A e gli autovettori corrispondenti

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI Quindi le soluzioni del sistema saranno dove 1, 2, 3, …, n sono gli autovalori e (1), (2), (3) … (n) sono gli autovettori corispondenti.

ESEMPIO Dato il sistema Calcoliamo autovalori e corrispondenti autovettori di A ponendo da cui otteniamo due autovalori con molteplicità algebrica pari a 1

Troviamo gli autovettori associati a 1 =-1 sostituendo tale valore in ESEMPIO ottenendo lautovettore fondamentale è Analogamente lautovettore fondamentale di 2 sarà

ESEMPIO Ponendo 1 e 2 pari a 1 le soluzioni particolari del sistema saranno dunque Per 1 Per 2

SOLUZIONI Se un sistema di equazioni differenziali omogeneo ammette soluzioni non nulle infinite soluzioni perché trovatane una se ne possono ricavare infinite attribuendo a valori arbitrari. Se due o più soluzioni linearmente indipendenti una qualunque loro combinazione lineare è a sua volta soluzione del sistema. Se è data una condizione iniziale la soluzione è unica

CONDIZIONI INIZIALI Se una condizione iniziale x(t 0 ) = x 0 la soluzione del sistema ed è unica Si possono determinare c 1 e c 2 Graficamente si identifica una sola tra il fascio di possibili curve identificate dallintegrale generale. x(t) t x0x0 t0t0

ESEMPIO Lintegrale generale nellesempio precedente era Se la condizione iniziale in t 0 =o Applicando tale condizione allintegrale generale Da cui

ESEMPIO Sostituendo i valori trovati nellintegrale generale troviamo la soluzione particolare soluzione che: È unica Muta se cambia la condizione iniziale.

MATRICE FONDAMENTALE DELLE SOLUZIONI Si ottiene affiancando i vettori delle soluzioni particolari È quadrata perché il numero delle soluzioni è sempre uguale al numero delle equazioni del sistema. in un sistema con due sole equazioni differenziali sarà:

MATRICE DI TRANSIZIONE Ponendo il vettore delle costanti pari a c possiamo riscrivere lintegrale generale nel modo seguente Applicando le condizioni iniziali si ricava c Sostituendo la (2) nella (1) (1) (2) MATRICE DI TRANSIZIONE

Così chiamata perché il suo effetto è quello di portare il vettore iniziale x(t 0 ) al vettore al tempo t x (t). t x(t) tt0t0 x(t 0 )

ESEMPIO La matrice fondamentale delle soluzioni è Data la condizione iniziale La matrice di transizione allora sarà

PROPRIETA FONDAMENTALI DELLA MATRICE DI TRANSIZIONE t x(t) tt0t0 x(t 0 ) t1t1 1). 2).

PROPRIETA FONDAMENTALI DELLA MATRICE DI TRANSIZIONE 3). t x(t) t t0t0 x(t 0 ) 4). Anche la matrice di transizione è una soluzione del sistema

ESEMPIO 2 Dato il sistemacon calcoliamo gli autovalori imponendo Lequazione caratteristica diventa Le cui soluzioni sono (autovalori di A ) m.a. = 2m.a. = 1

ESEMPIO 2 Cerchiamo gli autovettori per 1 = 2 = -1 risolvendo il sistema In forma matriciale Da cui n-r = 2 soluzioni, dove n ordine di (A- I) r rango di (A- I)

ESEMPIO 2 Se Prima possibile soluzione per 1 = 2 = -1 Se analogamente avremo Seconda possibile soluzione per 1 = 2 = -1

ESEMPIO 2 Cerchiamo ora gli autovettori per 3 = 2 risolvendo il sistema ossia Da cui quindi, se 3 =1 possibile soluzione per 3 = 2

ESEMPIO 2 Le tre soluzioni trovate sono linearmente indipendenti possiamo scrivere lintegrale generale come segue La matrice fondamentale delle soluzioni sarà