LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi) SISTEMI DI COORDINATE ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI TRIGONOMETRICHE EQUAZIONI DISEQUAZIONI PERCENTUALI

INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme

Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A1, A2, B1… gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 …

Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}

I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme. Esempio: a b c d A

Il simbolo di appartenenza: Î Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive: a Î A si legge “a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive: b Ï A si legge “b non appartiene ad A".

ALCUNI SIMBOLI

CONFRONTO TRA INSIEMI B Í A (oppure A Ê B) Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B Í A (oppure A Ê B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A " b Î B  b Î A

CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto : Æ Insieme privo di elementi Æ Í A (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: B Ì A (oppure A É B) se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se  a A : a  B

OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO

UNIONE TRA INSIEMI L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B L’unione di A e B si scrive: A È B = {x : x Î A e/o x Î B } Se A = B A È B = A Se A  B A È B = B

UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} 1 2 3 A B

UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A È B = {0, 1, 2, 3} 1 2 3 A B

INTERSEZIONE TRA INSIEMI L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B L'intersezione di A e B si scrive: A Ç B = {x : x Î A e x Î B } Se A = B A Ç B = A Se A  B A Ç B = A Se A Ç B =  A e B si dicono disgiunti.

INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B 1 2 3

INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A Ç B = {1, 2} A B 1 2 3

DIFFERENZA TRA INSIEMI La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: La differenza di A e B si scrive A - B = A \ B = {x : x Î A e x Ï B } Se A = B A \ B = Se A  B A \ B =

DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} 1 2 3 A B

DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0} 1 2 3 A B

DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3} 1 2 3 A B

INSIEME COMPLEMENTARE Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale. sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA =A’ =U \ A = {x : x Î U e x Ï A }

INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} 0 3 5 1 2 U A

INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} CUA =U \ A = {0, 3, 5} 0 3 5 U A 1 2

PRODOTTO CARTESIANO Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y)  (y,x) Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A ´ B = {(x, y) : x Î A, y Î B}

PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} B ´ A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

ESERCIZI Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} Calcolare: B \ A = {6}

INSIEMI NUMERICI NATURALI INTERI O RELATIVI RAZIONALI IRRAZIONALI REALI COMPLESSI

I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,…..} Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni. Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di “minore o uguale” (m<n (se e solo se) p N: m+p=n)

I NUMERI NATURALI  m, n, p  N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m • n) • p= m • (n • p) Commutativa: m + n = n + m m • n = n • m Distributiva: m • (n + p)= m • n + m • p Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:  1 N: 1 • m = m

I NUMERI INTERI L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione. Non è però chiuso rispetto alla sottrazione:  sistema algebrico dei numeri interi. Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …} Z+ = {+1, +2, +3, …} = N Z- = {-1, -2, -3, …} Z = Z+ È Z - È {0}

I NUMERI INTERI Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre: 4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:  0 Z : x + 0 = x, xZ 5) Esiste l’opposto: xZ,  y Z : x + y = 0, 6) Chiuso rispetto alla sottrazione: x – y = x + (-y)

I NUMERI RAZIONALI PROBLEMA: Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}} ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.

NUMERI RAZIONALI -2 -1 3 2 1 Q è denso: q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2 N e Z sono discreti: -2 -1 3 2 1

NUMERI REALI PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 ! Numeri reali: R = Q È  dove  è l’insieme dei numeri irrazionali

NUMERI REALI Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che: p2/q2=2 p2=2 q2 p è pari, p = 2k 22 k2 = 2 q2 2 k2 = q2 ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.

NUMERI REALI L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale. Non vale il viceversa!

NUMERI COMPLESSI Sia , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo. Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:

NUMERI COMPLESSI Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo: L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.

NUMERI COMPLESSI Siano dati due numeri complessi SOMMA: DIFFERENZA: PRODOTTO:

NUMERI COMPLESSI Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero: Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):

NUMERI COMPLESSI QUOZIENTE:

GLI INSIEMI NUMERICI Sussiste una precisa relazione di inclusione: N Z Q R C

RELAZIONI e CORRISPONDENZE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R X x Y = (x,y): xX, yY L’insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza.

FUNZIONE Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y. Noi consideriamo X, Y  R , cioè funzioni reali di una variabile reale.

RELAZIONE TRA 2 INSIEMI 1 2 3 4 Y X

FUNZIONE TRA DUE INSIEMI 1 2 3 4 Y X 4

SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA Sia data una retta r, si fissi: Un verso positivo di percorrenza Un punto O detto Origine Un segmento u detto unità di misura O u r- r+ r

ASSE DELLE ASCISSE Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). xP è chiamata ascissa di P Viceversa,  xP R ! P  r : x= xP . Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.

SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna: Un verso positivo di percorrenza Una unità di misura Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano Ortogonale / obliquo Monometrico / dimetrico

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y) I (+ , +) II (- , +) III (- , -) IV (+ , -)

ESEMPIO P=(-2,3) 3 P=(2,1) 1 -2 2 -1 P=(-2,-1) -2 P=(2,-2)

GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Si consideri il seguente grafico: I punti sulla retta hanno coordinate:

GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente): Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha:

GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Ponendo: Si ottiene l’equazione della retta in forma implicita (o generale):

LE CONICHE

LA CIRCONFERENZA L’equazione della circonferenza di centro e raggio r è data da: Dove i coefficienti sono dati da: Se C=O l’equazione assume l’espressione:

GRAFICO DELLA CIRCONFERENZA

L’ELLISSE L’equazione dell’ellisse con fuochi e gli assi lunghi a e b è espressa da: dove a > c e dove

GRAFICO DELL’ELLISSE

L’IPERBOLE L’equazione dell’iperbole con fuochi e gli assi lunghi a e b è espressa da: dove a < c e dove

GRAFICO DELL’IPERBOLE y x

IPERBOLE EQUILATERA Se a=b l’equazione l’iperbole viene denominata equilatera e la sua equazione è: Se si ruota il grafico di 45° in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha: ovvero

GRAFICO DELL’IPERBOLE EQUILATERA

LA PARABOLA L’equazione della parabola con il vertice nell’origine, il fuoco di coordinate (0, c) con c>0 e la direttrice di equazione y=-c è espressa da: Se il vertice non coincide con l’origine degli assi e la direttrice è sempre parallela all’asse x l’equazione assume la forma:

GRAFICO DELLA PARABOLA

ANGOLO Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.

ANGOLO ORIENTATO Verso positivo di rotazione antiorario + a b - a b

ARCO La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo. A B O

SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI SESSAGESIMALE: grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro. RADIANTE

RADIANTE L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.

Misura in radianti di un angolo È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio: Angolo giro = 2pr / r = 2p Angolo piatto = pr / r = p Angolo retto = p/2

Misura in radianti di un angolo p/2 p/4 (3/4)p p (5/4)p (7/4)p (3/2)p

Misura in radianti di un angolo p/6 p (3/2)p p/2 (2/6)p (4/6)p (5/6)p (7/6)p (8/6)p (10/6)p (11/6)p

Misura in radianti di un angolo Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante: 360 : 2p = a°s : ar Ex: 360 : 2p = 20° : ar ar = p/9

Le funzioni trigonometriche: seno e coseno A y P r a x O H

La funzione:Tangente trigonometrica y P T r a O H

f(x) = sin (x) A=(1,0) y x p/2 p (3/2) p 2p x y -p/2 p/2 p (3/2)p 2p 1 -1 O H

Funzione seno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2p

y = cos (x) p/2 p (3/2) p A=(1,0) y x 2p x y -p/2 p/2 p (3/2)p P O H

Funzione coseno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2p

y = tan (x) A y T p/2 p (3/2) p 2p x y -p/2 p/2 p (3/2)p P O H

Funzione tangente Dominio = R \ p/2 + kp k  Z Codominio = R Periodica di periodo p

Relazione tra seno e coseno sin2(x) + cos2(x) = 1

Relazione tra seno e coseno Esempi: cos (x) = ½ x  [0, p/2]

Relazione tra seno, coseno e tangente sin2(x) + cos2(x) = 1

Valori in archi particolari : p/6

Valori in archi particolari: p/3

Valori in archi particolari: p/4

COORDINATE POLARI P ha coordinate cartesiane (1, 1) Le coordinate polari di P sono: Nell’esempio:

COORDINATE POLARI Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: si osservi che:

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Dato il numero complesso z: e il numero complesso v : Il prodotto tra z e v è:

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI In particolare se z=v si ottiene: e in generale: detta Formula di De Moivre.

CALCOLO LETTERALE Perché? È opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.

POTENZE Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a an = a • a • … • a n volte Esempio: 32 = 3 • 3 (-2)2 = (-2) • (-2) = 4 (-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

PROPRIETA’ DELLE POTENZE Dati a, b  R, m, n  N a n + m = a n a m, a -n = 1 / a n a n - m = a n: a m, n  m, se n = m, a  0 (a:b) n = a n: b n, b  0 (ab) n = a n b n, (a n) m = a n m, a 0= 1,

ESERCIZI 32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6 (5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2 (8)0=1 3-4 = 1 / 34 (- 2)2 •(-2)3 = -32

RADICALI Si dice radice n-sima (n  N) del numero reale a il numero b tale che bn = a. Si scrive: La radice ennesima (n  N) della potenza am si scrive:

PROPRIETA’ DEI RADICALI

ESERCIZI

OPERAZIONI TRA POLINOMI ADDIZIONE SOTTRAZIONE PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli DIVISIONE

DIFFERENZE DI QUADRATI (x + y) • (x - y) = (x2 - y2) Esempi: (2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2) (2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2) (9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab) (x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] = [(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]

QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y)2= x2 + 2xy + y2 (x - y)2= x2 - 2xy + y2 Esempi: (a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2 (a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2 ((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4

CUBO DI UN BINOMIO (x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Esempi: (2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 (3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3 (x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3

SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI (x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2) (x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2) Esempi: (8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2) (27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2) (x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 - (x - 2) y2 + y4)]

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Mediante l’uso dei prodotti notevoli Raccoglimenti a fattore comune: Esempio: 6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b) Raccoglimenti parziali successivi: 9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)

DIVISIONE TRA POLINOMI Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 . Esistono allora due polinomi Q ed R tali che: P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

ESEMPIO (2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1) 2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 x3 – x2 +1 2x5 – 2 x4 + 2 x2 2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1 2 x2 +2 x -1 2 x4 – 2 x3 +2 x – x3 - 2 x2 - x + 1 – x3 + x2 - 1 - 3 x2 - x + 2

ESEMPIO (2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2) P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.

ESEMPIO: (20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4) 20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 4x2 + 2x - 4 20 x4 + 10 x3 - 20 x2 5x2 -6x + 8 – 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32 – 24 x3 - 12 x2 + 24 x 32 x2 + 16 x - 32 32 x2 + 16 x - 32 \\ \\ \\

REGOLA DI RUFFINI Divisione di un polinomio per un binomio Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero . P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R

Coefficienti e termine noto P2(x) REGOLA DI RUFFINI Termine noto P1(x) Coefficienti P1(x) ±a Coefficienti e termine noto P2(x) Resto

ESEMPIO (x2 - 1) : (x + 2) 1 -1 -2 4 -2 1 -2 3 -1 -2 4 -2 1 -2 3 x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3

REGOLA DEL RESTO Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a R= P1(-a) Esempio: (x2 - 1) : (x + 2) P1(-2) = 3

OSSERVAZIONE Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1. Nell’esempio precedente: P1(x)=(x2 - 1) si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1: P1(+1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x - 1) P1(-1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x + 1)

ESEMPIO P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6 P1(±1)  0 P1(2) = 0 1 3 -7 -6 2 2 10 6 1 5 3 x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)

EQUAZIONI Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile f(x) = g(x) La variabile è detta incognita dell’equazione

 SOLUZIONI   I particolari valori di x per cui questa è verificata sono detti soluzioni dell’equazione Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni. Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a ¹ 0. Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene l’incognita e si divide per il coefficiente di x: ax=-b (ax)/a=-b/a da cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è: x = - b / a Esempio: 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3 / 2

EQUAZIONI DI 2o GRADO Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e  a ¹ 0. SPURIA: a x2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x = 0 x = - b / a PURA: a x2 + c = 0

COMPLETA D > 0 2 soluzioni reali e diverse a x2 + b x + c = 0 D > 0 2 soluzioni reali e diverse = 0 2 soluzioni reali e coincidenti D < 0 nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all’insieme dei numeri complessi)

ESEMPI 2 x2 - 7 x + 3 = 0 D = 49 – 24 > 0 x1=1/2 x2=3

ESEMPI 25x2 + 10x +1 = 0 D = 25 – 25 = 0 x2 - 3 x + 8 = 0 non ha soluzioni in R.

RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI a x2 + b x + c = 0

ESERCIZI Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5: assumendo a = 1 si ottiene x2 + 4 x - 5 = 0 x1 = 1 x2 = -5 Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s= -3/10 p = -1/10 x2 + (3/10) x - 1/10 = 0

FATTORIZZAZIONE D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2 a x2 + b x + c = 0 D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2 D < 0 non è possibile in R

IL SEGNO DEL TRINOMIO

IL SEGNO DEL TRINOMIO

IL SEGNO DEL TRINOMIO

IL SEGNO DEL TRINOMIO

DISEQUAZIONI Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare:                         f(x) > g(x)       f(x) ³ g(x)                         f(x) < g(x)       f(x) £ g(x)

SOLUZIONI Le soluzioni vanno cercate nell’insieme: I = D(f) D(g) Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1) Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione (ex: x2 +1 > 0) Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x2 + 2 < 0)

ESEMPIO -2x > 24 x < -12

INTERVALLI DELLA RETTA Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b: [ a , b ] ={xR: a  x  b} chiuso ] a , b ] ={xR: a < x  b}=( a,b] chiuso a destra [ a , b [ ={xR: a  x < b}=[a,b) chiuso a sinistra ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b ) aperto

INTERVALLI DELLA RETTA ] -  , b ] = {xR: x  b} = ( -  , b ] ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b ) [ a , +  [ = {xR: x  a} = [ a , +  ) ] a , +  [ = {xR: x > a} = ( a , +  )

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO a x+b >0 con a e b numeri reali e a  0. Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!), Si isola il termine che contiene l’incognita x : ax>-b Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a x>-b/a se a>0 x<-b/a se a<0

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO a x2 + b x + c > 0 a, b, c reali, a  0 Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado.

ESEMPIO 4 x2 + 12 x + 9 > 0 D = 36- 36 = 0 S = xR \ {-3/2}

ESEMPIO 3 x2 + 5 x – 2 < 0 = 25 +24 = 49 > 0 x1 = -2 x2= 1/3 S = {xR: -2 < x < 1/3}

ESEMPIO 3 x2 + 5 x – 2 > 0 = 25 +24 = 49 > 0 x1 = -2 x2= 1/3 S = {xR: x< -2 }  {xR: x> 1/3}

ESEMPIO 3 x2 - x + 2 < 0 = 1 – 24 < 0 S={}

DISEQUAZIONI FRATTE I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0} Studio segno numeratore Studio segno denominatore Uso regola segni Determinazione dell’insieme nel quale la disequazione è verificata

ESEMPIO -3 4 (x + 3) + - (x - 4) + - + - (x - 4)/(x+3)

Continuazione ESEMPIO S = {xR: x < -3}  {xR: x > 4} N.B. I = {xR: x  3}

SISTEMI DI DISEQUAZIONI Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni. La soluzione si ottiene trovando l’insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione: S = S1  S2  …  Sn se S = {} allora il sistema è impossibile

S = x {xR: (-½) < x  3} ESEMPIO S = x {xR: (-½) < x  3} -1/2 3 (2x + 1) (x – 3)

FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R  R+: f(x)=ax N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x y x 1

CASO a > 1 f(x)=ex y x x y 0 1 -1 1/e 2 e2 -2 1/e2 1 e 1 -1 1/e 1 e 0 1 -1 1/e 2 e2 -2 1/e2 1 e 1 -1 1/e 1 e -2 1/e2 2 e2

CASO a > 1 confronto tra basi diverse y = 2x y = ex y x y y = 2x 0 1 -1 1/2 -2 1/22 1 2 2 22 -2 -1 1 2 x

CASO a > 1 Dominio R Codominio R+ Passa per (0,1) Monotona crescente Se la base aumenta è più ripida

CASO a < 1 f(x)=(1/e)x y x x y 0 1 -1 e -2 e2 -1 e -2 e2 1 1 1/e 0 1 -1 e -2 e2 -1 e -2 e2 1 1 1/e 1 1/e 2 1/e2 2 1/e2

CASO a < 1 confronto tra basi diverse y = (1/2)x y x y 0 1 -1 2 -2 22 y = (1/2)x 1 1/2 y = (1/e)x 2 1/22 -2 -1 1 2 x

CASO a < 1 Dominio R Codominio R+ Passa per (0,1) Monotona decrescente Se la base aumenta è meno ripida

LOGARITMI Siano a un numero reale positivo, a ¹ 1, e b un numero reale positivo allora esiste un numero reale c tale che: ac = b Tale numero c si dice logaritmo in base a di b e si indica con il simbolo: c=logab NB  

ESEMPI log28 = 3 log22 = 1 log51 = 0 log(1/3)3 = -1 log381 = 4

Esercizi Determinare la base: logx7 = -1 x = 1/7 logx49 = 2 x = 7

BASI DEL LOGARITMO Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Eulero, e = 2,7182….) Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log” Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln” (logaritmo neperiano).

FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d,  a,d R+ \ {1} c R+

ESEMPI

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI PROPRIETA’ DEL PRODOTTO PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE PROPRIETA’ DELLA POTENZA

PROPRIETA’ DEL PRODOTTO: Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi: loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2 a R+ \ {1} x1, x2 R+ Esempio: loga(3 · 4 )= loga 3 + loga 4

PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE: Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore: loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2  a R+ \ {1} x1, x2 R+ Esempio: loga(8 : 3 )= loga 8 - loga 3

PROPRIETA’ DELLA POTENZA: Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base: loga(xa)= aloga x  a R+ \ {1} x R+ a R Esempio: loga(23)= 3 loga 2

ESERCIZIO 1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] = Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] = Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]}

FUNZIONE LOGARITMICA Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+\{1}, la funzione f : R+  R: f(x)=logax x > 0 E’ la funzione inversa della funzione esponenziale: x = ay y = logax Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x

Caso a > 1 y=ln(x) y x x y 1 0 1/e -1 2 e2 e 1 1 e -1 1/e e2 2 1

Caso a > 1 confronto tra basi diverse y = log2x y = lnx 2 1 1/e e e2 -1

Caso a > 1 Dominio R+ Codominio R Passa per (1,0) Monotona crescente Se la base aumenta è meno ripida

Caso a < 1 y=log(1/e)x y x x y 1 0 1/e 1 1 1/e e -1 -1 e 1

Caso a < 1 confronto tra basi diverse y = log(1/2)(x) y 1 e 1/e x -1 y = log(1/e)(x)

Caso a < 1 Dominio R+ Codominio R Passa per (1,0) Monotona decrescente Se la base aumenta è più ripida

LE PERCENTUALI Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica l’incidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore. Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti.

LE PERCENTUALI I costi totali di un’impresa sono passati da 75.000€ a 100.000€. I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da 250.000€ a 400.000€ Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi. Calcolare l’incidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni.

LE PERCENTUALI La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale: (100.000-75.000)/75.000 =33,33% La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno: (400.000-250.000)/250.000 =60%

LE PERCENTUALI L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità: 75.000/250.000 =0,30 =30% 100.000/400.000=0,25=25% L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni: (75.000+100.000)/(250.000+400.000)=0,269=26,9% che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!!

LE PERCENTUALI GLI SCONTI SUCCESSIVI Sul prezzo iniziale di un bene vengono applicati due sconti consecutivi: e ; ovvero: uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%. Si vuole determinare lo sconto complessivo.

LE PERCENTUALI Il prezzo dopo il primo sconto è dato da: Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il prezzo finale diventa: Lo sconto complessivo è dunque pari a 28%

LE PERCENTUALI Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo: Sconto%

LE PERCENTUALI Nel caso degli sconti successivi lo sconto complessivo S, espresso come valore percentuale, sul prezzo iniziale può essere ricavato dalla formula seguente: