COORDINATE POLARI Sia P ha coordinate cartesiane Le coordinate polari di P sono:

COORDINATE POLARI P ha coordinate cartesiane (1, 1) Le coordinate polari di P sono:

COORDINATE POLARI Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: si osservi che:

PRODOTTO SCALARE Si chiama prodotto interno ( o moltiplicazione scalare) tra due vettori il numero definito da: Si chiama norma euclidea di un vettore il numero definito da: La norma (euclidea) di un vettore rappresenta la lunghezza del vettore.

NORMA Possono essere definite altri tipi di norma. La norma di un vettore è una funzione che soddisfa:

PRODOTTO SCALARE Si considerino i due vettori : La lunghezza (la norma euclidea) dei due vettori è data da:

PRODOTTO SCALARE Rappresentando le componenti dei 2 vettori in coordinate polari si ha : Il prodotto scalare dei due vettori diventa:

PRODOTTO SCALARE Si noti che il prodotto scalare dei due vettori non nulli: è nullo in quanto i due vettori sono perpendicolari, per cui

VETTORI ORTONORMALI Dato un qualunque vettore di norma si può introdurre il vettore normalizzato espresso da: Due vettori e si dicono ortonormali se sono ortogonali e ciascuno ha norma unitaria. Se le colonne (o le righe) di una matrice sono a 2 a 2 ortonormali la matrice è ortogonale.

ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE Si considerino i due vettori e costituiti dai prezzi di chiusura settimanale di 2 titoli nelle ultime settimane. Il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie di prezzi può essere espresso da: dove rappresenta la media aritmetica dei prezzi di chiusura del titolo i-esimo.

ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE Siano dati 2 titoli i cui prezzi di chiusura nelle ultime 4 settimane sono stati: Il prezzo medio nelle ultime 4 settimane per ciascun titolo è dato dalla rispettiva media aritmetica

ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE Per calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra i 2 titoli è utile costruire i 2 vettori: Per cui si ha:

SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi Si considerino 2 insiemi V e K. Si introducano 2 operazioni: “composizione interna” tra elementi di V; “composizione esterna” tra elementi di V ed elementi di K. Esempio 1. Composizione interna = somma tra matrici quadrate; Composizione esterna = prodotto di una matrice per uno scalare.

SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi Esempio 2 Sia V l’insieme dei polinomi algebrici di grado al massimo n. Composizione interna = somma tra polinomi; Composizione esterna = prodotto di un polinomio per uno scalare. N.B. Controllare cosa succede se V è l’insieme dei polinomi algebrici di grado n.

SPAZI VETTORIALI Un vettore in Fisica è definito come un ente costituito da un punto di applicazione (O), una direzione (retta per O e per P) e un verso (da O a P), una lunghezza (misura di OP).

SPAZI VETTORIALI I vettori nella figura che segue sono equivalenti al vettore . Da questo momento faremo riferimento ai vettori applicati nell’origine.

SPAZI VETTORIALI Dati i due vettori e si definiscono il vettore somma e il vettore differenza come i vettori che hanno come componenti rispettivamente la somma e la differenza delle componenti di e di ; geometricamente sono le diagonali OQ e PR del parallelogramma OPQRO.

COMBINAZIONE LINEARE Sia V uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K. Se W è sottoinsieme di V e W è a sua volta uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K, allora si dice che W è sottospazio vettoriale di V. Dati n elementi (vettori) di uno spazio vettoriale V ed n scalari si definisce combinazione lineare il vettore di V espresso da :

LINEARE INDIPENDENZA Gli n vettori dello spazio vettoriale V si dicono linearmente indipendenti se risulta se e solo se gli n scalari sono tutti contemporaneamente nulli. Se il vettore nullo si ottiene come combinazione lineare di n vettori con coefficienti non tutti nulli allora i vettori si dicono linearmente dipendenti.

LINEARE DIPENDENZA Gli n vettori dello spazio vettoriale V sono linearmente dipendenti, e supponiamo che allora , dividendo per , si ottiene: ovvero è combinazione lineare degli altri vettori.

ESEMPIO DI L.D. Si analizzi la lineare dipendenza o indipendenza dei seguenti 3 vettori: .

SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D. Per stabilire la dipendenza o indipendenza lineare dei 3 vettori, occorre determinare le soluzioni del sistema:

SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D. La matrice dei coefficienti: ha rango 2, quindi il sistema ammette soluzioni : e risulta:

ESEMPIO 2 DI L.D. Si vuole esprimere il polinomio come combinazione lineare dei seguenti polinomi:

GENERATORI E BASI Dati gli n vettori dello spazio vettoriale V Sia l’insieme delle combinazioni lineari è un sottospazio vettoriale di e i vettori sono chiamati generatori di . Se h vettori tra gli n generatori sono linearmente indipendenti lo spazio vettoriale da essi generato coincide con . I vettori costituiscono una base di

GENERATORI E BASI I vettori costituiscono una base di . Il numero h dei vettori della base viene chiamato dimensione di . Dato un qualunque vettore esso può essere scritto come e i coefficienti della combinazione lineare vengono denominati coordinate (sono uniche!) del vettore rispetto alla base . Dato lo spazio vettoriale di dimensione h, esistono più basi.

GENERATORI E BASI Si considerino 2 basi di Un vettore può essere espresso nelle 2 basi da Ovvero come: Dove :

GENERATORI E BASI Uguagliando si ha da cui : ovvero La matrice è denominata matrice di cambiamento di base.

ESEMPIO DI GENERATORI E BASI Si consideri lo spazio vettoriale V dei polinomi algebrici di grado minore o uguale a 3: Si considerino i vettori di V : Essi sono generatori di V. Non sono linearmente indipendenti. I vettori sono linearmente indipendenti.

BASE CANONICA Si consideri lo spazio vettoriale V delle matrici quadrate di ordine 2. Una base è costituita da Si considerino i vettori di V : Sono una base per V, detta canonica.

ESEMPIO DI CAMBIAMENTO DI BASE Si considerino i 2 vettori dello spazio vettoriale delle matrici 2x1: Si determini la matrice di cambiamento di base rispetto alla base canonica.

TRASFORMAZIONI LINEARI Dati due spazi vettoriali W e si definisce trasformazione lineare di W in ogni funzione tale che: Nucleo di T, ker(T), l’insieme dei vettori di W che hanno come immagine il vettore nullo di . Immagine di T, Im(T), l’insieme di vettori di che provengono da vettori di W.

ESEMPIO DI T.L. Dati i due spazi vettoriali e si consideri la trasformazione lineare di in : L’immagine della t.l. è l’insieme . Il nucleo di T, ker(T), è l’insieme dei vettori di che hanno come immagine il vettore nullo di , ovvero Da cui si ricava: Quindi

ESEMPIO DI T.L. Dati i due spazi vettoriali e si dimostri che la legge seguente è una trasformazione lineare : dove Analogamente si dimostra che la trasformazione che associa al vettore la media aritmetica delle componenti è una trasformazione lineare:

ESEMPIO DI T.L. Si determini la trasformazione lineare tra e che fa corrispondere ad ogni vettore il vettore degli scarti dalla media aritmetica.

TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE Si consideri la trasformazione lineare tra i due spazi vettoriali e , si può dimostrare il seguente teorema di rappresentazione: Se La trasformazione lineare viene denominata isomorfismo.

EQUAZIONE CARATTERISTICA L’equazione caratteristica è data da: ovvero: Le soluzioni vengono denominate autovalori. Le soluzioni del sistema: vengono denominate autovettori corrispondenti all’autovalore .

EQUAZIONE CARATTERISTICA Per l’equazione caratteristica valgono i seguenti teoremi: Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli minori principali di ordine i della matrice A moltiplicata per . Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli prodotti degli autovalori presi i alla volta moltiplicata per .

EQUAZIONE CARATTERISTICA Si verifichino i teoremi nel caso della matrice:

EQUAZIONE CARATTERISTICA Teorema 3 “Una matrice quadrata ammette l’autovalore nullo se e solo il determinante è nullo”. Teorema 4 “Ogni matrice quadrata soddisfa la sua equazione caratteristica”.

EQUAZIONE CARATTERISTICA Teorema 5 “Se il rango di una matrice quadrata è r allora l’autovalore nullo ha molteplicità algebrica ”. Teorema 6 “Gli autovalori di una matrice triangolare coincidono con gli elementi della diagonale principale”.

MOLTEPLICITA’ Teorema 7 “Ad autovalori diversi corrispondono autovettori linearmente indipendenti ”. Molteplicità algebrica Molteplicità geometrica Teorema 8 “La molteplicità algebrica dell’autovalore è maggiore o uguale alla moteplicità geometrica ”.

MATRICE MODALE Si definisce matrice modale della matrice A la matrice le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice A” Teorema 9 “Gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali” Teorema 10 “La matrice modale di una matrice simmetrica è ortogonale.”

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Un sistema di equazioni differenziali lineari è:

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Un sistema di equazioni differenziali lineari omogeneo è:

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esempio 2.

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esempio 3.

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esempio 4.