Filtri digitali Introduzione

Programma del Corso Basi di elaborazione numerica Introduzione ai filtri digitali Progetto di filtri analogici Progetto di filtri digitali ricorsivi (IIR) Progetto di filtri digitali non-ricorsivi (FIR) Filtri Multirate Filtri Non-Lineari ???

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Sequenze di dati (nomenclatura) Sequenza: {x(n)} Campione: x(n) Indice: n Sequenze fondamentali:  Impulso ….  Gradino  Esponenziale complesso

Ritardo {h(n)} n: indice della seq. m: ritardo {h (n)} n = 0 Una qualunque sequenza puo’ essere pensata come una combinazione lineare di tante sequenze impulsive opportunamente ritardate e pesate

Sistemi LTI (Linearity) x(n) y(n) LTI Linearita’:

Sistemi LTI (Time Invariant) x(n) y(n) LTI Invarianza Temporale:

Convoluzione LTI x(n) y(n) x (n) y(n) u (n) h(n) Con una semplice sostituzione degli indici (m = n - m)

Causalita` Stabilita` Si definisce causale un sistema per cui Ovvero il sitema non e’ “anticipativo” Stabilita` Un sistema e` stabile se, sollecitato con un ingresso “limitato” risponde con un’uscita pur essa “limitata”. Condizione necessaria e sufficiente per la stabilita’ e’:

Espressioni per “y(n)” Convoluzione Differenze finite Vi sono 2 categorie di Filtri Lineari: FIR (Finite Impulse response) in cui l’uscita dipende solo dall’ingresso IIR (Infinite Impulse Response) in cui e’ presente una “retroazione”

Risposta in frequenza Si solleciti un sistema lineare avente una risposta impulsiva “h(n)” con un segnale di tipo: L’uscita risulta essere: Ove “H(e jw)” prende il nome di “riposta in frequenza”

Risposta in frequenza - Proprieta’: Funzione continua in w Periodica di periodo 2p Se h(n) è reale modulo simmetrico e fase antisimmetrica “Re(H)” simmetrico ed “Im(H)” antisimmetrico -p p

Risposta in frequenza - Proprieta’: Essendo “H” periodica può essere sviluppata in serie di Fourier: LTI Ovvero:

Sequenza temporale Se si vuole mantenere il legame temporale con il segnale analogico X(t) X(nT) T La risposta in frequenza risulta periodica di periodo 2p/T

Legame spettro analogico - digitale Un qualunque segnale continuo: Campionato con periodo T: Suddividendo l’integrale: Sostituendo: w’ = W - 2pm/T: Semplificando: Ma paragonando il risultato ottenuto con quanto si e’ visto per i segnali digitali, ovvero: Si perviene al legame tra le rappresentazioni spettrali del segnale originale e del suo campionato:

Legame spettro analogico - digitale Partendo da un segnale analogico Con un certo spettro X(t) T Definito un certo intervallo di campionamento T ed operando il campionamento del segnale

Legame spettro analogico - digitale Si ottiene un segnale digitale Con un certo spettro digitale X(t) X(nT) -p/T p/T T Lo spettro digitale (periodico) e’ ottenibile come sovrapposizione di infinite repliche, opportunamente traslate, dello spettro analogico

Aliasing Comporta una modifica nella periodicità dello spettro Una modifica dell’intervallo T X(t) X(nT) -p/T p/T T ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione degli spettri

Aliasing Comporta una modifica nella periodicità dello spettro Una modifica dell’intervallo T X(nT) X(t) -p/T p/T T ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione degli spettri

Teorema di Shannon WM X(t) T -p/T p/T X(nT) Per non avere aliasing l’intervallo di campionamento deve essere scelto in base alla seguente regola: Ovvero: Le componenti armoniche a frequenza superiore DEVONO venir filtrate

Interpretazione Per campionare un segnale si deve usare una frequenza di campionamento (fT) almeno doppia della massima frequenza del segnale (fN) (Nyquist) In un segnale con una sola frequenza si devono prendere almeno 2 campioni per periodo per poter ricostruire il segnale

Trasformata “Z” Data una certa sequenza “x(n)” di definisce: Proprietà: Linearità: Ritardo: Convoluzione:

Trasformata “Z” (proprietà) Legame con la risposta in frequenza: r = 1 Re Im Z-plane ejw

Applicazioni ai filtri lineari Poiché un filtro digitale lineare può essere rappresentato tramite una equazione alle differenze finite: Sfruttando la trasformata Z: Si perviene ad una rappresentazione del filtro secondo la trasf.Z come un rapporto di due polinomi in Z. H è la Z-trasf. della risposta impulsiva h(n)

Filtri digitali lineari Differenze finite Convoluzione Z-1 b0 b1 bM-1 bM aN aN-1 a1 x(n) y(n) FIR: ai = 0 IIR : ai = 0  bi = hi