Wavelet Analisi tempo-frequenza Cenni di Jpeg 2000 Livio Tenze livio.tenze@enteos.it

Testi utilizzati “Wavelet transform”, Sheng R. C. Gonzales and R. E. Woods. Digital Image Processing. Prentice Hall http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/W Ttutorial.html Signal Processing Magazine, Review on JPEG 2000

Argomenti del seminario 1/3 Introduzione all'analisi tempo-frequenza Wavelet continua Confronto con Fourier, Short time Fourier transform (STFT), Wigner, Ambiguity, Gabor, Wavelet Ammissibilità e regolarità Dal continuo al discreto Wavelet partendo dalla multirisoluzione Scomposizione piramidale Subband coding

Argomenti del seminario 2/3 Funzioni di scala e proprietà necessarie Funzioni wavelet Formalizzazione dell'espansione in serie, DWT, CWT, Fast wavelet transform (FWT) Trasformata wavelet in 2 dimensioni Cenni alla compressione Jpeg 2000 Perché una nuova trasformata per la compressione di immagini Descrizione generale dello standard Jpeg 2k

Argomenti del seminario 3/3 Scelta dei kernel di filtri filtri ortogonali versus biortogonali filtri lineari e problemi ai bordi embedded zero-tree wavelet (EZW)

Wavelet continua Analisi wavelet utile per segnali non stazionari rispetto STFT e Wigner, la wavelet fornisce Q costante Le basi sono generate da una funzione madre mediante dilatazione e traslazione L'”ammissibilità“ assicura l'esistenza dell'inversa La “regolarità” fornisce la località in frequenza e nel tempo Per ridurre il prodotto tempo-larghezza di banda si ricorre alla DWT

Wavelet continua La trasformata ortonormale viene ottenuta in un ambiente multirisoluzione partendo dalle funzioni di scala (cfr subband coding, QMF) Fast wavelet transform (FWT): algoritmo ad albero Applicazioni: Analisi di segnali sismici, radar, sonar, elettrocardiografici, transitori motore Compressione dei dati Filtraggio

Wavelet continua Sia data f(t) in L l’insieme delle funzioni misurabili e di quadrato integrabili, si definisce la trasformata wavelet come: dove Per valori s>1 la funzione si contrae, mentre per valori 0<s<1 si dilata. Vale inoltre la normalizzazione dell’energia:

Wavelet continua Si ottiene quindi: La trasformata di Fourier della wavelet risulta essere Una contrazione nel tempo corrisponde ad una dilatazione in frequenza. Si fa notare che le funzioni base non vengono specificate!

Wavelet continua Le funzioni base vengono scelte sulla base di alcune proprietà fondamentali. Le principali sono l’ammissibilità e la regolarità delle funzioni. Ammissibilità: la wavelet deve oscillare per avere il valor medio nullo Regolarità: le wavelet devono avere un decadimento esponenziale con i momenti di ordine basso uguali a 0 In altre parole la funzione oscilla e decresce Le wavelet possono essere continue o discrete, ortonormali o non ortonormali, analitiche o numeriche Se la funzione scelta soddisfa le due condizioni fondamentali, si ha che la trasformata possiede delle caratteristiche di località nel tempo. Il fattore 1/s assicura che i coefficienti divengano piccoli al crescere della frequenza. Ciò significa avere località in frequenza.

Analisi tempo-frequenza La trasformata wavelet di un segnale 1-D è una funzione 2-D nello spatio tempo-scala La rappresentazione tempo-scala è molto simile alla rappresentazione tempo-frequenza familiare nella trasformata Short Time Fourier Transform (STFT) La wavelet è di particolare interesse per analizzare segnali non stazionarî (come i segnali vocali, radar, sonar, sismici, elettrocardiografici, musicali, torsionali e motoristici) ed è un’alternativa alla classica STFT o alla trasformata di Gabor La wavelet è locale sia in tempo che in frequenza!

Analisi tempo-frequenza Un esempio di rappresentazione tempo-frequenza è lo spartito musicale L’analisi è limitata dal principio di indeterminazione o disuguaglianza di Heisenberg: Un segnale non può essere rappresentato su un piano tempo-frequenza come un punto, si può unicamente determinare la sua posizione all’interno di un rettangolo.

Limitazioni di Fourier La trasformata di Fourier non è sufficiente per segnali tempo varianti. Fourier fornisce una perfetta località in frequenza, ma una “globalità” nel tempo. Inoltre non fornisce alcuna informazione sulla variazione temporale del segnale sotto esame. La STFT, la Gabor transform, la distribuzione di Wigner e l’ambiguity function sono delle soluzioni per l’analisi di segnali tempo-varianti.

Short Time Fourier Transform Gabor introdusse nel 1940 la STFT che è nota anche come sliding window Fourier Transform ed è definita come segue: dove g(t) è una funzione finestra scelta opportunamente. Vengono definite come funzioni di Gabor: È richiesto inoltre che

Short Time Fourier Transform Spectrogram e Sonogram Risoluzione tempo-frequenza Finestra gaussiana La finestra gaussiana fornisce il minimo prodotto tempo-banda determinato dal principio di indeterminazione.

Wigner distribution E’ un’alternativa alla STFT per segnali non stazionari È la trasformata di Fourier del prodotto tra la funzione dilatata e spostata nel tempo di t per la stessa funzione complessa e coniugata dilatata ed invertita. La proiezione lungo l’asse temporale fornisce il modulo al quadrato della F(w) La proiezione lungo l’asse delle frequenze è invece 2p|f(t)|2

Ambiguity function La ambiguity function può essere vista come una funzione di autocorrelazione tempo-frequenza del segnale con un ritardo t ed uno scostamento Doppler in frequenza w. Sia la distribuzione di Wigner che la ambiguity sono utili per l’analisi di segnali transitori La somma di due segnali produce dei termini di “prodotto incrociato” che possono essere fastidiosi nell’analisi.

Multirisoluzione wavelet La trasformata wavelet risulta essere la correlazione tra una funzione e la wavelet dilatata Ad una data risoluzione la trasformata viene calcolata mediante un filtro la cui risposta in frequenza è scalata come h(t/s) Quando la scala è piccola, la funzione è concentrata nel tempo Quando la scala è grande, la wavelet è dilatata nel tempo.

Fidelity analysis La versione contratta della wavelet permette di analizzare le discontinuità e le singolarità con un supporto temporale piccolo. Allo stesso modo è possibile sfruttare una versione dilatata della wavelet per avere una visione globale del fenomeno. La STFT non possiede le proprietà precedentemente elencate. Si può dimostrare che il rapporto tra la frequenza centrale di analisi e la larghezza di banda (noto come fattore Q) nell’analisi wavelet risulta essere:

Proprietà delle wavelet Se la funzione scelta è di quadrato integrabile e soddisfa la condizione di ammissibilità, può essere considerata una wavelet. Se la funzione soddisfa la condizione di regolarità, risulta essere locale in tempo e frequenza.

Ammissibilità La trasformata wavelet di un segnale 1d è una rappresentazione 2d del segnale: è necessario che non si perda informazione nella trasformata. A tale scopo è necessario che sia verificata la seguente espressione: La precedente espressione viene verificata quando: Ciò implica che la trasformata di Fourier della H(w) deve avere un valore 0 alla frequenza w=0. In altre parole le wavelet hanno un comportamento passabanda. Nel dominio del tempo quindi si ha che:

Regolarità Si impone una richiesta aggiuntiva in modo tale che la trasformata garantisca una riduzione dei coefficienti con il diminuire della scala (aumentare della frequenza). In tal senso si avrà uno “smussamento” ed una concentrazione in tempo ed in frequenza. Si può scrivere la seguente espressione: tempo frequenza Partendo dalla precedente espansione in serie, si può imporre il valore dei primi n valori Mp=0, p=0,1,…,n. In questo modo i coefficienti della trasformata wavelet saranno decrescenti come sn+2.

Esempi di wavelet Esempio matlab

Passaggio dal continuo al discreto La trasformata wavelet continua rappresenta un segnale monodimensionale in termini di tempo-scala: ridondante! Risulta quindi che il prodotto tempo-larghezza di banda è il quadrato di quello del segnale di partenza L’uso di wavelet discrete può ridurre tale prodotto: si noti che il fattore di traslazione dipende dal valore di s0 (che usualmente è pari a 2 => espansione diadica) e dal valore i che determina la scala che si sta analizzando. Analogia con il microscopio … Si può dimostrare che la trasformata wavelet ortonormale produce un prodotto tempo-frequenza identico a quello del segnale di partenza.

Passaggio dal continuo al discreto Se il segnale di partenza è continuo ed anche le funzioni wavelet sono continue nella scala e nel tempo, si ottiene la trasformata wavelet continua. Quando il segnale in ingresso è continuo, ma le funzioni wavelet sono discrete in tempo e scala, si ottiene la scomposizione in serie wavelet. La teoria delle wavelet usando l’analisi dello spazio delle funzioni dimostra che l’espansione in serie e la ricostruzione delle funzioni continue possono essere calcolate con un approccio a multirisoluzione con filtri discreti. Quando la trasformata wavelet è calcolata con il calcolatore, il segnale in ingresso ed i filtri da iterare sono discreti: in questo senso si parla di discrete wavelet transform. Analogie con trasformata di Fourier

Wavelet partendo dalla multirisoluzione La multirisoluzione incorpora e unifica tecniche provenienti da discipline diverse: subband coding, quadrature mirror filtering, scomposizione piramidale Consiste nell’analizzare e nel rappresentare i segnali a più risoluzioni Esistono varie vie per introdurre le wavelet, forse la più agevole è quella che parte dall’MRA Idea di fondo: oggetti di piccole dimensioni e di basso contrasto sono più visibili a risoluzioni elevate Il viceversa vale per gli oggetti di grandi dimensioni

Wavelets and Multiresolution Processing Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Es: l’immagine possiede una statistica locale variabile

Scomposizione piramidale Tecnica potente e semplice per rappresentare le immagini a più risoluzioni: Immagini a risoluzione decrescente organizzate in maniera piramidale: Applicazioni tipiche in machine vision e compressione Si possono costruire 2 piramidi: una approssimante ed una contenente i residui di predizione (prediction residual) Il residuo può essere codificato facilmente Si hanno J-1 approssimazioni e J residui di predizione

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Scomposizione piramidale Descrizione dell'algoritmo: filtraggio e decimazione del segnale in ingresso per ottenerne un'approssimazione il risultato ottenuto al punto precedente viene interpolato x2 e si valuta la differenza tra il segnale originale e quello così ottenuto in assenza di errori di quantizzazione, i residui possono permettere di ricostruire a ritroso la piramide di approssimazione le approssimazioni possono essere compresse (statistica attorno allo zero) Es: piramide, stima del moto

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Subband coding Il segnale viene diviso in componenti di larghezza di banda limitata Dal segnale scomposto si può ritornare all'originale Applicazioni tipiche per segnali vocali e compressione di immagini.

Subband coding Algoritmo di analisi si filtra il segnale con 2 filtri (a larghezza di banda limitata): uno LP ed uno HP i segnali così ottenuti possono essere decimati senza perdita di informazione Algoritmo di sintesi i segnali vengono interpolati intervallando un campione ed uno zero quindi si filtrano i segnali così trattati e si sommano Si presta all'uso di filtri polifase

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Subband coding Si noti che La versione ricostruita del segnale, all’uscita del banco di sintesi, risulta allora essere:

Subband coding Se si applicano quindi i filtri ai vari ingressi si ottiene l’espressione dell’uscita del banco di sintesi: Ciò che si vuole ottenere è la perfetta ricostruzione dell’ingresso x(n) all’uscita del banco di sintesi. Per ottenere questo risultato si impone quanto segue: Si ottiene quindi il seguente sistema lineare:

Subband coding Scegliendo opportunamente il valore di e di a=2 e calcolando l’inversa della Z-trasformata del sistema lineare visto poc’anzi, si ottiene: Scegliendo invece a=-2, si ottiene: I filtri di sintesi risultano essere copie “intermodulate” dei filtri di analisi. Si può dimostrare che i filtri appena calcolati risultano essere biortogonali.

Ortonormalità, biortogonalità Mantenendo le notazioni precedentemente usate per i filtri calcolati, si definisce ora il concetto di biortogonalità. Una coppia di filtri si dice biortogonale se: Oltre alla biortogonalità, i filtri in questione (colonna 3 della figura) possono anche soddisfare una condizione maggiormente restrittiva, quella della ortonormalità:

Wavelets and Multiresolution Processing Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing I filtri indicati in questa tabella possono essere facilmente generalizzati al caso 2-D.

Wavelets and Multiresolution Processing Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Considerazioni sulla memoria necessaria ai filtri separabili.

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Wavelets and Multiresolution Processing Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Average Details: V,H,D

Wavelets and Multiresolution Processing Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing A differenza dalla semplice scomposizione piramidale la DWT possiede le seguenti proprietà: la statistica locale è relativamente costante e facilmente modellizzabile. Molti valori risultano essere nulli: quindi risulta utile nella compressione. Si possono ottenere approssimazioni ad alte e basse risoluzioni partendo dalla DWT.

Multirisoluzione: concetti base Un segnale f(x) può essere analizzato come una combinazione lineare di funzioni: Se l’espansione risulta essere unica, si dice che fk(x) sono delle funzioni base. Le funzioni esprimibili con tale base formano uno spazio di funzioni V. Per ogni spazio V esiste un insieme di funzioni duali che possono essere usate per calcolare i coefficienti ak come segue: In funzione dell’ortogonalità o meno delle funzioni base è possibile incontrare vari casi…

Multirisoluzione: concetti base Caso 1: le funzioni base formano una base ortonormale per V. Caso 2: le funzioni base formano una base ortogonale per V, ma non ortonormale. La relazione tra le funzioni base e le funzioni duali è: Caso 3: le funzioni base non formano una base ortogonale per V, cioè esiste più di una n-pla di coefficienti per l’espansione della stessa funzione f(x). Le funzioni di espansione ed il loro duale sono dette sovradimensionate o ridondanti.

Multirisoluzione: funzioni di scala Si considerano ora la famiglia di funzioni ottenute da traslazioni intere e riduzioni di scala di tipo diadico: Il valore k imposta la posizione relativa della funzione, mentre il valore j ne imposta la scala. Scegliendo opportunamente le funzioni è possibile descrivere completamente lo spazio L2(R), cioè l’insieme delle funzioni reali misurabili e di quadrato integrabili. Fissando il valore di j=j0 le funzioni di espansione risultanti descrivono un sottoinsieme dello spazio totale. Indicheremo tale sottospazio come Vj0. Aumentando il valore di j si aumenta la dimensione dello spazio che considera delle funzioni con variazioni più piccole e quindi dettagli più piccoli.

Wavelets and Multiresolution Processing Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Aumento di scala

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Richieste fondamentali dell’MRA Le funzioni di scala sono ortogonali alle traslazioni intere I sottospazî descritti dalle funzioni di espansione in un basso valore di scala sono contenuti in quelli descritti dalle scale più alte La sola funzione comune a tutti i sottospazî Vj è f(x)=0. Ogni funzione può essere espressa con una precisione arbitraria.

Conclusioni sulle funzioni di scala Sotto le condizioni appena elencate, le funzioni di espansione del sottospazio Vj possono essere come la somma pesata delle funzioni alla scala j+1. Sostituendo quindi la funzione fj+1,n e rinominando i coefficienti an in hf(n) si ottiene: o nella forma più generale nota come refinement equation o dilation equation: