4. Codifica binaria dell’informazione Ing. Simona Colucci Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Codifica binaria dell’informazione Tutte le informazioni vanno tradotte in bit (organizzati poi in byte o parole): Numeri naturali Numeri interi(con segno) Numeri frazionari Numeri reali Caratteri Immagini Nell’interazione con il calcolatore la codifica in binario e la decodifica in formato leggibile sono trasparenti all’utente Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Numeri naturali: Sistemi di numerazione Un sistema di numerazione è composto da: Insieme finito di simboli o cifre Regole che permettono di rappresentare i numeri naturali Classificazione Sistemi additivi (Es. sistema romano parzialmente): Ogni cifra assume un valore prefissato Il numero si ottiene addizionando le cifre che lo compongono Impossibilità di rappresentare numeri molto grandi e difficoltà di esecuzione delle operazioni matematiche Sistemi posizionali (Es. sistema decimale): Le cifre acquistano un peso diverso a seconda della posizione che occupano Un numero generico di m cifre è rappresentato in base p dalla sequenza: an, an-1, an-2,..., a0 Compattezza di rappresentazione anche per numeri molto grandi e facilità di esecuzione delle operazioni an : cifra più significativa a0 : cifra meno significativa n = m-1 ai  {0, 1, ..., p-1} Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Sistemi posizionali: Rappresentazione in base p Numero naturale N, composto da m cifre, in base p: Rappresentazione Spazio di Rappresentazione: numeri nell’intervallo discreto [0 , pm - 1] Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Il sistema decimale: rappresentazione in base 10 Sistema posizionale Esempio: 123 = 100 +20 +3 Base: p = 10 Insieme di simboli: ai  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Numero naturale N di m cifre: Rappresentazione: N10 = an·10n+an- 1·10n-1+…+a0·100 n=m-1 Esempio, con m=3: 58710 = 5·102+8·101+7·100 Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [0, 10m-1] Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Sistema binario: Rappresentazione in base due Sistema posizionale Base binaria: p=2 Insieme di simboli: ai  {0, 1} Simboli chiamati bit (binary digit) Otto bit chiamati byte Numero naturale N di m cifre: Rappresentazione: N2 = an·2n+ an-1·2n-1+…+a0·20 n=m-1 Esempio, con m=5: 110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710 Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [0 , 2m -1] Esempio con m=8: [000000002 , 111111112], ovvero: [010 , 25510] Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Il sistema binario: unità di misura kilobyte(Kb) = 210 byte = 1024 byte megabyte(Mb) = 220 byte = 1048576 byte gigabyte(Gb) = 230 byte = 1073741824 byte terabyte(Tb) = 240 byte = 1099511627776 byte Le approssimazioni a potenze di 10: sono accettabili solo per i kilobyte: 1024 ~1000 sono inaccettabili per 104 ,105 ,106 le lettere maiuscole nel simbolo indicano che non si tratta delle potenze di 10 del sistema internazionale Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Basi ottale ed esadecimale Rappresentazione in base 8: Base ottale: p=8; Insieme di simboli ai  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Numero N di m cifre: Rappresentazione: N8 = (an·8n+an-1·8n-1+…+ a0·80)10 n=m-1 Es. 2348 = (2·82+3·81+4·80)10 = 15610 Spazio di rappresentazione: [0, 8m-1] Rappresentazione in base 16: Base esadecimale: p=16; Insieme di simboli ai  {0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F} Notare: “11” al posto di “B” e “15” al posto di “F”, i loro equivalenti in base dieci Rappresentazione: N16 = (an·16n+an-1·16n-1+…+ a0·160)10 n=m-1 Esempio: B7F16 = (11·162+7·161+15·160)10 = 294310 Spazio di rappresentazione: [0, 16m-1] Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Conversioni di base Per convertire da base p a base 10: Esempio: 110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710 Per convertire da base dieci a base due: Metodo delle divisioni successive: esempio 331:2 = 165 con resto di 1 165:2 = 82 con resto di 1 82:2 = 41 con resto di 0 41:2 = 20 con resto di 1 (331)10=(101001011)2 20:2 = 10 con resto di 0 10:2 = 5 con resto di 0 5:2 = 2 con resto di 1 2:2 = 1 con resto di 0 1:2 = 0 con resto di 1 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Conversioni di base Le basi ottale ed esadecimale sono di interesse informatico per la facilità di conversione, con il metodo”per parti”: Da base 2 a base 8: si converte a gruppi di tre bit, traducendo ciascuna tripla nella corrispondente cifra ottale (001010110111)2=(1267)8 Da base 2 a base 16: si converte a gruppi di quattro bit, traducendo ciascuna quadrupla nella corrispondente cifra esadecimale (001010110111)2=(2B7)16 La base ottale ed esadecimale consentono una grande sintesi di rappresentazione Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Somma Le cifre sono 0 e 1 ed il riporto può essere solo 1 Riporto precedente Somma Risultato Riporto 0 + 0 0 + 1 1 + 0 1 1 + 1 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Esempio di somma e carry 1  riporto 0101 + (510) 1001 = (910) ------ 1110 (1410) 111  riporti 1111 + (1510) 1010 = (1010) ------- carry  11001 (2510 se uso 5 bit; 910 se considero 4 bit: errato) Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Numeri interi Includono anche i numeri negativi Rappresentati tramite il segno ed il valore del numero Codifica binaria secondo uno delle due modalità seguenti: Rappresentazione in modulo e segno Rappresentazione in complemento a due Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Modulo e segno In un numero di m bit il primo bit è utilizzato per memorizzare il segno: “1” numero negativo “0” numero positivo Spazio di rappresentazione: tra -(2m-1-1) e (2m-1-1) Fenomeno dello zero positivo e negativo Num. intero, base 10 Num. intero, base due, modulo e segno –3 111 –2 110 –1 101 –0 100 +0 000 +1 001 +2 010 +3 011 Esempio m=3 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Complemento a due (CPL2) Usando m bit: (-N)CPL2 = (2m - N10)2 Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [-2m-1 , 2m-1 - 1] Asimmetria tra negativi e positivi Esempio (m=8): [-128, +127], perché -27 = -128 e 27 - 1 = +127 Tutti i numeri negativi cominciano con il bit più significativo posto a “1”, mentre tutti i positivi e lo zero iniziano con uno “0” Num. intero base 10 Trasformazione Num. intero, base 2, CPL2, m=3 -4 8 - 4 = 4 410 = 100 -3 8 - 3 = 5 510 = 101 -2 8 - 2 = 6 610 = 110 -1 8 - 1 = 7 710 = 111 nessuna 010 = 000 1 110 = 001 2 210 = 010 3 310 = 011 Esempio m=3 (-N)CPL2 =(23-N10)2 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Complemento a due (CPL2) Metodo alternativo per ottenere (-N)CPL2 Complementare i bit della rappresentazione binaria del modulo N(cambiare gli 1 in 0 e viceversa) Sommare 1 al risultato ottenuto Esempio: -N= -3 N=(3)10=(011)2 complemento ad 1 100 complemento a 2 101 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Somma e sottrazione in CPL2 Somma: come per i naturali Sottrazione: N1 - N2 = N1 + (-N2)CPL2 Carry: Il carry finale non viene considerato! Overflow: Se, sommando due interi di m bit dotati di segno concorde, ottengo un risultato di segno discorde (sempre considerando m bit), allora si ha un overflow (il risultato non è codificabile su m bit) e l’operazione è errata L’overflow non può verificarsi se gli operandi sono di segno discorde Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Somma e sottrazione in CPL2 Esempi: m=7 spazio di rappresentazione [-64, +63] +5 00101 +8 01000 +13 01101 +5 00101 -8 11000 -3 11101 -5 11011 +8 01000 +3 (1)00011 -63 1000001 -8 1111000 -71 [1](1)0111001 RIPORTO OVERFLOW RIPORTO Perché ignorare il riporto finale in CPL2 ad m bit? Esempio: base=10 10180-9878=302= = 10180 -9878 +10000-10000= = 10180+(10000-9878)-10000= (10000-9878)- è il complemento a 10 del sottraendo: (9878)CPL10 = 10180+122-10000= si addiziona al minuendo il complemento a 10 del sottraendo = 10302-10000= questa sottrazione equivale a trascurare la cifra piu significativa = 302 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Numeri frazionari Rappresentazione: Relativa alla parte frazionaria Ottenuta tramite la formula Spazio di rappresentazione: Per un numero di n cifre in base p, posso rappresentare numeri nell’intervallo continuo: [0 , 1-p-n] Errore di approssimazione: minore di p-n Esempi con n=3: base 10: Rappresentazione: (0,587)10= (5·10-1+8·10-2+7·10-3) Spazio di rapp.: [0, 1-10-3] = [0, 0.999] Errore : minore di 0.001 base 2: Rappresentazione: (0,101)2 = (1·2-1+0·2-2+1·2-3)10 = (0,625)10 Spazio di rapp.: [0, 1-2-3] Errore : minore di 2-3 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Conversioni di base parte frazionaria Da base 2 a base 10: Secondo la formula vista prima Da base 10 a base 2: Si moltiplica progressivamente per 2 la parte frazionaria Si prendono le parti intere di ciascun prodotto dalla più alla meno significativa, con numero di bit proporzionale all’accuratezza Esempio: 0.58710 0.587*2= 1.174 parte intera 1 parte frazionaria 0.174 0.174*2= 0.348 parte intera 0 parte frazionaria 0.348 0.348*2= 0.696 parte intera 0 parte frazionaria 0.696 0.696*2= 1.392 parte intera 1 parte frazionaria 0.392 0.392*2= 0.784 parte intera 0 parte frazionaria 0.784 0.784*2= 1.568 parte intera 1 parte frazionaria 0.568 ….. Risultato : 0.1001 con quattro cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-4 0.100101 con sei cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-6 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Numeri reali Approssimati tramite numeri razionali Rappresentazione relativa sia alla parte intera che a quella frazionaria Modalità di rappresentazione alternative: virgola fissa virgola mobile numeri molto grandi con poche cifre numeri molto piccoli con precisione Operazioni di somma e differenza tramite allineamento dei numeri Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Virgola fissa Uso di m bit per parte intera e n bit per parte frazionaria con n ed m fissi Esempio (m=8, n=6, tot. 14 bit): 123,58710 12310 = 011110112 0,58710  100101 2 123,58710  01111011, 100101 2 m e n scelti in base alla precisione che si vuole tenere Precisione costante lungo l’asse reale R: R Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Virgola mobile (floating point) Il numero è espresso come: r = m·bn m e n sono in base p m: mantissa (numero frazionario con segno) b: base della notazione esponenziale (numero naturale) n: caratteristica (numero intero) Esempio (p=10, b=10): -331,6875 = -0,3316875103 m = -0,3316875 n = 3 Uso l1 bit e l2 bit per codificare m e n (incluso il segno): Precisione variabile lungo l’asse reale R: valori rappresentabili molto vicini nell’intorno di 0 valori rappresentabili molto lontani nell’intorno del numero massimo esprimibile, positivo o negativo R Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Virgola mobile (floating point) Quando la mantissa comincia con una cifra diversa da zero, il numero in virgola mobile si dice normalizzato Es. –0,3316875103 è normalizzato perché la mantissa è “3316875” La normalizzazione permette di avere, a parità di cifre usate per la mantissa, una maggiore precisione. Es. Uso l1=5 cifre per la mantissa: +45,6768  +0,45676102  +0,00456104 Ho perso 0,0008 Ho perso 0,0768 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Caratteri Codifica numerica tramite 1 byte ASCII (American Standard Code for Information Interchange) utilizza 7 bit (estesa talvolta a 8 bit per rappresentare altri 128 caratteri) L’ASCII codifica: I caratteri alfanumerici (lettere maiuscole e minuscole e numeri), compreso lo spazio I simboli (punteggiatura, @, #, …) Alcuni caratteri di controllo che non rappresentano simboli visualizzabili (TAB, LINEFEED, RETURN, BELL, ecc) Non codifica per esempio le lettere accentate o greche L’ ottavo bit o un nono possono essere usati come bit di parità: rende pari il numero di 1 in modo che se esso risulta dispari ci si accorge di errori di immagazzinamento o trasmissione dati. Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Tabella ASCII (parziale) DEC CAR DEC CAR DEC CAR 48 0 49 1 50 2 51 3 52 4 53 5 54 6 55 7 56 8 57 9 65 A 66 B 67 C 68 D 69 E 70 F 71 G 72 H 73 I 74 J   75 K 76 L 77 M 78 N 79 O 80 P 81 Q 82 R 83 S 84 T 85 U 86 V 87 W 88 X 89 Y 90 Z 97 a 98 b 99 c 100 d 101 e 102 f 103 g 104 h 105 i 106 j 107 k 108 l 109 m 110 n 111 o 112 p 113 q 114 r 115 s 116 t 117 u 118 v 119 w 120 x 121 y 122 z Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Codifica delle immagini L’immagine digitale Le immagini sono codificate come sequenze di bit Digitalizzazione: passaggio dall’immagine alla sequenza binaria L’immagine è suddivisa in una griglia di punti (detti pixel) Ogni pixel è descritto da un numero (su 8, 16, 24, o 32 bit) che ne rappresenta il colore(un particolare tono di grigi nelle immagini bianco e nero) Es. con 8 bit  28 = 256 combinazioni di colore Per decodificare la sequenza binaria che codifica l’immagine bisogna conoscere: le dimensioni dell’immagine : larghezza e altezza in pollici del rettangolo in cui è contenuta la risoluzione dell’immagine :numero di pixel per pollice (dpi - dot per inch) il numero di colori o toni di grigio disponibili per ogni pixel Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 L’immagine digitale Standard di codifica: TIFF (Tagged Image File Format) PNG (Portable Network Graphics) JPEG Tecniche di compressione utilità: ridurre lo spazio necessario a rappresentare i punti dell’immagine ridurre la quantità di memoria necessaria a memorizzare l’immagine ridurre il tempo necessario a trasmettere l’immagine tra i dispositivi classificazione: compressione lossless : comprime l’immagine senza deteriorarla (TIFF) adatte solo per immagini con ampie aree monocromatiche. in cui sequenze di punti con la stessa tonalità vengono codificate in forma compatta compressione lossy: comprimono (molto di più), ma deteriorano l’immagine (JPEG , PNG) adatte ad immagini con molti colori, memorizzano le differenze cromatiche tra gruppi di pixel Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Operazioni con le informazioni Aritmetiche Es. Somma e differenza viste prima Logiche Utilizzano l’algebra di Boole Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Algebra di Boole Formalismo basato su tre operazioni logiche (dette anche operazioni booleane): AND operatore binario OR operatore binario NOT operatore unario Le operazioni booleane si applicano ad operandi che possono assumere solo due valori: vero o falso Ogni formula scritta in algebra di Boole può assumere solo due valori: vero o falso Rappresentando vero con “1” e falso con “0” un bit può rappresentare un operando o il valore di una formula in algebra di Boole Tavole di verità: rappresentano il valore di una espressione logica(ottenuta a partire dai tre operatori logici) in funzione del valore degli operandi Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Operatori booleani Tavole di verità: A B A AND B 1 A B A OR B 1 A NOT A 1 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Operatori booleani: proprietà Commutativa: A OR B = B OR A A AND B = B AND A Distributiva di uno verso l’altro: A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C) A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C) Leggi di De Morgan: A AND B = NOT ((NOT A) OR (NOT B)) A OR B = NOT ((NOT A) AND (NOT B)) Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012 Espressioni booleane Regole di precedenza: NOT ha la massima precedenza poi segue AND infine OR Se voglio alterare queste precedenze devo usare le parentesi (a volte usate solo per maggior chiarezza) Per valutare un espressione booleana si usa la tabella della verità Due espressioni booleane sono equivalenti se e solo se le tabelle della verità sono identiche Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Dalla formula alla tabella Vediamo un esempio, per l’espressione: D = A AND NOT (B OR C) A B C D = A AND NOT (B OR C) 1 Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012

Dalla tabella alla formula Se conosco la tabella della verità, posso ricostruire la formula logica. Partiamo dalla tabella: A B C1 1 NOT A AND B A AND NOT B A AND B C1 = (NOT A AND B) OR (A AND NOT B) OR (A AND B) Fondamenti di Informatica CDL in Ingegneria Gestionale- A.A. 2011-2012