1. Classificazione dei sistemi e dei modelli La teoria dei sistemi e del controllo si è sempre tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili continue modellati da equazioni differenziali o alle differenze. Tali modelli sono tuttavia inadeguati nella descrizione dei sistemi man-made. Sistemi dinamici i cui stati assumono diversi valori logici o simbolici in corrispondenza dell’occorrenza di eventi. Es: processi produttivi, reti di trasporto, di comunicazione, etc.

Es. di eventi: arrivo o partenza di un cliente, completamento di una lavorazione, guasto o riparazione di una macchina, trasmissione o ricezione di un insieme di dati, etc. L’evoluzione nel tempo di tali sistemi è dettata dall’occorrenza degli eventi mentre i micro-cambiamenti che avvengono continuamente all’interno del sistema vengono ignorati. Sistemi ad eventi discreti

Un sistema la cui evoluzione è dettata sia dall’occorrenza di eventi discreti, sia dal trascorrere del tempo viene detto ibrido. Sistemi ibridi Sis. ad avanzamento temporale Sis. ad eventi discreti

Principi di base della teoria classica dei sistemi e del controllo Nozione fondamentale sistema Dizionario Webster: Un sistema è un’unità complessa formata da molte componenti, spesso diverse tra loro, soggette ad un piano comune o orientate verso un obiettivo comune. Dizionario IEEE: Un sistema è una combinazione di elementi che cooperano per svolgere una funzione altrimenti impossibile per ciascuno dei singoli componenti.

Per procedere ad un’analisi quantitativa di un sistema è indispensabile la formulazione di un modello formale che riproduca il comportamento del sistema. Ogni sistema fisico è caratterizzato da un certo numero di variabili fisiche che evolvono nel tempo: cause esterne al sistema  ingressi del sistema effetti  uscite del sistema u y S S realizza la dipendenza degli effetti dalle cause esterne al sistema.

m Kw K b u y Esempio: pantografo Y: posizione di equilibrio di m u: posizione di equilibrio del punto di contatto con la catenaria

In generale l’uscita ad un dato istante di tempo dipende anche dalla storia del sistema. Lo stato di un sistema all’istante di tempo 0 è la grandezza che contiene l’informazione necessaria in 0 per determinare univocamente l’andamento dell’uscita y(), per   0, sulla base della conoscenza dell’andamento dell’ingresso u(),   0 e dello stato in 0.

Si definiscono equazioni di stato l’insieme di equazioni che determinano lo stato x() per ogni   0 sulla base di x(0 ) e di u() ,   0. Modello a tempo continuo u x y

Esempio: pantografo N.B. La scelta del modello in termini di variabili di stato non è mai unica.

Se il tempo è discreto, cioè rappresentato dall’intero k, k=0,1,… , il sistema può venire descritto mediante un insieme di equazioni alle differenze: Modello a tempo discreto u x y

I sistemi ad eventi discreti La ricerca nell’abito dei sistemi ad eventi discreti (SED) sta acquistando un ruolo sempre più rilevante nella comunità scientifica e ciò è una immediata conseguenza della crescente complessità dei sistemi creati dall’uomo. La teoria dei SED si sta evolvendo ora in analogia alla teoria classica dei sistemi e del controllo  concetti di stabilità, controllabilità, osservabilità, etc.

Un sistema ad eventi discreti è un sistema dinamico il cui comportamento è caratterizzato dall’occorrenza di eventi istantanei con un cadenzamento irregolare non necessariamente noto. Alcuni sistemi sono intrinsecamente ad eventi e la risoluzione di un problema di controllo in questo caso consiste nella determinazione di una politica di gestione e di coordinamento degli eventi. L’evoluzione in questo caso è asincrona ossia basata sui tempi di occorrenza degli eventi e non su una temporizzazione regolare.

Definizione formale: Un SED è un sistema il cui comportamento dinamico è caratterizzato dall’accadimento asincrono di eventi che individuano lo svolgimento di attività di durata non necessariamente nota. Un SED è caratterizzato da: insieme degli eventi E spazio di stato X (insieme discreto) evoluzione dello stato regolata dagli eventi xk+1=(xk,ek) kN funzione di transizione di stato

Esempio: il sistema a coda Un sistema a coda si basa su 3 componenti fondamentali: le entità che attendono per poter utilizzare le risorse (clienti) le risorse (servitori o serventi) lo spazio in cui si attente (coda) partenza clienti arrivo clienti coda servitore

I clienti possono essere: persone, veicoli di trasporto, messaggi, etc. I serventi possono essere: persone, macchine, semafori, canali di comunicazione, etc. Insieme degli eventi E={a,p} a : evento di arrivo di un cliente p : evento di partenza di un cliente

Se scegliamo come variabile di stato il numero di clienti in coda  Spazio di stato X={0,1,2,…}=N Il sistema a coda può venire rappresentato mediante il seguente grafo 1 2 3 a p

Esempio: macchina soggetta a guasti X = {F (macchina ferma), L (macchina che lavora), G (macchina guasta)} spazio di stato E = {inizio,fine,rottura,riparazione} spazio degli eventi F L G inizio fine rottura riparazione

Esempio: circuito elettrico d L’interruttore può ruotare a sinistra o a destra di 1/4 di giro. Ci sono 4 possibili posizioni s d

Possiamo individuare 3 insiemi: X = {x1,x2,x3,x4} posizioni dell’interruttore U = {s,d} rotazioni Y = {l1,l2,b} condizioni delle lampade Tale sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo. x1 x4 x2 x3 d s x1 x2 x3 x4

Se assumiamo l’insieme Y come spazio di stato, allora il sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo l1 b s,d l2 l Se poi volessimo addirittura limitarci a distinguere il buio dalla luce s,d s,d b

x1 x4 x2 x3 d s A tale sistema possiamo anche associare una evoluzione temporale X x1 x2 x3 x4 t t1 t2 s d t3 t4 t5

Modellazione di sistemi ad eventi discreti Un modello ad eventi discreti è un modello matematico in grado di rappresentare l’insieme delle traiettorie (o tracce) degli eventi che possono essere generate da un sistema. In generale l’insieme delle possibili traiettorie degli eventi è infinito, mentre il modello deve comunque essere finito. A seconda del livello di astrazione con cui le diverse traiettorie possono venire rappresentate, i modelli vengono distinti in due diverse categorie: Modelli logici e Modelli temporizzati

Modelli logici La traccia è una sequenza di eventi {e1,e2,e3…} in ordine di occorrenza. La traiettoria è allora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}. Modelli temporizzati La traccia è una sequenza di coppie {(e1,t1),(e2,t2),(e3,t3),...} in ordine di occorrenza. La traiettoria è ancora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}. In questo caso tuttavia conosciamo esattamente l’istante di tempo in cui ciascuno stato viene raggiunto.

I modelli logici rendono agevole lo studio delle proprietà qualitative del sistema  analisi strutturale. I modelli temporizzati permettono di studiare l’evoluzione temporale di un sistema  analisi prestazionale. I modelli temporizzati possono essere: deterministici (gli intervalli tra 2 eventi sono noti) stocastici (gli intervalli sono variabili casuali) Una trattazione analitica diventa estremamente complessa  simulazione

Automi: modello logico Definizione: Un AFD è una 5-upla G=(X,E,,x0,Xm) dove: X è un insieme finito di stati; E è un insieme finito di eventi (alfabeto);  : X  E  X è la funzione di transizione; x0  X è lo stato iniziale; Xm  X è l’insieme di stati finali. (x,e) è lo stato raggiunto quando si verifica l’evento e a partire dallo stato x.

x0 x1 x2 a d b c Esempio: x0: stato iniziale e finale x0: m. spenta x1: m. accesa x2: in avviamento a: accensione b: predisposizione c: lavorazione d: spegnimento Possibile evoluzione: w = abcc parola

Ad ogni AFD è possibile associare un Ad ogni AFD è possibile associare un linguaggio generato e un linguaggio accettato (o marcato) Le proprietà fondamentali degli automi sono: la raggiungibilità la reversibilità la vivezza Esiste poi un altro modello di SED che può essere visto come una generalizzazione degli AFD, ossia gli automi finiti non deterministici (AFN)

 Esempio di AFN: x0 x1 x2 x3 x4 a b Vi sono: transizioni etichettate con la parola vuota  più transizioni uscenti dallo stesso nodo e aventi la stessa etichetta

Sistemi ibridi Sistemi ad avanzamento temporale (SAT) Sistemi ad eventi discreti (SED) SAT a tempo discreto SAT a tempo continuo SED temporizzati SAT a t. continuo lineari SAT a t. discreto lineari SED logici SED deterministici SAT a t. continuo non lineari SAT a t. discreto non lineari SED stocastici