1 2. Introduzione alla probabilità Definizioni preliminari: Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio Spazio degli eventi elementari : è linsieme di tutti i possibili esiti Evento casuale: è un sottoinsieme A di ( A ) Un evento casuale può essere impossibile A = certo A =

2 Variabili aleatorie Ogni evento w può essere associato in modo biunivoco a un numero attraverso una particolare legge. Tale corrispondenza viene detta variabile aleatoria (v.a.) X(w). Una variabile aleatoria X(w) (o più semplicemente X) può essere: discreta se assume solo un insieme finito o numerabile di valori X N continua altrimenti X R Nel seguito indicheremo con X le v.a. e con x i valori che esse possono assumere.

3 3. Processi Stocastici Un processo stocastico è una funzione del tempo i cui valori x(t) ad ogni istante di tempo t sono v.a. Notazione: X : insieme di possibili valori t T : generico istante di tempo (T: insieme dei possibili istanti di tempo) (t) : funzione di probabilità o di densità di probabilità allistante di tempo t (X, (t)) t T

4 Una realizzazione di un processo stocastico (X, (t)) t T è una particolare evoluzione x(t) per t T. Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,… X={0,1} dove x 0 =0 : esce testa e x 1 =1 : esce croce. tempo x i (x i ) 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 : : : 0 1 (X, (0)) (X, (1)) t x i : : possibile realizzazione

5 Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. La tabella (tempo, x i, (x i )) è uguale alla precedente ma vi sono solo 2 possibili realizzazioni tempo x i (x i ) 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 : : : 0 1 t x 1 x : : : La tabella (tempo, x i, (x i )) non è sufficiente per descrivere completamente un processo stocastico.

6 I processi stocastici vengono classificati come segue: a stati continui (X è un insieme continuo, ad es. X=R) a stati discreti (X è un insieme discreto, ad es. X={x 1,x 2,…,x n }) a stati finiti se n < + a stati infiniti se n = + sono anche detti catene

7 Esiste anche unaltra classificazione dei processi stocastici a tempo continuo (T è un insieme continuo, ad es. T=R + {0}) a tempo discreto (T è un insieme discreto, ad es. T=N)

8 Esempi 1) x è pari al numero di persone in una coda X={0,1, … } spazio di stato discreto T= R + {0} tempo continuo 2) x è pari allaltezza di una persona il giorno del suo compleanno X= R + {0} spazio di stato continuo T = {0,1,…,n} tempo discreto

9 Ad un processo stocastico a stati discreti possiamo associare un numero infinito di funzioni di probabilità congiunta: x1,x2,…,xn (t 1,t 2,…,t n ) = Pr(x(t 1 )=x 1, x(t 2 )=x 2, …, x(t n )=x n ) n 1 t 1 < t 2 < … < t n x 1, x 2, …, x n X Una definizione analoga vale per le densità di probabilità nel caso dei sistemi a stati continui.

10 Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,… X={0,1} dove x 0 =0 : testa e x 1 =1 : croce. 0 (0) = Pr(x(0)=0) = 1/2 0,0 (0,1) = Pr(x(0)=0, x(1)=0) = 1/4 Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. 0 (0) = Pr(x(0)=0) = 1/2 0,0 (0,1) = Pr(x(0)=0, x(1)=0) = 1/2

11 Processi stocastici stazionari (in senso stretto) Un p.s. è detto stazionario se tutte le sue funzioni di probabilità (o densità di probabilità) sono stazionarie ossia invarianti per traslazioni nel tempo. x1,x2,…,xn (t 1,t 2,…,t n ) = x1,x2,…,xn (t 1 +,t 2 +,…,t n + ) n 1 t 1 < t 2 < … < t n x 1, x 2, …, x n X T

12 Processi stocastici stazionari nella media Per ogni istante di tempo t T (X, (t)) è una v.a. con media x (t). Un p.s. è stazionario nella media se t T x (t) = Stazionarietà in senso stretto Stazionarietà nella media

13 Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,… X={0,1} dove x 0 =0 : testa e x 1 =1 : croce. x (0) = 1/2 x (1) = 1/2 : È stazionario in senso stretto. Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. x (0) = x (1) = … = 1/2

14 Esempio: Una macchina può essere guasta x 0 =0 o funzionante x 1 =1 ( X={0,1} ). Vogliamo studiare la probabilità che la macchina sia guasta in un certo anno T={0, 1, …, } (anni di funzionamento). Ovviamente tale probabilità aumenta con gli anni. 0 (t)=1-(0.9) t 1 (t)=(0.9) t Non è stazionario nella media :

15 Processi stocastici ergodici processi a tempo discreto processi a tempo continuo Tale p.s. è ergodico se: 1) il limite esiste 2) tale limite non dipende dalla particolare realizzazione 3) Si consideri un p.s. stazionario e sia la media di ogni v.a. (X, (t)), t T. Per ogni possibile realizzazione posso calcolare

16 Lo studio di un p.s. ergodico può pertanto essere effettuato sulla base di una sola realizzazione. Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,… X={0,1} dove x 0 =0 : testa e x 1 =1 : croce. x (0) = 1/2 x (1) = 1/2 … Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. Ho solo 2 possibili realizzazioni. Il limite esiste ma dipende dalla realizzazione. ergodico non ergodico

17 Processi stocastici markoviani Un p.s. è markoviano (o di Markov) se la legge di probabilità che governa i cambiamenti di stato in un dato istante di tempo dipende solo dal valore assunto dallo stato nellistante di tempo precedente e non da tutti i precedenti valori assunti dallo stato Pr(x(t n )=x n | x(t n-1 )=x n-1 ) = Pr(x(t n )=x n | x(t n-1 )=x n-1, x(t n-2 )=x n-2, … x(t 1 )=x 1 ) Il processo è privo di memoria.

18 Esempio di processo non markoviano: Ho un urna con 2 palline, una bianca e una nera. Effettuo delle estrazioni e ogni volta rimetto 2 palline dello stesso colore di quelle che ho tolto. Esempio di Processo markoviano: Ho un urna con 2 palline, una bianca e una nera. Effettuo delle estrazioni e ogni volta rimetto la stessa pallina nellurna.

19 I Processi di Poisson Un processo di Poisson conta quante volte si verifica un evento nellunità di tempo supponendo che le seguenti ipotesi siano verificate: 1. Ogni evento si verifica ad intervalli di tempo casuali. 2. Gli accadimenti sono indipendenti luno dallaltro. 3. La probabilità che si verifichino x N eventi nellunità di tempo è con R + parametro opportuno.

20 4. p(x) non dipende dallistante di tempo t, cioè x N e t R Pr{che si verifichino x eventi in [0,1]} = Prob{che si verifichino x eventi in [t,t+1]}. p(x) x < 1 p(x) x > 1

21 Esempio: Il processo degli arrivi in coda ad un semaforo è Poissoniano? Se il precedente semaforo è molto lontano potrebbe esserlo poiché gli arrivi sarebbero indipendenti. Se invece il precedente semaforo è vicino, allora le macchine arrivano generalmente a piccoli gruppi e non sono indipendenti.

22 Un processo di Poisson genera una v.a. discreta (X,p) con x=N. Se per lo stesso processo contiamo la distanza temporale che intercorre tra 2 eventi consecutivi (tempo di inter-evento) otteniamo una v.a. continua. Il p.s. è allora (Xc,f) dove ora Xc=R + ed f è una funzione densità di probabilità. Si può dimostrare che i tempi di inter-evento di un p. di P. di parametro hanno una distribuzione esponenziale di parametro

23 Mediamente si verificano eventi nellunità di tempo o equivalentemente, il tempo che mediamente passa tra loccorrenza di un evento e del suo successivo è 1/. Osservazione: La somma di 2 processi Poissoniani di parametro 1 e 2 è ancora un processo Poissoniano di parametro =

24 4. Sistemi ad eventi discreti temporizzati il loro comportamento non è definito semplicemente da una sequenza di eventi o di valori dello stato, ma a questi bisogna associare una temporizzazione. Esistono diversi formalismi: automi temporizzati catene di Markov reti di code reti di Petri temporizzate algebra max-plus simulazione ad eventi discreti

25 Quando tutte le informazioni relative allevoluzione passata sono contenute nello stato attuale (processo stocastico senza memoria) Processo di Markov

26 Definizione: Un p.s. {x(t)} con spazio degli stati X è di Markov se la prob. di transizione da uno stato x(t)=x i ad uno stato x(t+1)=x j, condizionata dalla traiettoria x [to,t] (o equiv. dalla sequenza {x 0, …, x i }) è uguale alla prob. condizionata al solo fatto che lo stato in t vale x i : Pr{x(t+dt)=x j | x [to,t] } = Pr{x(t+dt)=x j | x(t)=x i } dove Pr{x(t+dt)=x j | x(t)=x i } = ij dt proc. stazionario Pr{x(t+dt)=x j | x(t)=x i } = ij (t) dt proc. non stazionario

27 Proprietà: nel caso in cui i ritardi di attivazione degli eventi sono v.a. a distribuzione esponenziale, la sequenza degli stati che si ottiene dallevoluzione del corrispondente automa stocastico è un p.s. di Markov.