Prof. Fernando D’Angelo Classe 3BS – PNI a.s.2010/2011

Disequazioni di secondo grado

disequazioni di 2° grado In questa presentazione verrà mostrato, ricorrendo ad alcuni esempi, come si risolvono le disequazioni di 2° grado ed in particolare come si scrivono le loro soluzioni.

Premessa Risolvere la disequazione di secondo grado se si considera la parabola equivale ad individuare i punti della parabola aventi ordinata positiva

Pertanto, nella risoluzione di una disequazione di 2° grado, si può ricorrere al grafico “qualitativo” di una parabola che funga da guida nella scrittura delle soluzioni. Nota Bene: Per semplicità grafica, nei grafici che seguono, non verrà rappresentato l’asse y.

La soluzione di una disequazione, come si vedrà negli esempi, è un sottoinsieme S (proprio o improprio) dell’insieme dei numeri reali R

Consideriamo l’equazione associata Esempio N°1 1 Consideriamo l’equazione associata corrispondente

Risolviamola con la formula ridotta trovando le radici reali…

2 radici reali coincidenti

3 Posizioniamo tale valore sull’asse x x

4 x Disegniamo la parabola che passa per il punto trovato e, poiché il primo coefficiente a è positivo, avente la concavità verso l’alto. x

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinata positiva, 5 >0 x

>0 x evidenziamo i punti della parabola che hanno ordinata positiva e proiettiamoli sull’asse x >0 x

5 L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che: x ossia

Consideriamo l’equazione associata Esempio N°2 1 Consideriamo l’equazione associata corrispondente

2 Risolviamola con la formula ridotta trovando le eventuali radici reali…

non esistono radici reali!!! 3 …pertanto non possiamo posizionare alcuna radice reale sull’asse x!!!! x

4 x Disegniamo una parabola che non interseca l’asse x e, poiché il primo coefficiente a è positivo, avente la concavità verso l’alto. x

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinata positiva, 5 >0 x

>0 x evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva e proiettiamoli sull’asse x >0 x

5 x ….da tutti i numeri reali! L’insieme S di numeri reali in cui la disequazione data è soddisfatta è costituito da…… 5 x ….da tutti i numeri reali! ossia

Consideriamo l’equazione associata Esempio N°3 1 Consideriamo l’equazione associata corrispondente

2 Risolviamola, trovando le eventuali radici reali

3 Posizioniamo le radici sopra l’asse x x

4 x Disegniamo la parabola che passa per i punti trovati e, poiché il primo coefficiente a è positivo, avente la concavità verso l’alto. x

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinata negativa, <0 x

<0 5 x evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata negativa e proiettiamoli sull’asse x. <0 x

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che: 6 x cioè

Consideriamo l’equazione associata Esempio N°4 1 Consideriamo l’equazione associata corrispondente

Risolviamola con la formula ridotta 2

radici reali coincidenti !

3 Posizioniamo tale valore sull’asse x. x

4 x Disegniamo la parabola che passa per il punto trovato e, poiché il primo coefficiente a è positivo, avente la concavità verso l’alto. x

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinata negativa, 5 x <0

evidenziamo i punti della parabola che hanno ordinata negativa … non ci sono punti con ordinata negativa!!! <0 x

Pertanto l’insieme di numeri reali, in cui la disequazione è soddisfatta è …… 6 x ...l’insieme vuoto!!!!! ossia

Esempio N°5 1 Consideriamo l’equazione corrispondente

2 Risolviamola, trovando le radici

3 Posizioniamo le radici sopra l’asse x x

4 x Disegniamo la parabola che passa per i punti trovati e, poiché il primo coefficiente a è positivo, avente la concavità verso l’alto. x

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola che hanno ordinata positiva oppure nulla, 5 0 x

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva o nulla e proiettiamoli sull’asse x 0 x

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai numeri reali x tali che: 6 x ossia

Esercizi 1 2 3 4 5 6

FINE