SIERPINSKI LA GERLA DI STUDIO DI UN FRATTALE: A cura di: Albergotti, Bientinesi, Cavallaro, Polpetta. L.SCIENTIFICO “R. DONATELLI” di TERNI Prof.ssa Massarucci Mara

LA GERLA DI SIERPINSKI Il procedimento usuale per costruire il frattale della gerla è il seguente: Parto da un triangolo equilatero Unisco i punti medi di ogni lato ed “elimino” il triangolo che si è venuto a formare Itero il processo per un numero n di volte a scelta arrivando alla visualizzazione finale del frattale

PRIMA COSTRUZIONE Si effettua una omotetia di centro il baricentro e rapporto k=-1/2 Il triangolo interno che si ottiene è la parte di figura che viene eliminata Il processo viene poi iterato ottenendo così la gerla

SECONDA COSTRUZIONE Il secondo tipo di costruzione della gerla si avvale di un procedimento diverso dal primo: Non è importante il punto di partenza, infatti si può utilizzare come START indifferentemente un punto, un triangolo… Al secondo passo è sufficiente visualizzare la successiva figura (detta GENERATORE) per risalire alle trasformazioni che portano lo START a questa La trasformazione totale può essere individuata come composizione di trasformazioni semplici ed è caratterizzata da un codice specifico, detto CODICE GENETICO

Guardiamo ora più specificatamente queste trasformazioni: (si è supposta l’origine nel punto 1 e il triangolo nel 1° quadrante) Al triangolo di partenza applichiamo una omotetia di centro il vertice 1 e rapporto k=1/2 1 Si ottiene così un triangolo simile al primo ma con i lati lunghi la metà 1 Applicando ora la seconda trasformazione cioè una traslazione di vettore v(1/2; 0) si ottiene il secondo triangolo 1 Facendo alcuni semplici calcoli si può poi ricavare il vettore v(-1/4; 3/4) della terza trasformazione che porta ad ottenere il terzo triangolo 1

½; 0; 0 ½ ; 0; ½ ½; 0; -¼ 0; ½ ; 0 0; ½ ; 0 0; ½, ¾  1  2  3 Dalle trasformazione è possibile risalire ai cosiddetti CODICI GENETICI che sono specifici della costruzione della gerla ½; 0; 0 ½ ; 0; ½ ½; 0; -¼ 0; ½ ; 0 0; ½ ; 0 0; ½, ¾  1  2  3

TEOREMA DI CACCIOPPOLI Sia T una trasformazione insieme-insieme, generata da una trasformazione geometrica  . Se  è una contrazione, allora esiste una unica figura ATTRATTORE tale che Inoltre, fissata comunque una figura start F0, la successione delle figure iterate F0 start F n+1=T(Fn) n=0,1,2… costituisce una “approssimazione” della figura , che migliora ad ogni passo.

CONCLUSIONI Se nella prima costruzione cambio i vertici del triangolo iniziale Cambia la figura finale: La trasf.usata dipende dallo start FO e da ogni successivo F1 Se nella seconda costruzione cambio il vertice iniziale Non cambia la figura finale – effetto dispersione - : La trasf. usata non dipende dallo start FO e neanche dai successivi Fi