Istruzioni per l’uso……. Algebra dei Numeri Istruzioni per l’uso……. Prodotto dalla I D

Relazione sui Numeri Naturali Nell’insieme dei numeri naturali, non si possono compiere tutte le operazioni, precisamente non si possono compiere, quasi sempre, sottrazioni e divisioni, perché potrebbero dare un risultato decimale, cioè che non appartiene all’insieme dei numeri naturali. Le operazioni che si possono sempre svolgere sono sempre addizioni e moltiplicazioni. Le caratteristiche di questo insieme sono: I numeri sono sempre separati da una unità; In questo insieme non ci sono numeri decimali o frazioni; Sono sempre in ordine crescente; In questo insieme non ci sono numeri al di sotto di zero, cioè non ci sono numeri negativi. R&C

1.I numeri sono sempre separati da una unità: 0 1 2 3 4 U Asse delle ascisse 1.I numeri sono sempre separati da una unità: R&C

R 2. In questo insieme non ci sono numeri decimali e frazioni: Z Q N N=N.Naturali; Z=N.Relativi; Q=N.Razionali; R=N.Reali. R&C

3.Sono sempre in ordine crescente 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. 11.12.13…… 3.Sono sempre in ordine crescente R&C

4.In questo insieme non ci sono numeri al di sotto di zero, cioè non ci sono numeri negativi. 0 1 2 3 4 5... NO -5 -4 -3 -2 -1 R&C

Operazioni con i numeri naturali Nell’insieme N, le operazioni che si possono fare (che danno un risultato appartenente all’insieme), sono somma e prodotto. Bisogna fare attenzione a differenza, divisione e potenza, perché per la differenza il minuendo deve essere maggiore del sottraendo; per la divisione, il dividendo deve essere maggiore del divisore; per la potenza, se ci sono divisioni con la stessa base, il primo termine deve essere più grande del secondo, altrimenti il risultato non potrebbe appartenere all’insieme N. Es: 3+7=10 3x7=21 7-3=4 3-7=-4 33:11=3 11:33=0,33333… R&C

Potenze dei numeri naturali 2 2 2 1. 3 x 4 = (3x4) Prodotto di potenze con lo stesso esponente e base diversa 2. 32 X 33 = 35 Prodotto di potenza con la stessa base ed esponente diverso. 3. 73 X 23 = 14 3 Questo è l’unico caso in cui il prodotto ha la precedenza sulla potenza. R&C

La divisione intera La divisione intera si può svolgere quando il dividendo è maggiore del divisore e suo multiplo. Se invece non è così, quando il dividendo è minore del divisore, il quoziente è zero, se esso non è un multiplo esatto, si prende il più piccolo multiplo vicino ad esso ed il resto è detto MODULO. Potenze Nell’Insieme N, la divisione di potenze con la stessa base è data dalla base comune elevata alla differenza degli esponenti. C’è quindi un limite a questa operazione, cioè quando la differenza degli esponenti è zero. Es: 4:3=1 MOD 1 39 : 36 = 33 R&C

Potenze fra numeri negativi I numeri negativi elevati a potenza sono positivi o negativi a seconda se l’esponente sia pari o dispari.Se l’esponente è pari il risultato è positivo, se l’esponente è negativo il risultato conserva il suo segno. Es: (-3)2=+9 (-3)3=-27 R&C

Altre regole sulle potenze ed altre operazioni (* /) Quando da operazioni su potenze della stessa base il risultato dà un esponente negativo si opera anche su di esso,facendo l’inverso del risultato: (5)-3 = (1/5)3 Altro Es: (+)x(-)=(-) (+)x(+)=(+) (-)x(-)=(+) Altro Es: n:0= impossibile 00= impossibile R&C

Tabella sulle quattro operazioni + 1+0=1 - 1-0=1 X 1x1=1 1x0=0 : 1:1=1 1:0=0 ^ 10 =1 11 =1 R&C

La somma algebrica Nell’insieme dei numeri negativi le operazioni di somma e di differenza si svolgono in un unico modo detto:”Somma algebrica“. -Lo stesso segno si somma e i segni opposti si sottraggono; -Se l’operazione include una differenza il segno dei termini va cambiato prima di svolgere l’operazione. Es: (-15-20-13)+4 =-48+4=-44 R&C

Rappresentazione della somma algebrica: La somma algebrica di numeri relativi si può fare utilizzando: -Il metodo tradizionale; -L’asse cartesiano; -I vettori. Es: Vettori F=+4 -2 +4 F=-2 Asse cartesiano +4 -2 R&C

Prodotto tra numeri relativi Il prodotto di più numeri relativi è governato dalla regola dei segni: un numero pari di fattori negativi da un segno del prodotto il segno +, i numeri dispari danno come segno-. Es: (+2) (-3) (1) (-2) (-3)= -36 Proprietà: Commutativa;associativa. -(n pari)= + -(dispari)= - La stessa regola dei segni vale anche per la divisione. R&C

Potenze di numeri relativi Essendo la potenza una moltiplicazione ripetuta di fattori tutti uguali, la potenza di esponente dispari di un negativo, mentre quella pari è positiva. Es:-35= - -22= + Le operazioni connesse con la moltiplicazione e la divisione sono la scomposizione in fattori primi, MCD e mcm. 16=24 8=23 12=22 x 3 mcm= 24 x 3 MCD=22 R&C

Rappresentazione q e Q Z N Q n(nominatore) q= ± d(denominatore) Z N Q Un numero razionale si rappresenta sotto forma di frazione dotata di segno positivo o negativo; dividendo l’intero per il denominatore abbiamo 3 casi: -Risultato intero; -Cifre decimali finite; -Cifre decimali infinite (numero periodico). R&C

Generatrice di numeri decimali periodici La generatrice dei numeri decimali illimitati periodici è data da: Il numero scritto senza la virgola – Il numero composto dalle cifre che precedono il periodo Tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti Zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo. N.B.:Questa regola vale per tutti i numeri periodici tranne per quelli che hanno come periodo 9. R&C

Trasformazione numeri razionali Per trasformare un numero razionale non periodico in frazione, si divide numeratore per denominatore, il risultato ottenuto si scrive senza virgola come numeratore e il denominatore con 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. Es:7/8 = 0.875 = 875/100= ¾ = 0.75 = 75/100 6/5 = ½ = 12/10 = 6/5 = 1.2 = 12/10 9/7 = 1.2857143 = 12857143/10000000 R&C

Frazioni Equivalenti Ogni frazione ha infinite frazioni equivalenti che si ottengono moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso numero: Es:¾ = 6/8 = 12/16 = 36/48 = ¾ = … Per effettuare la somma di due frazioni vanno scelte le frazioni equivalenti a ciascuna, aventi tutte lo stesso denominatore che è il minimo comune multiplo(mcm). R&C

Frazioni 7/8 < 1 = Propria N/D < 1 25/4 > 1 = Impropria N/D > 1 (da’ resto) 3/1 = 3 > 1 = Apparente N/D > 1 (non da’ resto) (€ N) R&C

Proprietà delle frazioni La moltiplicazione fra frazioni gode delle proprietà commutativa e distributiva (il numeratore è dato dal prodotto dei numeratori e il divisore dal prodotto dei divisori). Es: ½ x ¾ = 3/8 ¾ x ½ = 3/8 Proprietà commutativa La divisione, invece, gode solo della proprietà distributiva (il secondo numero frazionario si capovolge e la divisione diventa moltiplicazione). Es: 12/5 : 4/3 = = 4/3 : 12/5 No P.Commutativa R&C

Approssimazione L’approssimazione è un metodo per bilanciare l’errore quando si troncano le cifre decimali. Ed è per eccesso e per difetto. In quanto le cifre sono ugualmente divise in due blocchi (da 0 a 4 oppure 5 a 9). Es: (16.4:8+24.6:6)-2.5=15.375=15.38=15.4 per eccesso N.B.La divisione intera usa un’approssimazione all’intero più vicino ed è sempre per difetto (sbilanciata). Es: 1.964= 1.96 per difetto; 2.0 per eccesso R&C

Espressioni in Q Quando troviamo una serie di operazioni concatenate in Q contenenti numeri razionali esistono delle regole di precedenza che se non rispettate non permettono di semplificare correttamente l’espressione. La prima regola è quella della precedenza delle parentesi: si svolgono prima le operazioni indicate nelle parentesi tonde, poi quelle nelle quadre e infine nelle graffe.All’interno delle singole parentesi hanno la precedenza prima le potenze,poi allo stesso livello moltiplicazioni e divisioni e per ultime addizioni e le sottrazioni. Il risultato finale dell’espressione ,essendo un numero razionale può essere trasformato in decimale ed approssimato a scelta. R&C

Finalmente le Espressioni!!! Avendo imparato tutte queste regole possiamo ora usare i numeri razionali in espressioni anche complesse: l’importante è scegliere bene l’ordine di svolgimento delle operazioni in esse contenute! R&C

L’incrocio delle espressioni + - * : Uffi…che traffico ^ { } [ ] L’incrocio delle espressioni Rispettare le precedenze ( ) L’incrocio delle espressioni R&C

FINE!!! R&C