Congettura di Collatz (Lothar Collatz, 1937) Introduzione alla congettura e presentazione di un metodo di dimostrazione
Enunciato: Sia e Allora:
Alcuni esempi: n=3: {ai} = {3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, …} La congettura è stata verificata a computer per tutti i numeri interi positivi n ≤ 5 × 260 ≈ 5.765×1018.
L’albero di Collatz:
Considerazioni: Si può facilmente dimostrare che se almeno un elemento dell’albero di Collatz relativo a n è uguale a 1, allora n verifica la congettura L’enunciato della congettura di Collatz è pertanto equivalente alla seguente affermazione: per ogni numero intero positivo n, almeno un elemento dell’albero di Collatz relativo a n è uguale a 1 Associando alle due operazioni della funzione di Collatz i valori 1 (se n è pari) e 0 (se n è dispari), ogni elemento dell’albero di Collatz è individuato da una stringa binaria finita; chiamiamo S l’insieme delle stringe siffatte Per ogni stringa di S che termina con 0, l’elemento dell’albero di Collatz ε individuato da essa non è uguale a 1: infatti, se lo fosse, l’elemento precedente, (ε–1)/3, sarebbe uguale a (1-1)/3 = 0, ma ciò è assurdo; chiamiamo S1 il sottoinsieme di S delle stringhe che terminano con 1
Ragioniamo un po’: Esiste una corrispondenza biunivoca tra S1 e l’insieme dei numeri interi positivi: gli elementi del primo insieme sono le rappresentazioni binarie inverse di quelli del secondo Esiste altresì una funzione suriettiva da S1 all’insieme degli elementi dell’albero di Collatz individuati: chiameremo tale funzione F Ne consegue che esista una funzione suriettiva dall’insieme dei numeri interi positivi a quello degli elementi dell’albero di Collatz individuati dalle stringhe di S1; chiameremo questa funzione G Per quanto detto finora, l’enunciato della congettura di Collatz può assumere una nuova forma:
La funzione F:
La funzione G:
A cura di Gabriele Pavanello Grazie della vostra attenzione