“La sezione aurea” A cura di Prof Marzullo Pierluigi Liceo Tecnologico “Grigoletti”

Indice Introduzione Dimostrazione della sezione aurea La sezione aurea in alcune figure geometriche La sezione aurea nella natura La sezione aurea nell’uomo La successione di Fibonacci La sezione aurea nella pittura La sezione aurea nella musica

“Introduzione” La sezione aurea In arte e matematica, è una proporzione geometrica basata su un rapporto specifico nel quale la parte maggiore sta alla minore come l’intero sta alla parte maggiore. Viene espressa più chiaramente in modo grafico come una linea intersecata in modo tale che il rapporto che lega AC e CB è lo stesso di quello tra AB e AC. Vedi figura. Questo rapporto ha il valore numerico di 0.618…. Riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole, la sezione aurea è stata utilizzata come base per la composizione di elementi pittorici o architettonici. In realtà, vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artisti tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti. Platone è generalmente considerato il padre degli studi sulla sezione aurea, la cui definizione è contenuta nel trattato sugli Elementi del matematico greco Euclide (attivo nel III secolo a.C.). La sezione aurea suscitò un profondo interesse tra gli artisti e i matematici del Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, e Leon Battista Alberti; era allora nota come “divina proporzione” e veniva considerata quasi la chiave mistica dell’armonia nelle arti e nelle scienze. De divina proportione è anche il titolo del trattato redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli e illustrato da 60 disegni di Leonardo da Vinci, pubblicato nel 1509, che ebbe notevole influsso sugli artisti e gli architetti del tempo, ma anche nelle epoche successive. [1] [1

Dimostrazione Se AB è il segmento dato, si conduca la per perpendicolare ad AB nell’estremo B e si prenda su di esso il segmento BO, metà di AB, indi col centro in O si descriva la circonferenza di raggio OB, che risulterà tangente in B alla retta AB. Si unisca A con O e si chiamino C e D le intersezioni della retta AO con la circonferenza; si porti infine su AB il segmento AE congruente ad AC. Proveremo che AE è il segmento cercato, cioè che sussiste la proporzione: AB : AE = AE : EB Infatti per il teorema della secante e della tangente (se da un punto si conducono ad una circonferenza una secante e una tangente, il segmento determinato dalla circonferenza sulla tangente è medio proporzionale fra i segmenti determinati sulla secante e aventi un estremo in quel punto) si ha: AD : AB = AB : AC Da cui scomponendo si ottiene: (AD – AB) : AB = (AB – AC) : AC Ma siccome AB è congruente a CD e AC è congruente ad AE si ha pure: AD – AB = AD – CD = AC = AE B – AC = AB – AE =EB Perciò l’ultima proporzione diventa: AE : AB = EB : AE Da cui invertendo: AB : AE = AE : EB

La sezione aurea nella natura   Troviamo la sezione aurea nelle dimensioni di molte foglie, ad esempio in quella di rosa: la larghezza della foglia è sezione aurea della lunghezza. Tornando poi alla sequenza di Fibonacci possiamo dire che due scienziati Von Ettingshausen e Prokorni, hanno trasferito questo metodo in natura e precisamente in botanica. Questi scienziati sono arrivati alla conclusione che, poiché la crescita delle piante avviene mediante la divisione delle cellule, le dimensioni fondamentali delle piante delle diverse età, negli stessi periodi dell'anno, devono per forza presentarsi come la successione di Fibonacci.In effetti, se misuriamo lo stelo di una pianta da un germoglio all'altro, troviamo i rapporti AB : BC, BC: CD, CD : DE, che rimandano al tasso di crescita della successione di Fibonacci.Inoltre possiamo osservare che le foglie crescono seguendo una spirale nella quale il rapporto tra il passo e la curvatura è pari a 1,618.

“La sezione aurea nell’uomo” Già Vitruvio indicava la regola che l'uomo, se in piedi con le gambe chiuse e le braccia distese in orizzontale, può essere inscritto in un cerchio (si veda l'immagine di Leonardo), di cui il centro cade sulle parti genitali; la lunghezza globale del corpo viene tagliata dalla vita in due segmenti di cui il più lungo è una sezione aurea. L'uomo se in piedi con gambe divaricate e braccia leggermente inclinate verso il basso, può essere contenuto entro un pentagono regolare, il cui centro coincide nuovamente con le parti genitali. Lo scultore greco Policleto (ca. 420 a.C.) affermava che nell'uomo perfetto la lunghezza complessiva del corpo viene suddivisa dai fianchi secondo la sezione aurea (canone). La distanza tra i genitali e la laringe viene tagliata dall'ombelico in un rapporto aureo, mentre quella tra la testa e l'ombelico è analogamente tagliata dalla laringe.

La successione di Fibonacci  Nel diciannovesimo secolo, Eduard Lucas (studioso francese di teoria dei numeri) chiamò con il nome di Fibonacci una successione che si presenta in un facile problema del Liber Abaci. Supponiamo che una coppia di conigli adulti sia allevata in una conigliera. Ammettiamo che i conigli comincino a prolificare all'età di due mesi, generando una coppia maschio-femmina alla fine di ogni mese. Se nessuno dei conigli muore, quanti conigli si troveranno nella conigliera in capo a un anno? Un grafo ad albero mostra ciò che avviene. Il numero di coppie all'inizio di ogni mese è successivamente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...... Ogni numero che compare in questa successione è la somma dei due numeri che lo precedono. Alla fine dei dodici mesi le coppie di conigli saranno 377. La proprietà più importante della successione di Fibonacci è costituita dal fatto che il rapporto tra due numeri consecutivi di essa è alternativamente maggiore e minore del rapporto aureo e che, al procedere della successione, la differenza va diminuendo sempre più, sicché la successione di questi rapporti ammette come limite il rapporto aureo.

La sezione aurea nella pittura Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che, guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine. In particolare Leonardo incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di Vitruvio. Nella Gioconda il rapporto aureo è stato individuato: nella disposizione del quadro nelle dimensioni del viso nell’area che va dal collo a sopra le mani in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani.   Ne L’Ultima cena, Gesù, il solo personaggio veramente divino, è dipinto con le proporzioni divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo.

La sezione aurea nella musica (Introduzione) Il suono viene captato dal nostro organo dell'udito, ossia vengono sottoposti a vibrazioni gli organi di Corti, che possiamo paragonare alle asticciole di un carillon. Siamo abituati a sud-  dividere in sette note (do,re,mi,fa,sol,la,si). I suoni sono in successione e la distanza tra un do e il do successivo viene definita ottava. Un gruppo di otto note successive si chiama "scala" e la sua ultima nota è la prima di un' eventuale ottava più alta. La scala può cominciare con qualsiasi nota, ma quella che comincia con do, per ragioni varie, è la più "naturale". Quando costruiamo la scala di do, per esempio, sentiamo che le distanze tra i diversi suoni non sono sempre uguali. Le distanze do-re, re-mi, fa-sol, sol-la, la-si sono ognuna un tono, mentre le distanze mi-fa e si-do sono un semitono. Raggruppando il numero di vibrazioni dei dodici semitoni che si susseguono ricaviamo una proporzione continua.         Il numero delle variazioni che si differenziano per otto semitoni si comporta quindi come la sezione aurea:                 T1:T9=T9:T17=1:1,618

La sezione aurea nella musica Negli organi di corti dell'apparato uditivo umano, cui compete la selezione dei suoni, si deve poter riscontrare il principio della sezione aurea; non solo, ma essa è anche punto di riferimento nella costruzione di canne di organo e altri strumenti musicali.                                 Possiamo anche ipotizzare che negli organi di Corti dell'apparato uditivo umano, che reagiscono alle tonalità pure, operi il principio dei numeri della seccessione di Fibonacci.                                                In un violino, il cui timbro dipende dalle dalle possibilità di vibrazione di tutte le parti, la sezione aurea gioca sicuramente un ruolo; in effetti se misuriamo uno Stradivari vediamo che esso è contenibile entro quattro pentagoni regolari i cui lati fungono da tangenti, determinando una linea estremamente armoniosa

Sezione aurea nelle opere Beethoven, Ludwing van , compositore tedesco (Bonn 1770 -Vienna 1827). La sua vita, trascorsa quasi per intera a Vienna, fu travagliata da infelici esperienze sentimentali e da ristrettezze economiche. A dodici anni già componeva; divenne sordo a trentadue anni, e ciò contribuì a imprimere nel suo animo una visione drammatica della vita. Compositore fecondissimo, fu con Haydn e Mozart il più grande esponente del classicismo viennese, in una delle sue opere:”33 variazioni sopra un valzer di Diabelli”, Beethoven suddivide la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci. L’impulso a comporre quest’opera venne dall’invito che nel 1821 Anton Diabelli rivolse a quasi tutti i compositori di Vienna, sollecitandoli a scrivere una variazione su un Valzer da lui stesso composto. Beethoven ha posto alla base della sue variazioni non la melodia e le successioni armoniche, quanto piuttosto la struttura formale e ritmica del tema, cosicché W. Riezler parla di variazione di struttura. E quanta esperienza personale entri in tutto ciò lo rivela la 22° variazione.

S.A. nelle altre figure geometriche Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento del segmento AE in B. Con una squadra disegnare il segmento BC perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale Ab è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea: AE:AB=EB:AE

La Sezione Aurea nelle altre figure geometriche PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.