1. Indicare la moda la moda è “31 giorni” Esercizio 1 Quanti giorni ha mediamente un mese in un anno non bisestile? Si trovino moda, mediana e media aritmetica 1. Indicare la moda giorni frequenze assolute xi ni 28 1 30 4 31 7 somma (Σ) 12 frequenza assoluta maggiore la moda è “31 giorni”

le posizioni cercate sono 6 e 7 Esercizio 1 Quanti giorni ha mediamente un mese in un anno non bisestile? Si trovino moda, mediana e media aritmetica 2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) 1. Trovare la posizione mediana: N (numero di mesi) è pari o dispari? N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1 12/2 = 6 ; 6+1 = 7 le posizioni cercate sono 6 e 7

2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) Esercizio 1 Quanti giorni ha mediamente un mese in un anno non bisestile? Si trovino moda, mediana e media aritmetica 2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) 2. Identificare la mediana giorni frequenze assolute frequenze cumulate le posizioni 6 e 7 si trovano dopo la frequenza cumulata 5 e prima della frequenza cumulata 12 xi ni Ni 28 1 1 30 4 5 31 7 12 somma (Σ) 12 la mediana è “31 giorni”

dividendo la somma dei prodotti per N si ottiene: Esercizio 1 Quanti giorni ha mediamente un mese in un anno non bisestile? Si trovino moda, mediana e media aritmetica 3. Calcolare la media aritmetica giorni frequenze assolute prodotti dividendo la somma dei prodotti per N si ottiene: 365/12 = 30.42 xi ni (xi) * (ni) x 28 1 28 + = x 30 4 120 31 x 7 217 somma (Σ) 12 365 la media aritmetica è 30.42

la distribuzione è bimodale; le due modalità più frequenti Esercizio 2 Si indaga il numero di test somministrati all’interno di una clinica privata di Milano ad un ridotto gruppo di pazienti (N=20) prima di formulare una diagnosi; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si trovino moda, mediana e media aritmetica 1. Indicare la moda frequenze assolute maggiori test somministrati frequenze assolute xi ni 2 8 3 5 6 1 somma (Σ) 20 la distribuzione è bimodale; le due modalità più frequenti sono “2 test” e “3 test”

le posizioni cercate sono 10 e 11 Esercizio 2 Si indaga il numero di test somministrati all’interno di una clinica privata di Milano ad un ridotto gruppo di pazienti (N=20) prima di formulare una diagnosi; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si trovino moda, mediana e media aritmetica 2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) 1. Trovare la posizione mediana: N è pari o dispari? N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1 20/2 = 10 ; 10+1 = 11 le posizioni cercate sono 10 e 11

2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) Esercizio 2 Si indaga il numero di test somministrati all’interno di una clinica privata di Milano ad un ridotto gruppo di pazienti (N=20) prima di formulare una diagnosi; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si trovino moda, mediana e media aritmetica 2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) 2. Identificare la mediana le posizioni 10 e 11 si trovano dopo la frequenza cumulata 8 e prima della frequenza cumulata 16 test somministrati frequenze assolute frequenze cumulate xi ni Ni 2 8 8 3 8 16 la mediana è “3 test” 5 3 19 6 1 20 somma (Σ) 20

dividendo la somma dei prodotti per N si ottiene: Esercizio 2 Si indaga il numero di test somministrati all’interno di una clinica privata di Milano ad un ridotto gruppo di pazienti (N=20) prima di formulare una diagnosi; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si trovino moda, mediana e media aritmetica 3. Calcolare la media aritmetica: test somministrati frequenze assolute prodotti xi ni (xi) * (ni) dividendo la somma dei prodotti per N si ottiene: 61/20 = 3.05 x 2 8 16 + = x 3 8 24 5 x 3 15 6 x 1 6 la media aritmetica è 3.05 somma (Σ) 20 61

Esercizio 3 Esami sostenuti Si desidera conoscere quanti esami sono stati sostenuti dagli studenti (N=70) che frequentano un determinato corso; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino la varianza e la deviazione standard Esami sostenuti xi ni 7 32 9 15 10 13 11 5 12 somma (Σ) 70

ּ Esercizio 3 VARIANZA σ² = ni 1. calcolo la media aritmetica Si desidera conoscere quanti esami sono stati sostenuti dagli studenti (N=70) che frequentano un determinato corso; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino la varianza e la deviazione standard ni ּ VARIANZA σ² = 1. calcolo la media aritmetica Esami sostenuti xi ni 7 32 9 15 10 13 11 5 12 somma (Σ) 70

ּ Esercizio 3 VARIANZA σ² = ni 1. calcolo la media aritmetica Si desidera conoscere quanti esami sono stati sostenuti dagli studenti (N=70) che frequentano un determinato corso; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino la varianza e la deviazione standard ni ּ VARIANZA σ² = 1. calcolo la media aritmetica Esami sostenuti xi ni (xi) * (ni) 7 32 224 9 15 135 10 13 130 11 5 55 12 60 somma (Σ) 70 604 604 / 70 = 8.63 la media è 8.63

ּ Esercizio 3 VARIANZA σ² = ni Si desidera conoscere quanti esami sono stati sostenuti dagli studenti (N=70) che frequentano un determinato corso; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino la varianza e la deviazione standard ni ּ VARIANZA σ² = 2. calcolo gli scarti (in valore assoluto) (media = 8.63) Esami sostenuti xi ni Xi - X 7 32 1,63 9 15 0,37 10 13 1,37 11 5 2,37 12 3,37 somma (Σ) 70

ּ Esercizio 3 VARIANZA σ² = ni 3. calcolo il quadrato degli scarti Si desidera conoscere quanti esami sono stati sostenuti dagli studenti (N=70) che frequentano un determinato corso; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino la varianza e la deviazione standard ni ּ VARIANZA σ² = 3. calcolo il quadrato degli scarti Esami sostenuti xi ni Xi - X (Xi – X)² 7 32 1,63 2,66 9 15 0,37 0,14 10 13 1,37 1,88 11 5 2,37 5,62 12 3,37 11,36 somma (Σ) 70

ּ Esercizio 3 VARIANZA σ² = ni Si desidera conoscere quanti esami sono stati sostenuti dagli studenti (N=70) che frequentano un determinato corso; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino la varianza e la deviazione standard ni ּ VARIANZA σ² = 4. calcolo il prodotto di ni per gli scarti al quadrato Esami sostenuti xi ni Xi - X (Xi – X)² (Xi – X)² * ni 7 32 1,63 2,66 85,02 9 15 0,37 0,14 2,05 10 13 1,37 1,88 24,40 11 5 2,37 5,62 28,08 12 3,37 11,36 56,78 somma (Σ) 70

ּ Esercizio 3 ni VARIANZA σ² = Si desidera conoscere quanti esami sono stati sostenuti dagli studenti (N=70) che frequentano un determinato corso; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino la varianza e la deviazione standard ni ּ VARIANZA σ² = 5. sommo il prodotto di ni per gli scarti al quadrato e divido per N Esami sostenuti xi ni Xi - X (Xi – X)² (Xi – X)² * ni 7 32 1,63 2,66 85,02 9 15 0,37 0,14 2,05 10 13 1,37 1,88 24,40 11 5 2,37 5,62 28,08 12 3,37 11,36 56,78 somma (Σ) 70 196,34 La varianza è 196.34 / 70 = 2.8

ּ Esercizio 3 DEVIAZIONE STANDARD σ = ni σ = √(σ²) = √2.8 = 1.67 Si desidera conoscere quanti esami sono stati sostenuti dagli studenti (N=70) che frequentano un determinato corso; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino la varianza e la deviazione standard ni ּ DEVIAZIONE STANDARD σ = σ = √(σ²) = √2.8 = 1.67 la deviazione standard è 1.67

Esercizio 4 Si indaga il numero di pezzi acquistati da 60 soggetti che, in un supermercato di Saronno, pagano alla corsia "Max 10 pezzi"; di seguito si riportano le frequenze assolute xi ni 2 3 5 6 13 7 21 8 9 4 10 Trovare: moda mediana media aritmetica varianza e deviazione standard

Esercizio 4 MODA, modalità/valore a cui è associata la frequenza maggiore: MODA = 7 pezzi xi ni 2 3 5 6 13 7 21 8 9 4 10

Esercizio 4 MEDIANA, modalità/valore che “divide in due la distribuzione”: Posizioni: N/2 e N/2 + 1 : 30 e 31 xi ni Ni 2 3 4 5 7 6 13 20 21 41 8 54 9 58 10 60 somma

Esercizio 4 MEDIANA, modalità/valore che “divide in due la distribuzione”: Posizioni: N/2 e N/2 + 1 : 30 e 31 xi ni Ni 2 3 4 5 7 6 13 20 21 41 8 54 9 58 10 60 somma

Esercizio 4 MEDIANA, modalità/valore che “divide in due la distribuzione”: Posizioni: N/2 e N/2 + 1 : 30 e 31 xi ni Ni 2 3 4 5 7 6 13 20 21 41 8 54 9 58 10 60 somma La MEDIANA è 7 pezzi

xi ni (xi) * (ni) Esercizio 4 MEDIA ARITMETICA 2 3 5 6 13 7 21 8 9 4 10 somma

xi ni (xi) * (ni) Esercizio 4 MEDIA ARITMETICA 2 4 3 6 5 15 13 78 7 21 147 8 104 9 36 10 20 somma

xi ni (xi) * (ni) Esercizio 4 MEDIA ARITMETICA 2 4 3 6 5 15 13 78 7 21 147 8 104 9 36 10 20 somma 410

xi ni (xi) * (ni) Esercizio 4 MEDIA ARITMETICA 2 4 3 6 5 15 13 78 7 21 147 8 104 9 36 10 20 somma 410 410 / 60 = 6,8 La MEDIA ARITMETICA è 6,8

Esercizio 4 ni ּ VARIANZA xi ni 2 3 5 6 13 7 21 8 9 4 10 somma

ּ xi ni Esercizio 4 ni VARIANZA 2 4,8 3 3,8 5 1,8 6 13 0,8 7 21 0,2 8 1,2 9 4 2,2 10 3,2 somma

ּ xi ni Esercizio 4 ni VARIANZA 2 4,8 3 3,8 5 1,8 6 13 0,8 7 21 0,2 8 1,2 9 4 2,2 10 3,2 somma

ּ xi ni Esercizio 4 ni VARIANZA 2 4,8 23,36 3 3,8 14,69 5 1,8 3,36 6 13 0,8 0,69 7 21 0,2 0,03 8 1,2 1,36 9 4 2,2 4,69 10 3,2 10,03 somma

ּ xi ni * ni Esercizio 4 ni VARIANZA 2 4,8 23,36 3 3,8 14,69 5 1,8 13 0,8 0,69 7 21 0,2 0,03 8 1,2 1,36 9 4 2,2 4,69 10 3,2 10,03 somma

ּ xi ni * ni Esercizio 4 ni VARIANZA 2 4,8 23,36 46,72 3 3,8 14,69 29,39 5 1,8 3,36 10,08 6 13 0,8 0,69 9,03 7 21 0,2 0,03 0,58 8 1,2 1,36 17,69 9 4 2,2 4,69 18,78 10 3,2 10,03 20,06 somma

ּ xi ni * ni Esercizio 4 ni VARIANZA 2 4,8 23,36 46,72 3 3,8 14,69 29,39 5 1,8 3,36 10,08 6 13 0,8 0,69 9,03 7 21 0,2 0,03 0,58 8 1,2 1,36 17,69 9 4 2,2 4,69 18,78 10 3,2 10,03 20,06 somma 152,33

ּ xi ni * ni Esercizio 4 ni VARIANZA 2 4,8 23,36 46,72 3 3,8 14,69 29,39 5 1,8 3,36 10,08 6 13 0,8 0,69 9,03 7 21 0,2 0,03 0,58 8 1,2 1,36 17,69 9 4 2,2 4,69 18,78 10 3,2 10,03 20,06 somma 152,33 152,33 / 60 = 2,5 La VARIANZA è 2,5

Esercizio 4 DEVIAZIONE STANDARD = √ VARIANZA = 1,59