Integrazione Corso: Analisi Numerica Anno Accademico: 2004-2005

INTEGRAZIONE NUMERICA Le procedure numeriche per approssimare l’integrale definito: Date da: Sono note come formule di quadratura numerica. [a,b] è un intervallo chiuso e limitato. Gli n+1 punti distinti sono i nodi e gli sono i pesi della quadratura. Il problema è determinare ed in modo che un’ ampia classe di funzioni.

Se è un polinomio interpolante la f(x) negli la formula: si dice formula di quadratura interpolatoria. I nodi e i pesi sono scelti in modo da minimizzare l’errore:

Una misura di tale errore è dato dal grado di precisione. Un modo pratico di calcolarlo è determinare una classe di funzioni per la quale la formula risulti esatta. Generalmente tale classe è quella dei polinomi per cui una formula si dice esatta di grado k se risulta esatta per . Un modo generale per costruire formule di quadratura con grado di precisione fissato è il metodo dei coefficienti indeterminati, che consiste nel determinare i nodi e i pesi imponendo che la formula sia esatta per polinomi del grado dato dalla precisione.

Se i nodi sono fissati, i pesi si trovano risolvendo il sistema lineare: Se i nodi non sono fissati, il sistema è non lineare, e ciò vedremo che darà luogo alle formule col più alto grado di precisione possibile.

FORMULE DI QUADRATURA INTERPOLATORIE

Ogni formula di quadratura interpolatoria che usi n+1 nodi ha, per costruzione, grado di precisione almeno n. Le formule più naturali sono quelle con i nodi ugualmente spaziati in [a,b]. Tali formule sono le formule di NEWTON-COTES. Sia:

FORMULA DEL TRAPEZIO

Geometricamente: errore f(b) f(x) f(a) a b

REGOLA DI SIMPSON La formula di Newton-Cotes a 3 punti è detta

Si può facilmente verificare che il grado di precisione è 3 e ciò è sfruttato per determinare l’errore. Infatti, poiché cambia segno in [a,b] non si può procedere come prima.

Si definisce invece il polinomio hermitiano con le seguenti condizioni: a cui può applicarsi il teorema del valore medio.

Da cui: L’errore dell’integrazione delle formule di Newton-Cotes ha ordine 2n+1 se i nodi sono n+1 , mentre si può fare vedere che la precisione dipende da n. In particolare se: n dispari precisione n n pari precisione n+1

Esempi: Trapezio : Simpson: Generale:

Per aumentare la precisione si hanno 2 alternative: i)Aumentare il numero di nodi in modo che sia integrale di un polinomio interpolante di alto grado: Quadrature Gaussiane ii)Si divide [a,b] in sottointervalli, in essi si usano formule di bassa precisione, si sommano i risultati: Regole di Quadratura Composte. Esaminiamo prima le quadrature composte

Regole di Quadratura Composte Suddividiamo [a,b] in n intervallini:

Per semplificare l’espressione dell’errore usiamo il lemma:

Nelle formule di Newton – Cotes il calcolo dei pesi è indipendente dalla spaziatura h ed essi possono essere quindi tabulati. Si può vedere che, per n grande, i pesi aumentano di modulo mentre il segno varia. Ciò rende instabili tali formule dal punto di vista della propagazione degli errori, inoltre un aumento del grado di precisione, ovvero dei nodi della quadratura, non implica necessariamente la convergenza della quadratura all’integrale quando la funzione non è polinomiale. Il seguente teorema mostra sotto quali condizioni l’aumento dei punti di interpolazione porti alla convergenza della quadratura all’integrale.

Teorema

Dim.:

Un vantaggio delle formule con pesi positivi è che hanno buone proprietà di arrotondamento poiché gli errori tendono a cancellarsi. Inoltre l’errore è minimizzato se i pesi sono quasi uguali. Un’idea è allora di determinare formule con pesi uguali e nodi determinati imponendo che la formula abbia grado di precisione n.

MIDPOINT RULE

Metodo Midpoint Integrazione esatta di un’approsimazione lineare di Taylor dell’integranda. Approssimazione lineare di Taylor ad f(x) in

Ricaviamo l’errore che è la metà dell’errore del metodo dei trapezi.

Formule di questo tipo hanno lo svantaggio di dover trovare le radici di polinomi di grado crescente. Vediamo ora le formule di Quadratura Gaussiana in cui i nodi che i pesi sono indeterminati.

Formule di QUADRATURA GAUßIANA Risolvendo il SISTEMA NON LINEARE:   in cui sia ai che xi siano INDETERMINATI e imponendo che la formula abbia precisione 2n+1 se n+1 sono i nodi della Quadratura, si ottiene la quadratura di tipo Gaussiano. Il sistema risultante avrà 2n+2 incognite.

imponendo che E0(f) = 0 per f(x) =1, x si ha: Per n =0 e [a,b] =[-1,1] :   imponendo che E0(f) = 0 per f(x) =1, x si ha:

che per [a,b] generico dà:   che è la regola del punto di mezzo, che quindi è di tipo Gaussiano.  Per n=1:  

Notiamo che tale formula ha grado di precisione 3 e usa 2 punti mentre la regola di Simpson per avere la stessa precisione usa 3 punti. Quindi, in generale, si deve risolvere il sistema non lineare:   nelle 2n+2 incognite a0, …, an, x0, …, xn Però, nell’ambito delle formule di Quadratura Interporlatorie si può trovare un’opportuna formula per Qn(f) con grado di precisione 2n+1, che, per n+1 nodi, è il max possibile, quando si conoscono gli n+1 nodi senza dover risolvere il sistema non lineare.

A tale scopo si ha: TEOREMA Se è una Formula di Quadratura di tipo INTERPOLATORIO, ovvero: dove pn(x) n è in un polinomio interpolante f(x) negli n+1 nodi: x0,…,xn e tali nodi sono gli zeri di un polinomio pn+1Tn+1 insieme dei polinomi ortogonali su [a,b], allora il grado di precisione della formula è 2n+1.

f(x)=pn+1 (x) q(x)+r(x) Dimostrazione Sia: Sia f(x) P2n+1 e dividiamolo per pn+1(x) dell’enunciato:   f(x)=pn+1 (x) q(x)+r(x) dove q(x) ed r(x) sono polinomi al più di grado n. Poiché gli xi sono gli zeri di pn+1(x) si ha:  f(xi)=r(xi) i=0,…,n

pertanto:   essendo la formula di tipo interpolatorio, essa ha almeno precisione n. e poiché q(x)pn+1(x): avendo imposto f P2n+1 la formula ha precisione 2n+1 Mostriamo ora che le formule Gaussiane hanno i pesi positivi.

(lk(x))2P2n e poiché: lk(xi)=ik si ha: Se: è Gaussiana, ha precisione 2n+1 e come f(x) prendiamo il quadrato dei polinomi di Lagrange: , 0kn (lk(x))2P2n e poiché: lk(xi)=ik si ha:   0kn, c.v.d.

Calcolo dei Nodi e dei Pesi ( QUADRATURA) Per calcolare i nodi di una quadratura Gaussiana si procede nel seguente modo: Si generano prima i polinomi ortogonali usando le formule di ricorrenza. Poiché gli zeri di tali polinomi sono semplici reali ed interni all’intervallo di ortogonalità si può usare il metodo di NEWTON per determinarli. Per calcolare i pesi invece si possono usare: IL metodo dei Coefficienti Indeterminati oppure Si ricavano da con dove lnj sono i polinomi di Lagrange di grado n. Se l’integrale da calcolare è del tipo:

dove (x) è una funzione peso tale che: allora la QUADRATURA cioè i nodi e i pesi dipendono da (x). In tal caso si scelgono i polinomi ortonormali in [a,b] rispetto ad (x). Se in [-1,1] con p<1, q<1 i polinomi sono quelli di JACOBI. Se invece ovvero i polinomi sono quelli di CHEBICHEV. Con tali polinomi i coefficienti sono uniformi e per n nodi sono dati da: cioè: Se i polinomi sono quelli di LEGENDRE.

Metodi di Estrapolazione Servono per prendere informazioni da poche Approssimazioni e usarle sia per stimare l’errore che per avere un’approssimazione migliore. Supponiamo che si abbia: P=2 Trapezi, Midpoint P=4 Simpson non valida per Gauss Servono per stimare p , l’errore, e migliorare l’approssimazione

Estrapolazione di Richardson Con tale procedimento è possibile ottenere da una formula di basso ordine di accuratezza una formula di accuratezza maggiore. Sia Q(h) una formula con accuratezza p ovvero: (1°) Dove è un infinitesimo di ordine superiore a p usando un passo qh si ha: (2°) Moltiplicando la (1°) per qp e sottraendo la (2°) si ottiene:

Che per tanto ha un ordine più elevato Che per tanto ha un ordine più elevato. Se la formula di partenza ammette uno sviluppo dell’errore del tipo: Si ha: Con l’errore

Stima di p Supponiamo di avere n, 2n, 4n punti e applichiamo la : Consideriamo:

Che può essere usata sia per verificare se il programma lavora correttamente, sia per stimare la rapidità di Convergenza quando l’integranda non è così regolare da poter applicare la teoria dell’errore.

Per stimare l’errore si ha: Inoltre

Integrazione di Romberg Tale metodo si ottiene applicando l’estrapolazione di Richardson al metodo dei trapezi. In tale metodo l’errore è: L’integrale è: Allora per due valori h1e h2 si ha: e poiché: si ha:

Quindi: Da cui si ricava che: Sostituendo:

Siano :

Quindi indicando con il metodo dei trapezi si ha: Trapezi e l’errore :