Quanto entra la matematica applicata nella nostra vita?

Sommario La Matematica Applicata Applicazioni (tradizionali e non) della matematica all’industria Un esempio da imitare: il MOX al Poli di Milano L’Istituto Fraunhofer ITWM di Kaiserslautern Alcuni esempi trattati a Catania simulatore strutturale di un sistema osso-protesi simulazione di colate laviche

Applicazione della Matematica al mondo reale Modello concettuale Modello matematico Matematica e Informatica Modello sperimentale Laboratorio Metodi numerici e risoluzione al calcolatore PROBLEMA Analisi e post-processing dei dati Feedback

Applicazioni classiche Tutta l’ingegneria si basa sulle applicazioni della matematica a problemi del mondo reale. Basti pensare ai circuiti elettrici, o alla costruzione di grandi strutture. Applicazione prototipo: Circuiti elettrici Descrizione di un cirtuito a parametri concentrati La struttura di un circuito è descritto da un grafo. l’evoluzione delle correnti nei componenti di un circuito è descritta da un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Nei casi più semplici e lineari, l’evoluzione del circuito può essere calcolata analiticamente.

Simulazione circuitale Circuiti non lineari di grandi dimensioni sono descritti da sistemi di equazioni differenziali-algebriche con un elevato numero di variabili (106 funzioni incognite). Occorre utilizzare metodi appropriati per la risoluzione di tali sistemi di equazioni (Metodi numerici per sistemi differenziali-algebrici, con controllo del passo). Si richiede la conoscenza delle caratteristiche dei dispositivi dei quali il circuito è composto. Simulazione di dispositivo Le caratteristiche di un dispositivo (resistore, capacitore, transistor, diodo, etc.) dipendono dalla struttura fisica del dispositivo (es. dalle dimensioni del canale e dai profili di drogaggio per un diodo). Simulazione al calcolatore a livello di dispositivo: a seconda delle dimensioni fisiche del dispositivo, si possono usare modelli matematici adeguati di crescente accuratezza nella descrizione fisica (e conseguente complessità computazionale) Simulazione densità portatori in dispositivo bidimensionale [V.Romano, DMI] drift-diffusion idrodinamico cinetico quantistico Simulazione multifisica: alcune parti del circuito sono descritti da ODE, altre da PDE (Ali, Bartel, Guenther; Micheletti) Complessità Innovazione

Altre applicazioni tradizionali Progettazione di aerei (simulazione della aerodinamica dei profili alari, simulazione dei fussi nei turboreattori) Statica e dinamica di strutture (soluzione al calcolatore delle equazioni che descrivono la dinamica di continui deformabili) Previsione meteorologiche (soluzione delle equazioni alle derivate parziali che descrivono la fisica dell’atmosfera, tenendo conto anche delle misurazioni in tempo reale) Tomografia assiale computerizzata (le immagini ricostruite al calcolatore in base ai segnali rivelati a seguito dell’assorbimento dei tessuti sono ottenute mediante un procedimento matematico, l’inversione della trasformata di Radon) Applicazioni di tecniche informatiche di gestione di grandi quantità di dati (data mining)

La ricerca di google Il motore di ricerca trova le pagine più interessanti che contengono la stringa che cerchiamo L’algoritmo alla base di tale “magia” è basato su un metodo numerico per la ricerca di autovalori ed autovettori di una matrice (verrà trattato nel corso)

Nuove applicazioni della matematica a problemi industriali Emodinamica computazionale: simualazione del flusso in arterie, e progettazione di stent, valvole cardiache, diagnostica. Modellizzazione multiscala [3D + 1D + 0D] (Quarteroni & Veneziani, MOX, Politecnico di Milano) Ottimizzazione del profilo dello scafo in barche da competizione, mediante simulazione al computer (MOX e EPFL, Losanna) Progettazione di nuove fibre tessili artificiali [nuove strutture che garantiscano migliori caratteristiche] Industria manifatturiera del vetro

Un esempio in Italia: Il MOX del Politecnico di Milano Emodinamica (Alessandro Veneziani, MOX, Politecnico di Milano) Soluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes della fluidodinamica incomprimibile per un fluido (non newtoniano). Studio della diffusione e del trasporto di soluti del sangue nei distretti vasacolari Progetto “Vene”: modellizzazione numerica della rete venosa nel sistema cardiovascolare Esempio di simulazione di anastòmosi

A livello di sistema circolatorio si effettua una simulazione multiscala. Il modello tiene conto della interazione fluido-parete e della elasticità dei vasi sanguigni. Multiscale computation (2D/1D) in a simplified model of a carotid bifurcation: Animations of Pressure and Streamlines

Un esempio in Europa: ITWM - Fraunhofer Collaborazioni passate e presenti DMI-ITWM: Transfer of Knowledge (ToK) with ST, AIVE, POKER, LIMA

La ricerca applicata all’ITWM Otto dipartimenti di ricerca Processi di trasporto Simulazione di flussi e materiali Elaborazione di immagini Analisi dei sistemi Ottimizzazione Matematica Finanziaria Metodi matematici per la dinamica Calcolo di alte prestazioni e visualizzazione

Esempi di processi di trasporto Simulazione della esplosione di un airbag: Quale è l’effetto della esplosione di un airbag su un individuo, e quali danni produce ? Raffreddamento del vetro [Schott Glas, Mainz] La dinamica del raffreddamento del vetro determina le proprietà (sforzo residuo) e quindi qualità (ottiche) del prodotto finale Simulazione produzione di tessuto “nonwoven” Dipende dalla interazione di un flusso di aria con i filamenti di tessuto

Simulazione della esplosione di un airbag La risposta può essere affidata ad una simulazione dettagliata Problema matematico: equazioni di Navier-Stokes comprimibili in un dominio non noto a priori (problema a frontiera libera) interazione fluido-struttuta Discretizzazione temporale: nota la geometria, le equazioni di NS per il gas sono risolte mediante il Finite Pointset Method (FPM), sviluppato all’ITWM, che calcola la distribuzione di pressioni sulla membrana. Un codice agli elementi finiti calcola la nuova configurazione della membrana a seguito della distribuzione di pressione. La nuova configurazione è usata come input per FPM per il successivo passo temporale ...

Modello per il trasporto radiativo nello studio del raffreddamento del vetro. Pacchetti commerciali: conduzione del calore + legge di Stephan sulla superficie Trasporto radiativo: la funzione incognita è il flusso di radiazione. Dipende da 7 coordinate, e soddisfa una complessa equazione integrodifferenziale. All’ITMW è stato sviluppato un modello perturbativo: si assume che lo spessore di penetrazione della radiazione sia “piccolo”: più accurato del modello commerciale meno costoso del “full radiative heat transfer” Possibile applicazione al raffreddamento della lava (un vetro sporco)

Progettazione di nuove fibre Moto di un sistema di fibre sotto l’azione di un flusso d’aria variabile Interazione fluido-struttura Flusso d’aria Fibre Il moto delle fibre viene calcolato risolvendo le equazioni della dinamica per ciascuna fibra. Il moto del fluido si suppone non influenzato dal moto delle fibre. L’interazione fra le fibre viene presa in considerazione Dallo studio della interazione con il nastro trasportatore si può simulare la struttura (e quindi le proprietà) delle fibre

Alcune applicazioni studiate a Catania Simulazione di crestita epitassiale di cristalli Simulazione di colate laviche Flussi rarefatti in Micro Electro Mechanical Systems (MEMS) Progettazione di protesi del ginocchio

Esempio di simulazione di un modello di crescita di Ge su Si, con effetti elastici Aspetto innovativo: tecnica di caldolo efficiente degli effetti elastici mediante uso di un approccio Multigrid-Fourier

MEMS – Micro Electro Mechanical Systems Nuova tecnologia che sta rimpiazzando sistemi meccanici tradizionali all’interno di circuiti Utilizzata per la costruzione di piccole parti in movimento come capacitori regolabili, misuratori di accelerazioni, micropompe, all’interno di circuiti di silicio I flussi di gas all’interno dei MEMS sono rarefatti anche a condizioni ambientali standard descrizione cinetica Progetto MONUMENT Modellizzazione Numerica MEms e NanoTecnologia Galileo collaborazione Italia-Francia Univ. di Catania (G.R.) – univ. di Lione (F.Filbet) Aderisce il gruppo del prof. Frezzotti, MOX

Progetto LAVA Convenzione INGV- Dip.Protezione Civile Realization of lava flow invasion hazard map at mt Etna and methods for its dynamic update Resp: Ciro Del Negro, INGV, Stefano Gresta, UniCT Stefano Ciolli, DPC 10 Research Units RU 8 (G.R.) simulazione numerica di flussi lavici Modelli matematici per il raffreddamento della lava Metodi lagrangiani per simulazione di colate (tipo FPM) Metodi euleriani (griglia fissa) per problemi a frontiera mobile utilizzando tecniche level set Lava descritta come fluido di Bingham (occorre pendenza minima) Soluzione numeriche delle eq. di NS Formazione della crosta ed ingrottamento

Il progetto LIMA: Un prototipo di ricerca applicata internazionale ed interdisciplinare Partecipanti Università di Catania DMI DIIM Consorzio Catania Ricerche Ospedale Vittorio Emanuele, Catania Limagroup, San Daniele, Italia ITWM, Kaiserslautern, Germania

Obiettivo principale: produrre software prototipo (KneeMech) che assista il chirurgo nell’impiantazione della protesi al ginocchio Data la forma della protesi, ed il taglio all’osso, il programma dovrebbe: Calcolare la distribuzione di sforzi e deformazioni nell’osso, sottoposto ad un carico tipico Visualizzare i risultati mediante un grafico a colori bidimensionale di una sezione arbitraria Effettuare analisi di sensitività: produrre l’intervallo di sforzi e deformazioni, noto che sia l’incertezza sui dati

Modellizzazione matematica dell’osso L’osso è modellizzato come un materiale viscoelastico tridimensionale, composto da una regione corticale (rigida) e da una regione spongiosa (soffice) Ricostruzione geometrica da immagini TAC, fornite dall’Ospedale Vittorio Emanuele Tipica immagine TAC del femore sinistra: in mezzo, destra: zona vicino al ginocchio 3D segmentazione: la sequenza di informazioni 2D è convertita in dati 3D in termini di “voxel” (l’equivalente 3D dei “pixels”)

Modellizzazione del ginocchio DMI – Image processing group (S.Battiato, G.Impoco) Estrazione dei modelli 3D dalle immagini TAC CT Scan of the bone Binarisation 3D Model Il modello 3D restituisce anche, mediante interpolazione, i parametri meccanici dell’osso forniti dalle misure ottenute da DIIM in alcuni punti

Misurazioni meccaniche DIIM – gruppo dei Proff. Risitano e La Rosa Le proprietà meccaniche della protesi sono state misurate mediante prove di sollecitazione a (micro) fatica usando il metodo Risitano (effetto termico indotto dalla microplasticità) Un tale metodo è molto meno invasivo degli standard test a fatica Setup sperimentale e mappa termica per la protesi

Proprietà meccaniche dell’osso Le proprietà meccaniche dell’osso sono state misurate da piccoli campioni cilindrici di osso, nelle regioni corticale e spongiosa. Allo scopo è stata utilizzata una macchina per microcompressione appositamente costruita. Un modello matematico viscoelastico a cinque parametri è stato utilizzato. I parametri che identificano le proprietà viscoelastiche del materiale sono state ottenute mediante least square best-fit della curva di risposta temporale durante prove di rilassamento. Una TAC dell’osso viene quindi effettuata dopo che il campione è stato estratto, per ottenere una mappatura geometrica delle proprietà meccaniche dell’osso.

Finite element calculation and 3D visualization ITWM – Heiko Andrä, Julia Orlik and Aivars Zemitis FE multi-scale contact analysis based software which takes into account Contact between bone and tibial plate CT data Mechanical properties of the bone Static and dynamic load conditions

3D representation of the bone and prosthesis positioning Voxel representation of the tibial bone 3D navigation and cross section cut Placement of the prosthesis Rotation, translation and final positioning

Mathematical model and numerical simulation 3D partial differential equations for stress and strain in the bone and in the prosthesis The equations are discretized on a tetrahedral grid, obtaining a large, sparse algebraic linear system for the displacement array The system is solved by a suitable iterative solver

The grid is first generated by subdividing each voxel Grid genertion The grid is first generated by subdividing each voxel Then it is hierarchical coarsened in the two regions of the bone (cortical and spongiosa) in order to reduce the number of unknowns (and therefore the computaiton time) Example of grid coarsening

Visualization of the results From the displacement, all desired quantities can be computed by postprocessing Von Mises stress (typical parameter in breaking test) in the prosthesis (left) and bone (right)

Analisi di sensitività DMI – G.R., G.Bilotta Incertezza sulle proprietà meccaniche (es. sul modulo di elasticità) dell’osso. Obiettivo dell’analisi: fornire un intervallo di risultati, data una incertezza sulle proprietà meccaniche. I metodi noti in letteratura sono stati analizzati [Aritmetica degli intervalli ed aritmetica affine] Analisi strutturale con aritmetica affine: per piccole incertezze il problema è ridotto a n + 1 simulazioni FEM classiche. dove n è il numero di parametri incerti. Risultati: intervalli di variazione di sforzo e spostamento. Prototipo KneeMech: 2 parametri incerti: moduli di elasticità nelle due regioni corticale e spongiosa. Visualizzazione grafica dei valori estremi di sforzo e spostamento.