A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica I tre principi della dinamica In un sistema di riferimento inerziale. Primo Principio Un sistema permane nel suo stato di moto rettilineo uniforme se esso è isolato (su di esso non agisce alcuna forza), ovvero è soggetto a una risultante di forze nulle. Secondo Principio Un corpo di massa m, su cui agisce una risultante di forze F, è soggetto a una accelerazione proporzionale a F: F = m a Terzo Principio (principio di azione e reazione) Quando due sistemi A e B interagiscono, il sistema A esercita sul sistema B una forza FB e il sistema B agisce sul sistema A con una forza FA che sono uguali in modulo, agiscono sulla stessa retta e hanno verso opposto: FB = - FA A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica I tre principi della dinamica In un sistema di riferimento inerziale. Primo Principio - sistema di riferimento inerziale - stato di moto (velocità) per modificare lo stato di moto  interazioni Secondo Principio F = m a (F: risultante delle forze) Nota la risultante delle forze  nota l’accelerazione (è definito il modello fisico) Date le condizioni iniziali  legge oraria ; traiettoria (è definito lo specifico processo) F= ma sufficiente per la fisica del punto materiale. Terzo Principio (principio di azione e reazione) - Indica come si costruisce il modello di una interazione Reciprocità delle forze; azione e reazione agiscono su corpi diversi;FB= -FA Principio di conservazione quantità di moto per sistemi isolati Principio di conservazione del momento della quantità di moto per sistemi isolati, ovvero per forze centrali. A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Equilibrio Statica – Moto rettilineo uniforme Rx = 0 Ry = 0 Rz = 0 R = 0 Dinamica Rx = m ax Ry = m ay Rz = m az ax = Rx / m ay = Ry / m az = Rz / m R = m a Note le condizioni iniziali (posizione iniziale e velocità iniziale), si può determinare l’evoluzione del sistema nel tempo (r = r (t); v = v (t)) A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Sistema di n punti materiali R = i Fi = i mi ai Fi = mi ai Prima equazione cardinale della dinamica. Q  i mi vi  M vG R = Fext= ------- = ----------- R = Fext= ------------ t t t Centro di massa: OG = --------- i mi ri i mi vG = ---------- i mi vi i mi rG= A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Sistema di n punti materiali soggetto a forze esterne con vettore risultante nullo. Sistema isolato Q  i mi vi  M vG R =0 ------- = ----------- = ----------- = 0 t t t Sistema soggetto a un vettore risultante di forze nullo vG = cost Conservazione della quantità di moto Qiniziale = Qfinale Q = costante Principio di conservazione della quantità di moto: In un sistema isolato o soggetto a un sistema di forze con vettore risultante nullo, La quantità di moto del sistema si conserva: Q =  i mi vi= cost A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Il momento di un sistema di forze rispetto a un punto M z Pn Fi M = i ri Λ Fi F2 rn Pi Fn ri Dal terzo principio della dinamica P2 F1 y O O P1 r1 M = Mext = i ri Λ Fexti x A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Il momento di un sistema di forze rispetto a asse Pn Fi bn F2 rn bi Pi Fn ri b2 n P2 F1 r1 O b1 P1 Mn =(M·n) n = [(i ri Λ Fi)·n]n = ( i bi Fi)n A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Momento angolare o della quantità di moto L =  (ri Λ (mi vi) M = i ri Λ Fi Risultante dei momenti  L Seconda equazione cardinale della dinamica M =Mext = -------  t A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Seconda equazione cardinale della dinamica  L Mext = ----  t Nei corpi rigidi in rotazione intorno ad un asse L = I  Mext =I -------    t : velocità angolare (in generale non costante) momento di inerzia I = i mi ri2 con ri distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Principio di conservazione del momento angolare o momento della quantità di moto sistema isolato forze centrali forze uniformi si ha: Mext = 0 Dalla seconda equazione cardinale della dinamica  L d L Mext = ---- Mext = ----  t d t Se Mext = 0 Liniziale = L finale L = cost Conservazione di L Da III legge dinamica A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Allungamento delle molle all’equilibrio? Molla 1 Molla di costante elastica k Allungamento x1 T1 Condizione di equilibrio della puleggia R = 0 T1 + T2 + T3=0 Il sistema T2 T3 Puleggia di massa m1 trascurabile Moduli delle forze T1 = kx1 T2 = kx2 T3=mg Funi inestensibili T1 : tensione esercitata dalla fune che sorregge la puleggia, di modulo uguale a quello della forza esercitata dalla molla 1. Molla di costante elastica k Allungamento x2 T2 : tensione esercitata dalla parte sinistra della fune che scorre nella puleggia, di modulo uguale a quello della forza esercitata dalla molla 2. T3 : tensione esercitata dalla parte destra della fune che scorre nella puleggia, di modulo uguale a quello della forza peso mg. Molla 2 A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica z y Condizione di equilibrio della puleggia R = 0 T1 + T2 + T3=0 Molla di costante elastica k Allungamento x1 T1 Il sistema T2 T3 x Puleggia di massa m1 trascurabile Componenti x delle forze T1x = -kx1 T2x = kx2 T3x=mg Funi inestensibili Rx =0 kx1 =mg + kx2 Condizione di equilibrio della massa m: Molla di costante elastica k Allungamento x2 T3=T2  kx2 = mg x2 = (mg/k) x1 = 2x2 = 2(mg/k) A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica z La macchina di Atwood y T3 Prima equazione cardinale applicata alla puleggia A T1x +T2x +T3x = m ax 0 = m ay T1 T2 R = m a x 0 = m az m2 Se il pignone A intorno a cui ruota la puleggia sta fermo: Rx=0 gm1 +gm2 –T3 =0 m1 T3 = gm1 +gm2 Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile Puleggia di massa M e raggio R Momento di inerzia: I = M R2/2 Imporre il vettore risultante R=0 non è sufficiente per determinare la dinamica del sistema. A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica z La macchina di Atwood y T3 Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia A T3 = gm1 +gm2 T1 T2 x Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia m2 M = d L / dt m1 M = T2 r k – T1 r k Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile Puleggia di massa M e raggio R Momento di inerzia: I = M R2/2 L = I  k + (r m2 v2 - r m1 v1 ) k= = I  k + ( m2 r2  - m1 r2  ) k= = (I + m2 r2 - m1 r2 ) k k : versore asse z  piano x,y su cui giacciono i vettori T1, T2 e r. A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica z La macchina di Atwood y T3 Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia A T3 = gm1 +gm2 T1 T2 x Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia m2 M = d L / dt m1 M = T2 r k – T1 r k Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile Puleggia di massa M e raggio R Momento di inerzia: I = M R2/2 L = I  k + (r m2 v2 - r m1 v1 ) k= = I  k + ( m2 r2  - m1 r2  ) k= = (I + m2 r2 - m1 r2 ) k k : versore asse z  piano x,y su cui giacciono i vettori T1, T2 e r. A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica z La macchina di Atwood y T3 Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia A T3 = gm1 +gm2 T1 T2 x Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia m2 M = d L / dt m1 T2 r k – T1 r k = (I + m2 r2 - m1 r2 ) (d/dt) k Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile Puleggia di massa M e raggio R Momento di inerzia: I = M R2/2 d/dt = (T2 – T1)r / (I + m2 r2 - m1 r2 ) La puleggia si muove con accelerazione angolare costante A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Teorema dell’energia cinetica Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ L = K (i Fi· Ri) Somma su K = A, B,…..Z Somma dei contributi relativi a ciascuna massa Somma su i =1…n, sugli spostamenti Ri cui è soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro della risultante delle forze agenti sulla massa K-esima). L = K (1/2 mK VKf2 - 1/2 mK VKo2) L = K (1/2 mK VKf2) - K (1/2 mK VKo2) Ec = K (1/2 mK VK2) L = Ecf – Ec0= Ec A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Energia cinetica di un sistema z MB MK G Ec = K (1/2 mK VK2) MA MZ VK2 = vG2 + vK2 +2 (vK · vG) y x Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK2) L’energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell’energia cinetica del centro di massa + l’energia cinetica rispetto al centro di massa. A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Energia cinetica di un corpo rigido. Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ, per i quali non cambia la distanza tra di essi. Ec = 1/2 (K mK rK2)2 r v Ec = 1/2 I 2 Momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione I = K mK rK2 Tutti i punti del sistema si muovono con la stessa velocità angolare  Hanno velocità lineari diverse date da v = r.. È una grandezza che caratterizza come è distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse. A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Teorema di Huygens- Steiner AG A1 Corpo rigido di massa M Momento di inerzia IG rispetto all’asse AG passante per il baricentro del sistema. d IA1 = IG + M d2 A.Stefanel - Riepilogo meccanica

(es un cilindro che rotola su un piano inclinato). Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso (es un cilindro che rotola su un piano inclinato). Ec = ½ M vG2 + ½ I 2 vG: velocità del centro di massa M : massa del sistema I : momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro) : velocità angolare di rotazione intorno all’asse (in generale non è costante) A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Energia potenziale Forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punti iniziale e finale dello spostamento. L = - (Uf – Ui) Il lavoro si può esprimere come meno la differenza tra l’energia potenziale del sistema nella posizione finale e l’energia potenziale nella posizione iniziale. Forze conservative (forza peso e forza gravitazionale in generale, forza elastica…) Ui = mghi Uf = mghf En. Pot. gravitazionale Ui = 1/2 k xi2 Ui = 1/2 k xf2 En. Pot. elastica Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Principio di conservazione dell’energia meccanica Dal teorema dell’energia cinetica : L = Ecf – Eci Nel caso in cui si abbiano forze conservative: L = - (Uf – Ui) - (Uf – Ui) = Ecf – Eci Eci + Ui = Ecf + Uf E = Ec + U = costante Punto materiale: E = U + ½ M v2 Corpo rigido in rotazione intorno a un asse passante per G che trasla: E = U + ½ M vG2 + ½ I 2 A.Stefanel - Riepilogo meccanica

A.Stefanel - Riepilogo meccanica Principio di conservazione dell’energia meccanica Nel caso in cui su un sistema agiscano solo forze conservative: Eci + Ui = Ecf + Uf E = Ec + U = costante N.B. Non vale nel caso in cui al lavoro della risultante di forze contribuiscano forze d’attrito. A.Stefanel - Riepilogo meccanica