Fisica 2 18° lezione

Programma della lezione Soluzioni dell’equazione delle onde Soluzioni progressive e regressive Onde sinusoidali Lunghezza d’onda e periodo dell’onda Polarizzazione Trasporto di energia di un’onda Vettore di Poynting Intensità di energia di un’onda sinusoidale

Soluzioni dell’equazione delle onde Per semplicità ci limiteremo a studiare l’equazione per f dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t: Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane Si può dimostrare che una qualunque funzione di argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione Inoltre l’equazione è lineare, quindi date due soluzioni qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di esse è soluzione

Significato della soluzione g Consideriamo il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t1 Consideriamo poi il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t2 x1 g x g(x1,t1) t=t1

Significato della soluzione g Scriviamo l’argomento in x=x1 al tempo t=t2 È lo stesso valore che in x=x1-Dx al tempo t=t1 Questo vale per tutti i punti sull’asse x x1 x1-Dx g x g(x1,t2) t=t2

Significato della soluzione g Significa che la funzione al tempo t2 si trova traslando la funzione all’istante precedente t1 della quantità Dx La funzione g rappresenta quindi un’onda progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con velocità v x1 x1-Dx g x g(x1,t2) t=t2

Significato della soluzione h Similmente possiamo affermare che la funzione h rappresenta un’onda regressiva, cioè che si sposta verso x negativi, con velocità -v

Onde piane e.m. - componenti longitudinali Studiamo la componente x del rot E Essa e` nulla, in quanto per un’onda piana c’e` dipendenza dalla sola coordinata spaziale x Otteniamo l’equazione Similmente, studiando la componente x del rot B otteniamo Quindi le componenti x dei campi sono costanti nel tempo

Onde piane e.m. - componenti longitudinali Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell Poiche’ le componenti dipendono solo dalla coordinata spaziale x, otteniamo Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere costanti nel tempo, sono costanti rispetto a x Si possono scegliere queste costanti uguali a zero Cio` significa che le componenti dei campi nella direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero l’onda e` trasversale

Soluzioni sinusoidali Studiamo una soluzione particolarmente semplice, scegliendo per g la forma seno Cerchiamo il significato di k: dimensioni Fissato un valore per t, scegliamo due punti x1 e x2 tali per cui la funzione assume lo stesso valore x1 x2

Lunghezza d’onda Gli argomenti possono differire per un multiplo di 2p Questo definisce la relazione tra x1 e x2 La minima distanza tra x1 e x2 che soddisfa la richiesta si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza d’onda La costante k prende il nome di numero d’onde x1 x2 l

Periodo dell’onda Fissato un valore di x scegliamo due tempi t1 e t2 tali che la funzione assuma lo stesso valore Gli argomenti possono differire per un multiplo di 2p Questo definisce la relazione tra t1 e t2 Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo dell’onda t1 t2 T

Soluzioni sinusoidali Abbiamo l’importante relazione tra i parametri dell’onda Possiamo scrivere l’onda sinusoidale in uno qualunque dei modi seguenti

Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali Partendo dall’equazione per Ey e scelta una soluzione sinusoidale Troviamo la soluzione per Bz integrando rispetto al tempo l’equazione Ottenendo Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase Esiste una relazione analoga tra Ez e By

Polarizzazione Le onde e.m. piane sono puramente trasversali I gradi di libertà trasversali sono due Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà corrispondono alle componenti Ey, Ez Potremmo fare le stesse considerazioni con il campo B Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché ad ogni componente di E è associata una componente di B

Polarizzazione Supponiamo che il campo E sia Quindi il campo B risulta essere Nel piano trasversale il vettore E oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -Ey0 a Ey0 e lungo z da -Ez0 a Ez0 Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente y z E B

Polarizzazione Supponiamo che il campo E sia Quindi il campo B risulta essere Nel piano trasversale il vettore E descrive un cerchio di raggio E0 Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di T/4, è detta polarizzata circolarmente y z E B

Trasporto di energia A cDt L’energia e.m. che attraversa A nel tempo Dt è uguale all’energia contenuta nel volume di base A e altezza cDt Questa si trova moltiplicando la densità di energia per il volume del cilindro C’è un contributo elettrico ed uno magnetico

Trasporto di energia Parte elettrica Parte magnetica L’intensità (istantanea) dell’energia incidente è definita come l’energia incidente diviso l’area e il tempo A cDt

Vettore di Poynting Tenendo conto che L’intensità si può riscrivere in qualunque delle forme Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per modulo e direzione e verso dell’onda S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il flusso istantaneo di energia e.m.

Intensità media Molto spesso interessa l’intensità media, cioè la media nel tempo di S Calcolo di I