Fisica 1 Gravitazione

Programma della lezione Richiami matematici sulle coniche Leggi di Keplero Legge di gravitazione di Newton Soluzione del problema dei due corpi Scelta del sistema di riferimento Momento della quantita` di moto Energia Dimostrazione delle leggi di Keplero Considerazioni sull’energia

Richiami di matematica: le coniche In coordinate polari, scelto uno dei fuochi come origine, l’equazione di una conica è ove r è la distanza tra un punto della conica e il fuoco e  è l’angolo compreso tra l’asse della conica e il vettore r e è detta eccentricità della conica Si può mostrare che la formula scritta rappresenta sempre una conica, il cui tipo dipende dal valore dell’eccentricità: e<1 ellisse, e=1 parabola, e>1 iperbole r 

Richiami di matematica: l’ellisse L’ellisse è caratterizzata dal fatto che la somma delle distanze di un punto dai fuochi è costante Detto E il centro dell’ellisse, EB=a è il semiasse maggiore ed ED=b il semiasse minore La distanza dei fuochi dal centro è EF2=EF1=ea Il semiasse minore si può esprimere in funzione del semiasse maggiore e dell’eccentricità: P F1 F2 D C B A E L’area dell’ellisse è Quanto vale la costante? Dimostrare la relazione tra b e a, e

Gravitazione universale Agisce tra due corpi qualunque dotati di massa Supponiamo inizialmente che le masse abbiano dimensione trascurabile rispetto alla distanza reciproca (caso ideale di masse “puntiformi”) È descritta dalla legge di Newton Ove F21 è la forza agente sulla massa 2, dovuta alla massa 1, m1 e m2 sono le masse dei corpi, r la loro distanza, r12 il versore orientato da 1 a 2 La combinazione -r12 il indica che la forza è attrattiva

Gravitazione universale G è una costante fisica universale di dimensioni (nel sistema MKS) E di valore

Energia potenziale gravitazionale Dalla legge di forza possiamo calcolare l’energia potenziale: r dl F

Leggi di Keplero Newton arrivò alla sua legge studiando l’opera di Keplero, il quale aveva enunciato tre leggi valide per il moto dei pianeti del sistema solare Prima legge: l’orbita percorsa da un pianeta giace su di un piano e ha forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

Leggi di Keplero Useremo un sistema di coordinate polari per descrivere l’orbita del pianeta Il raggio vettore r, con origine nel sole e vertice nel pianeta, è definito dal modulo r e dall’angolo  (detto anomalia o azimut) Il punto A in cui il pianeta è più lontano dal sole è detto afelio; il punto B in cui il pianeta è più vicino al sole è detto perielio Entrambi son detti apsidi r  A B

Leggi di Keplero La prima legge si può esprimere matematicamente Ove p ed e sono due parametri orbitali: e è l’eccentricità dell’orbita (sempre <1 per un’ellisse) Esercizio: esprimere p in funzione degli altri parametri orbitali analizzando, p.e., il perielio (r=a-ae, =0)

Leggi di Keplero Seconda legge: l’area “spazzata” dal raggio vettore è proporzionale al tempo impiegato per spazzarla: A=kt, in termini infinitesimi: dA=kdt Ovvero: la velocità areale è costante Storicamente fu scoperta per prima A B Possiamo esprimere la costante k mediante l’area e il periodo

Leggi di Keplero Terza legge: il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al sole è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’orbita La costante di proporzionalità è uguale per tutti i pianeti Una legge analoga vale per il sistema di Giove e i suoi satelliti La costante è uguale per tutti i satelliti (ma è diversa da quella del sistema Sole-pianeti, come vedremo)

Il problema dei due corpi Consideriamo un sistema isolato costituito da due masse puntiformi interagenti con forza newtoniana Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui descrivere il sistema dei due corpi Siano r1 e r2 i vettori posizione (in S) delle due masse La forza mutua dipende solo dal vettore r tra le due masse: r = r2 - r1 r1 r2 r

Il problema dei due corpi Introduciamo anche il vettore R, posizione del centro di massa: r1 r2 r R Le trasformazioni inverse permettono di esprimere r1 e r2 in funzione di R e r

Il problema dei due corpi Poiché il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme Possiamo sfruttare questo risultato per scegliere un sistema di riferimento inerziale più conveniente S’: uno con l’origine O’ coincidente con il centro di massa dei due corpi (i due punti coincidono e traslano assieme) D’ora in poi, anche se con abuso di notazione, continueremo ad usare gli stessi simboli nel nuovo sistema S’ (però ora R=0)

Il problema dei due corpi Risolvere il problema significa trovare la dipendenza di r dal tempo. Una volta noto r, le coordinate delle masse si ottengono (ora R=0) semplicemente da Un fatto importante è che nel sistema S’, le velocità v1 e v2 sono parallele Ciò significa che i vettori v1, v2 e r sono complanari

Forze centrali La forza gravitazionale rientra in un tipo più generale di forze, dette centrali Queste forze hanno l’importante proprietà di essere dirette lungo la congiungente dei corpi in interazione, cioè lungo r e dipendere solo da r

Il momento delle forze Calcoliamo il momento delle forze interne, sfruttando il fatto che la forza è centrale: L’annullarsi del momento delle forze, implica che il momento della quantità di moto sia costante

Il momento della qdm Abbiamo mostrato che v1, v2 e r sono complanari Ne segue che i vettori mqm dei due corpi sono paralleli Calcoliamo ora il mqm totale Il fatto che l1, l2 (e quindi L) siano paralleli, assieme al fatto che L si conservi, significa che il moto dei due corpi avviene su di un piano (perpendicolare a L e contenente v1, v2, r) Il problema è quindi ridotto a due dimensioni. Scegliamo il sistema S’ su questo piano: un sistema di riferimento polare di coordinate r e 

Il momento della qdm Il vettore r potrà ruotare attorno al punto O’ (e anche cambiare lunghezza ) Ciò significa che la velocità angolare delle due masse è uguale d2 O’ d1

Il momento della qdm Tenendo conto del parallelismo dei due mqm e detta v la componente azimutale della velocità, il modulo L è r v v a vr q

Il momento della qdm Ovvero Esprimendo r1 e r2 in funzione di r, (R=0), otteniamo

Il momento della qdm Ove  è una costante con le dimensioni di una massa, detta massa ridotta Il risultato ottenuto si può interpretare dicendo che il sistema dei due corpi è equivalente ad un solo corpo di massa  a distanza r da un centro fisso di forza Risultato utile per esprimere la velocità angolare in funzione della distanza r (e delle costanti  , L)

2a legge di Keplero Siamo ora in grado di dimostrare questa legge nell’ambito della teoria di Newton Esprimiamo l’area del triangolo infinitesimo SP1P2 in coordinate polari P1 S P2

2a legge di Keplero Dividendo per il tempo otteniamo la velocità areale Per quanto detto sul momento della qdm abbiamo Da notare che abbiamo usato soltanto il fatto che la FG è di tipo centrale: il risultato è quindi valido per qualunque forza centrale CDD

Energia Finora abbiamo usato la legge di conservazione della qdm Usiamo ora una seconda legge di conservazione, quella dell’energia Ove T è l’energia cinetica delle due masse e V (già calcolata) è l’energia potenziale gravitazionale dovuta all’attrazione mutua

Energia cinetica Calcoliamo l’energia cinetica

Energia cinetica Di nuovo possiamo interpretare dicendo che per quanto riguarda T, il sistema dei due corpi equivale ad un corpo solo di massa ridotta  Esprimendo la velocità in termini delle componenti radiale e azimutale: r v v vr q

Energia Tornando all’energia Esprimendo la velocità angolare in funzione di L e r e inserendo l’espressione di V, otteniamo infine

Integrazione dell’equazione L’equazione (differenziale) precedente è una relazione tra la coordinata r (incognita), la sua derivata (incognita) e due costanti del moto E e L (supposte note) Possiamo esplicitare rispetto alla derivata

Integrazione dell’equazione Risolvere questa equazione ci darebbe la distanza r (e quindi ) in funzione del tempo È più interessante però determinare r in funzione dell’angolo , in questo modo otteniamo l’equazione dell’orbita A tal fine riscriviamo la velocità radiale

Integrazione dell’equazione Otteniamo infine Quest’equazione si può risolvere per quadrature:

Integrazione dell’equazione L’integrando si può riportare ad una forma standard con la sostituzione u=1/r L’integrale è della forma

Integrazione dell’equazione E quindi E tornando alla variabile r:

1a legge di Keplero L’espressione precedente è della forma Ove l’eccentricità è E si è scelto ’=0 in corrispondenza del perielio CDD

1a legge di Keplero Nel caso in cui il sole sia identificato col corpo 1 e un pianeta col corpo 2, abbiamo Il sole è praticamente fermo Il corpo di massa ridotta e il pianeta si possono identificare

Energia Torniamo all’espressione dell’energia Il primo termine del membro di destra è l’energia cinetica radiale, il secondo termine è l’energia cinetica azimutale, il terzo termine è l’energia potenziale Formalmente possiamo considerare invece il secondo termine come energia potenziale, aggiuntiva a quella gravitazionale, di una particella fittizia di cui il primo termine rappresenta tutta l’energia cinetica Questo modo di vedere ha il vantaggio di ridurre il numero di dimensioni del problema da due a una

Energia Nella figura abbiamo tracciato le due energie potenziali con linee tratteggiate e la loro somma Vtot con linea continua L’energia totale E è una costante (retta tratteggiata) La differenza tra E e Vtot è l’energia cinetica (freccia) r

Energia Per E>0, r assume un valore minimo ma può assumere valori arbitrariamente grandi: l’orbita è aperta E>0 T r L’eccentricità è >1, come dev’essere per un’iperbole

Energia Per E<0, r è compreso tra un valore minimo e uno massimo: l’orbita è limitata (e chiusa) r E<0 T L’eccentricità è <1, come dev’essere per un’ellisse

3a legge di Keplero Ricordando la relazione tra b, a ed e: Come abbiamo visto, la 2a legge di Keplero stabilisce che Integrando questa relazione su di un periodo di rivoluzione, abbiamo Ricordando la relazione tra b, a ed e:

3a legge di Keplero Dalla 1a legge di Keplero, applicata al perigeo, avevamo trovato Ove ora Che ci permette di esprimere e in funzione di , L, k, a:

3a legge di Keplero CDD Ed infine La teoria di Newton “verifica e smentisce” allo stesso tempo la 3a legge di Keplero La smentisce in quanto la costante che compare nella legge è diversa da pianeta a pianeta La conferma in quanto tale costante è con buona approssimazione uguale per tutti i pianeti CDD

Masse estese Newton fece qualcosa di più: dimostrò che la legge di forza ha la stessa espressione anche per masse estese con simmetria sferica Lo dimostreremo in elettrostatica quando studieremo la legge di Gauss

Il problema degli n corpi Se si hanno tre o più corpi, qualunque sia la forza d’interazione, il problema non ammette, in generale, una soluzione analitica Teoria delle perturbazioni Problema della stabilità del sistema solare