Meccanica 12 11 aprile 2011 Urti Conservazione della quantita` di moto e teorema dell’impulso Energia cinetica Urti elastici e anelastici Urto con corpi vincolati

Urto È un’interazione tra due (o più) corpi che avviene in un intervallo di tempo “piccolo” Abbastanza piccolo affinché l’azione di eventuali forze esterne al sistema dei due corpi sia trascurabile rispetto all’azione delle forze interne Durante l’urto si sviluppano forze interne di durata Dt molto breve ma che possono assumere intensità molto elevate Queste sono dette forze impulsive

Tipologia Urti in una, due, tre dimensioni Urti fra punti materiali Urti fra punti materiali e corpi estesi Urti fra corpi estesi

Definizioni Distinguiamo due stati: quello iniziale prima dell’urto e quello finale dopo l’urto Ci interessa correlare i valori che le grandezze assumono negli stati iniziale e finale Non ci occuperemo invece di quel che accade durante l’urto

Definizioni Diciamo m1 e m2 le masse dei due corpi Diciamo v1i , v2i le velocità dei due corpi nello stato iniziale e v1f , v2f nello stato finale v1i m2 Stato iniziale m1 v2i Urto v1f tempo Stato finale v2f

Conservazione della QM In assenza di forze esterne, la QM del sistema dei due corpi si deve conservare Riarrangiando, troviamo la variazione di QM di ciascun corpo

Teorema dell’impulso Cioè la variazione di QM del primo corpo è uguale e contraria a quella del secondo Ciò si può anche esprimere col th. dell’impulso tenuto conto che le forze di interazione sono uguali e contrarie

Sistema del CM Fintanto che si possono trascurare le forze esterne agenti sul sistema dei due corpi, la velocità del CM è costante Mediante una trasformazione di Galileo possiamo metterci in un sistema inerziale in cui la velocità del CM è nulla Tale sistema è, ovviamente, il sistema del CM La relazione tra le velocità espresse nel sistema iniziale e nel sistema del CM è In questo sistema la QM di moto è sempre nulla

Conservazione della QM Si può assumere che la QM si conservi anche in presenza di forze esterne, a patto che queste non siano impulsive e quindi siano abbastanza deboli per non cambiare sostanzialmente la QM del sistema nell’intervallo di tempo in cui avviene l’urto Nel limite ideale di durata infinitesima dell’urto qualunque forza non impulsiva dà contributo nullo alla QM

Conservazione della QM Questo si può vedere usando il teorema del valor medio applicato alle forze esterne Se Fex (e quindi <Fex>) rimane limitata, per Dt infinitesimo l’impulso diventa infinitesimo

Riassunto Nell’urto avviene uno scambio di QM tra i due corpi che costituiscono il sistema, dovuto alle forze interne che agiscono fra loro La QM del sistema si conserva, cioè la QM dello stato iniziale è uguale alla QM dello stato finale

Energia meccanica, cinetica Generalmente l’energia meccanica non si conserva in un urto Tutto dipende dal fatto se le forze interne sono conservative oppure no Lo stesso vale per l’energia cinetica, che in generale non si conserva in un urto Useremo il th. di König dell’energia cinetica

Urti anelastici Un urto è più o meno anelastico a misura di quanta energia cinetica K viene persa Un urto è elastico se K si conserva È totalmente anelastico se la perdita di K è massima Per sapere quando questo accade ci si pone nel sistema del CM e si richiede che l’energia cinetica dopo l’urto sia nulla (i due corpi rimangono attaccati formando un unico corpo) urto totalmente anelastico

Urti anelastici Nei casi intermedi possiamo definire il coefficiente di restituzione Il caso elastico corrisponde a e=1 Il caso totalmente anelastico a e=0

Urto totalmente anelastico fra due corpi Stato iniziale Dalla definizione di CM possiamo anche scrivere Stato finale: i due corpi si attaccano insieme Quindi Poiché agiscono solo forze interne, la QM si conserva, ne segue

Urto totalmente anelastico fra due corpi Confrontiamo l’energia cinetica nello stato iniziale: e nello stato finale La perdita di energia cinetica è pari a

Urto elastico in 1-D Consideriamo il semplice caso di urto in 1-D, cioè tale per cui le velocità, iniziali e finali, sono tutte lungo una sola direzione (urto centrale) Applichiamo la conservazione della QM e la conservazione dell’energia cinetica

Urto elastico in 1-D Le due eqq. costituiscono un sistema in due incognite, che è possibile risolvere con i metodi noti; otteniamo

Urto elastico in 2-D Se l’urto non e` centrale i principi di conservazione non bastano a risolvere il problema Abbiamo tre eqq. ma quattro incognite: i f p1i p2i p1f p2f pi pf q

Urto con corpi vincolati Se c’è un vincolo che tiene fermo un punto del corpo, durante l’urto si genera una forza vincolare impulsiva (esterna) e quindi la QM non si conserva Il vincolo agirà con una risultante di forze F e di momenti , i cui effetti, nell’intervallo di tempo dell’urto, sono l’impulso e l’impulso angolare

Urto con corpi vincolati L’impulso è uguale alla variazione di quantità di moto L’impulso angolare è uguale alla variazione di momento angolare

Momento angolare Se agiscono solo forze interne al sistema dei due corpi, il MA si conserva Il MA si conserva anche rispetto ad un polo fisso in un sistema inerziale o rispetto al CM se il momento delle forze esterne rispetto a quel polo è nullo