Meccanica 13 14 aprile 2011 Leggi di Keplero Accelerazione orbitale per orbite circolari Il problema dei due corpi. Massa ridotta Legge di gravitazione di Newton, costante gravitazionale Formula di Binet, accelerazione orbitale per orbite ellittiche 3a legge di Keplero rivisitata Momento angolare ed energia cinetica Analisi energetica qualitativa, velocita` di fuga Integrazione dell’eq. dell’orbita, 1a legge di Keplero

Leggi di Keplero Newton arrivò alla sua legge studiando l’opera di Keplero, il quale aveva enunciato tre leggi valide per il moto dei pianeti del sistema solare Prima legge: l’orbita percorsa da un pianeta giace su di un piano e ha forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

Leggi di Keplero Useremo un sistema di coordinate polari per descrivere l’orbita del pianeta Il raggio vettore r, con origine nel sole e vertice nel pianeta, è definito dal modulo r e dall’angolo  (detto anomalia o azimut) Il punto A in cui il pianeta è più lontano dal sole è detto afelio; il punto B in cui il pianeta è più vicino al sole è detto perielio Entrambi son detti apsidi r  A B

Leggi di Keplero La prima legge si può esprimere matematicamente Ove p ed e sono due parametri orbitali: e è l’eccentricità dell’orbita (sempre <1 per un’ellisse) Esercizio: esprimere p in funzione degli altri parametri orbitali analizzando, p.e., il perielio (r=a-ae, =0)

Leggi di Keplero Seconda legge: l’area “spazzata” dal raggio vettore è proporzionale al tempo impiegato per spazzarla: A=kt, in termini infinitesimi: dA=kdt Ovvero: la velocità areale è costante Storicamente fu scoperta per prima A B Possiamo esprimere la costante k mediante l’area e il periodo

3a legge di Keplero Il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al sole è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’orbita La costante di proporzionalità è uguale per tutti i pianeti Una legge analoga vale per il sistema di Giove e i suoi satelliti La costante è uguale per tutti i satelliti (ma è diversa da quella del sistema Sole-pianeti, come vedremo)

Legge di gravitazione Non sappiamo come Newton sia giunto alla sua legge per la forza gravitazionale Sappiamo che Hooke era giunto alla conclusione che l’accelerazione posseduta dai pianeti nella loro rivoluzione intorno al sole fosse proporzionale all’inverso del quadrato della distanza tra sole e pianeta In forza del fatto che nella 3° legge di Keplero, la costante e` uguale per tutti i pianeti, alcuni pensavano anche che il sole fosse responsabile del moto dei pianeti tramite una ‘forza’ che da esso emanava

Legge di gravitazione Le considerazioni si limitavano a orbite circolari e si basavano sull’analisi fatta da Huygens del moto circolare uniforme e sulla 3a legge di Keplero (valida in realtà più in generale anche per orbite ellittiche) Huygens era riuscito a trovare l’espressione dell’accelerazione posseduta da un corpo in moto circolare uniforme Nessuno, all’epoca, era in grado di calcolare l’accelerazione per il moto ellittico, cosa che riuscira` piu` tardi a Newton

Legge di gravitazione Il ragionamento era il seguente L’accelerazione di un pianeta in moto circolare uniforme è (detti R il raggio dell’orbita e T il periodo) Applicando la 3a legge di Keplero

Legge di gravitazione Newton inoltre ebbe l’idea di considerare l’attrazione tra due corpi come una caratteristica universale, quindi l’attrazione tra sole e pianeta, tra terra e mela e tra terra e luna erano tutti casi particolari di una proprietà generale della materia Newton quindi paragonò l’accelerazione di una mela sulla superficie terrestre con quella della luna: se l’accelerazione dovuta alla ‘forza’ gravitazionale fosse davvero stata inversamente proporzionale al quadrato della distanza, allora queste due accelerazioni avrebbero dovuto soddisfare la seguente relazione

Legge di gravitazione Stimando l’accelerazione della luna con la formula di Huygens (rluna=3.84x108 m , Tluna=27.3 giorni=2.36x106 s) e tenendo conto che amela=g=9.8 m/s2, accelerazione di gravità e rmela=R=6.37x106 m, raggio della terra, Newton giunse ai valori

Legge di gravitazione Un risultato indubbiamente molto incoraggiante, ma Newton non ne fu totalmente soddisfatto, essenzialmente per tre motivi Il primo: i dati a sua disposizione non erano molto accurati ed aveva ottenuto un accordo numerico meno buono Il secondo: aveva supposto che l’orbita lunare fosse circolare Il terzo: aveva supposto, ma non giustificato, che la distanza rilevante tra i corpi fosse quella tra i loro centri, senza tener conto della loro estensione spaziale Molti anni piu` tardi, dopo aver creato il calcolo differenziale, Newton riuscì a dimostrare questa assunzione nel caso in cui la distribuzione di materia dei corpi sia isotropa attorno al loro centro

Il problema dei due corpi Consideriamo un sistema isolato costituito da due corpi massicci puntiformi M e m, interagenti con forza di tipo centrale Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui descrivere il sistema dei due corpi r1 r2 r Siano r1 e r2 i vettori posizione (in S) dei due corpi La forza mutua dipende solo dal vettore r tra i due corpi: r = r2 - r1

Il problema dei due corpi Introduciamo anche il vettore R, posizione del centro di massa: r1 r2 r R Le trasformazioni inverse permettono di esprimere r1 e r2 in funzione di R e r

Il problema dei due corpi Poiché il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme Possiamo sfruttare questo risultato per scegliere un sistema di riferimento inerziale più conveniente, S’, con l’origine O’ coincidente con il centro di massa dei due corpi (i due punti coincidono e traslano assieme) D’ora in poi, anche se con abuso di notazione, continueremo ad usare gli stessi simboli nel nuovo sistema S’ (però ora R=0)

Il problema dei due corpi Trovare la dipendenza di r dal tempo equivale a risolvere il problema. Infatti, una volta noto r, le coordinate delle masse si ottengono (ora R=0) semplicemente da Nel seguito ci serviranno anche le accelerazioni dei due corpi, che si trovano derivando le posizioni due volte rispetto al tempo Ove a e` l’accelerazione della coordinata r

Forza newtoniana Newton postulò la seguente forma per la forza di gravitazione ove G è una costante indipendente dalla massa dei corpi interagenti

Gravitazione universale G è una costante fisica universale di dimensioni (nel sistema MKS) e valore Fu determinata sperimentalmente per la prima volta da Cavendish mediante una bilancia di torsione

Il problema dei due corpi La direzione comune alle forze passa per il centro di massa: l’accelerazione di entrambi i corpi è quindi diretta verso il CM Il sole sia il corpo 1 e il pianeta il 2: Fs Fp

Il problema dei due corpi Introducendo la massa ridotta possiamo concludere che il problema dei due corpi è formalmente equivalente a quello di un corpo fittizio di massa  a distanza r da un centro di forza fisso il corpo fittizio è ‘legato’ a questo centro da una forza e sottoposto ad un’accelerazione

Determinazione dell’accelerazione orbitale L’accelerazione orbitale del corpo fittizio e` puramente radiale, mentre la componente azimutale e` nulla Trovata l’accelerazione di questa particella fittizia e` immediato calcolare le accelerazioni di sole e pianeta Per trovare l’accelerazione orbitale deriviamo la velocita` espressa in coordinate polari

Determinazione dell’accelerazione orbitale

Determinazione dell’accelerazione orbitale Poiche’ la forza e` centrale, l’accelerazione azimutale e` nulla Riscriviamo l’accelerazione come Ne segue che Ove H e` una costante, uguale, per la 2a legge di Keplero a

Determinazione dell’accelerazione orbitale Possiamo dunque scrivere E sostituendo nell’accelerazione radiale Ora cambiamo variabile t->f

Determinazione dell’accelerazione orbitale Ricordiamo ora la 1a legge di Keplero Ne segue che Sostituendo nell’accelerazione radiale, troviamo Inserendo i valori di H e di p ( )

Determinazione dell’accelerazione orbitale Otteniamo infine Ovvero ove è la velocità angolare media dell’orbita ellittica Abbiamo dunque per le forze gravitazionali

3a legge di Keplero rivisitata Rivisitiamo la 3a legge di Keplero nella teoria newtoniana Abbiamo trovato la forza radiale tra particella fittizia e centro di forza Da ciò ne discende Ovvero Che è la versione newtoniana della 3a legge di Keplero, con costante k pari a

3a legge di Keplero rivisitata La teoria di Newton “verifica e smentisce” allo stesso tempo la 3a legge di Keplero La smentisce in quanto la costante che compare nella legge è diversa da pianeta a pianeta La conferma in quanto tale costante è con buona approssimazione uguale per tutti i pianeti

Momento angolare Calcoliamo il MA totale dei due corpi Esso è uguale al momento angolare del corpo fittizio

Momento angolare Poiche’ il sistema e` isolato il momento angolare si conserva, ne segue che i vettori r e v stanno sempre nello stesso piano Proiettando L lungo il versore perpendicolare a questo piano, otteniamo r v v a vr q

Il momento delle forze Calcoliamo il momento delle forze interne, sfruttando il fatto che la forza è centrale: L’annullarsi del momento delle forze, implica che il momento angolare sia costante

Energia cinetica Calcoliamo l’energia cinetica dei due corpi Essa è uguale all’energia cinetica del corpo fittizio Esprimiamo la velocità in termini delle componenti radiale e azimutale:

Energia L’energia meccanica si conserva, perche’ la forza gravitazionale è conservativa Sostituendo le espressioni di T e V:

Energia Esprimendo la velocità azimutale in funzione di L e r Il primo termine del membro di destra è l’energia cinetica radiale, il secondo termine è l’energia cinetica azimutale, il terzo termine è l’energia potenziale Formalmente possiamo pensare il secondo termine come energia potenziale, aggiuntiva a quella gravitazionale, della particella e il primo termine come tutta l’energia cinetica Questo modo di vedere ha il vantaggio di ridurre il numero di dimensioni del problema da due a uno

Energia Nella figura abbiamo tracciato le due energie potenziali con linee tratteggiate e la loro somma Vtot con linea continua L’energia totale E è una costante (retta tratteggiata) La differenza tra E e Vtot è l’energia cinetica (freccia) r

Analisi qualitativa Per E>0, r assume un valore minimo ma può assumere valori arbitrariamente grandi: l’orbita è illimitata E>0 T r

Analisi qualitativa Per E<0, r è compreso tra un valore minimo e uno massimo: l’orbita è limitata (e chiusa) r E<0 T

Velocita` di fuga L’analisi precedente ci permette di concludere che affinche’ il corpo riesca a sfuggire al centro di forza occorre che la sua energia sia almeno uguale a zero In termini di velocita`, questa dev’essere almeno uguale alla velocita` di fuga Da tradurre in velocita` di fuga per il corpo 2

Corpo fittizio e corpi reali Un caso particolare ma molto importante e` quello in cui uno dei due corpi e` molto piu` massiccio dell’altro, p.e. nei sistemi terra-missile e sole-pianeti Allora Cioe` la massa minore si comporta con buona approssimazione come la massa ridotta La massa maggiore rimane praticamente ferma

Velocita` di fuga La velocita` di fuga del corpo leggero e`

Integrazione dell’eq. del moto Torniamo all’espressione dell’energia Esplicitando rispetto alla derivata di r: Risolvere questa equazione ci darebbe la legge oraria di r (e quindi di )

Integrazione dell’eq. del moto È più facile però determinare r in funzione dell’angolo , in questo modo otteniamo l’equazione dell’orbita Se a tal fine riscriviamo la velocità radiale come Otteniamo

Integrazione dell’equazione Quest’equazione si può risolvere per quadrature:

Integrazione dell’equazione L’integrando si può riportare ad una forma standard con la sostituzione u=1/r L’integrale è della forma

Integrazione dell’equazione E quindi Tornando alla variabile r Ove l’origine degli angoli può convenientemente essere scelta in modo che q’=0

1a legge di Keplero L’espressione precedente è della forma cioè proprio la forma della 1a legge di Keplero Inoltre l’eccentricità è data da

Eccentricità Per un’iperbole E>0 e l’eccentricità è >1 Per un’ellisse E<0 l’eccentricità è <1

Il problema degli n corpi Se si hanno tre o più corpi, qualunque sia la forza d’interazione, il problema non ammette, in generale, una soluzione analitica Teoria delle perturbazioni Problema della stabilità del sistema solare