Teoria della relatività-5 17 dicembre 2012 Trasformazionie dell’energia e della QM Trasformazione della densita` di corrente e di carica Invarianza delle eqq. di Maxwell Trasformazioni dei campi E e B tra sistemi inerziali Tensore del campo elettromagnetico

Trasformazioni di p e E Si può dimostrare che le tre componenti della QM e l’energia si trasformano come le tre coordinate e il tempo 2

Trasformazioni di p e E Introducendo la variabile p0=E/c, e dette p1=px, p2=py, p3=pz, abbiamo la forma più simmetrica Nello spazio-tempo la quaterna (p0, p1, p2, p3) è un 4-vettore e le TdL ne trasformano le componenti tra loro, in particolare ‘mescolano’ QM ed energia 3

Trasformazioni di j e  Si può dimostrare che anche le tre componenti del vettore densità di corrente j e la densità di carica  formano un 4-vettore dello spazio-tempo Le eqq. di trasformazione sono quindi 4

Invarianza delle eqq. di Maxwell Dal principio di relatività possiamo concludere che le eqq. di Maxwell devono avere la stessa forma in ogni sistema di riferimento inerziale, devono cioè essere invarianti Vediamo come da questa affermazione possiamo ricavare le leggi di trasformazione dei campi E e B tra due sistemi inerziali

Invarianza delle eqq. di Maxwell Per invarianza intendiamo che se nel sistema S sono presenti i campi E e B e le eqq. sono allora nel sistema S’ sono presenti i campi E’ e B’, e le eqq. devono essere

Trasformazioni di E e B Per semplicità consideriamo le eq. in cui non compaiono  e J, e usiamo le componenti cartesiane Nella trasformazione di coordinate, dobbiamo scoprire come esprimere gli operatori differenziali e la derivata rispetto al tempo

Trasformazioni di E e B Vediamo come si trasforma la derivata rispetto a x Dalle trasformazioni di Lorentz Ne segue Allo stesso modo si trova

Trasformazioni di E e B L’eq. di Faraday diviene E l’eq. di Gauss per B

Trasformazioni di E e B Raggruppiamo i termini nella componente y dell’eq. di Faraday E imponiamo la condizione di invarianza alla componente y’ del sistema S’ Dal confronto delle due eqq. ne segue

Trasformazioni di E e B Possiamo ripetere il calcolo per la componente z E imporre la condizione di invarianza alla componente z’ del sistema S’ Dal confronto delle due eqq. ne segue

Trasformazioni di E e B Infine dalla componente z della legge di Faraday e dalla legge di Gauss troviamo la legge di trasformazione di Bx

Trasformazioni di E e B Riassumendo Cioè le componenti del campo E in S dipendono sia dalle componenti di E’ che di B’ in S’ Idem per le componenti del campo B 13

Relazioni tra E e B v i- S Fm B L’esempio classico della relazione tra un campo E e un campo B in due sistemi di riferimento è quello di una particella carica a distanza r da un filo percorso da corrente Mettiamoci nel sistema S in cui il filo e` fermo, c’è una corrente i dovuta a elettroni e una particella (q>0) in moto con velocità v rispetto al filo In S c’è campo magnetico e una forza magnetica radiale i- v B Fm S 14

Relazioni tra E e B Il filo è elettricamente neutro, quindi la densità degli elettroni (in moto) e quella degli ioni positivi (fermi) è uguale e contraria Mettiamoci ora nel sistema S’ in moto parallelamente al filo con velocità v, di modo che la particella risulti (anche se per un solo istante) ferma In S’ non c’è campo magnetico e neppure forza magnetica i’ S’ 15

Relazioni tra E e B Vediamo qual è la densità di carica nel filo Dalle eqq. di trasformazione di j e , moltiplicando per la sezione del filo, otteniamo 16

Relazioni tra E e B Per la carica positiva e negativa avremo rispettivamente le densità e in totale una densità negativa per il filo In S’ esiste quindi un campo elettrico e una forza elettrica radiale diretta verso il filo i’ F’e S’ 17

Relazioni tra E e B Sostituiamo il valore della densità di carica Cioè mentre in S c’è un campo magnetico, ma non un campo elettrico e quindi c’è solo una forza magnetica Fm, in S’ c’è un campo elettrico, ma non un campo magnetico, e quindi c’è solo una forza elettrica F’e Queste due forze: Fm (in S) e F’e (in S’) si corripondono mediante le eqq. di trasformazione delle forze (che non abbiamo ricavato) e che nel nostro caso si riducono al fattore motiplicativo  18

Tensore del campo e.m. In relatività l’intima relazione tra i campi E e B viene resa palese Si può infatti pensare alle tre componenti del campo E e alle tre di B come le sei componenti di un unico ente più complesso, il quadri-tensore (antisimmetrico) del campo elettromagnetico 19