Esercizio 1 Un condensatore piano di area A=40 cm2 e distanza tra i piatti d=0.1 mm, e` stato caricato collegandolo temporaneamente ad un generatore di fem di 1000 V. a) Trovare la ddp ai capi del condensatore dopo che la distanza tra i piatti e` stata portata a 2d. b) Trovare il lavoro speso nell’allontanamento dei piatti. c) Determinare se il lavoro e` stato fatto dal campo o contro il campo. Infine si inserisce tra i piatti una lastra di materiale dielettrico di area A, spessore 2d e costante dielettrica relativa uguale a 2. d) Trovare il nuovo valore della capacita`, e) il lavoro speso per inserire la lastra e f) determinare se il lavoro e` stato fatto dal campo o contro il campo.

Soluzione dell’esercizio 1 Troviamo innanzitutto la capacita` del condensatore: e la carica accumulata Dopo la separazione dei piatti la capacita` diviene: Per trovare la nuova ddp ci basiamo sul principio di conservazione della carica. Cioe` la carica rimane costante nel processo: Per calcolare il lavoro, il metodo piu` naturale sembrerebbe quello di usare la sua definizione di integrale della forza per lo spostamento. c’e` pero`una difficolta`: non sempre e` facile conoscere l’espressione della forza. Vedi l’approfondimento 1 per maggiori dettagli.

Il lavoro speso nell’allontanamento dei piatti si puo` calcolare piu` semplicemente usando il principio di conservazione dell’energia: il lavoro e` uguale alla variazione di energia elettrostatica (cambiata di segno) tra stato finale e stato iniziale: L’energia iniziale e finale sono: Il lavoro e` dunque: Il segno negativo significa che il lavoro e` stato fatto contro il campo.

l’inserimento del dielettrico cambia il valore della capacita`: Il lavoro compiuto si trova di nuovo mediante il principio di conservazione dell’energia. Per l’approccio alternativo che fa uso della forza, vedi l’approfondimento 2. L’energia dello stato 3 e`: E quindi il lavoro e`: Il segno positivo significa che il lavoro e` stato fatto dal campo.

Approfondimento 1 Consideriamo la forza che il piatto positivo esercita su quello negativo. L’espressione della forza che viene spontaneo scrivere e`: Ove E e` il campo elettrico nel condensatore. Riscriviamo il campo come somma dei campi dovuti al piatto positivo e a quello negativo: E` evidente da questa espressione che il secondo termine non puo` comparire, in quanto significa che il piatto negativo eserciterebbe una forza su se stesso. L’espressione corretta e`: Per la simmetria tra i piatti, il campo dovuto al piatto positivo e` meta` del campo totale, quindi: errato errato

Alternativamente consideriamo la superficie di Gauss tratteggiata in giallo in figura. Le zone in colore rosso e blu rappresentano l’estensione lungo x (molto piccola) delle cariche sui piatti. Il campo sulla base A della superficie di Gauss contenuta nel piatto negativo e` dovuto a tutte le cariche positive piu` una parte delle cariche negative contenute entro tale superficie. Il flusso sulla base si scrive: x + -

La forza e` dunque: E` da notare che la forza e` indipendente da x. Inoltre e` diretta nel verso x negativo e un aumento della distanza tra i piatti (spostamento del piatto negativo nel verso x positivo) comportera` un lavoro negativo. Il lavoro e` quindi: Cioe` esattamente uguale al valore ottenuto con la conservazione dell’energia.

Approfondimento 2 Consideriamo la lastra di dielettrico mentre entra nel condensatore. Il campo elettrico al bordo (rappresentato dalle linee nere) e` tale da indurre forze (frecce viola) con risultante diretta verso il condensatore. Queste forze sono responsabili del moto del dielettrico, cosa che ci dice anche che il lavoro sara` positivo. In questo caso non e` semplice scrivere la forza, per cui il metodo della conservazione dell’energia si impone. + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -

Esercizio 2 Calcolare la ddp tra i punti A e B del circuito seguente 3W 2W 12W 6W 2V 8V A B

Soluzione dell’esercizio 2 Osserviamo innanzitutto che le due resistenze centrali sono in parallelo, conviene semplificare il circuito sostituendole con la resistenza equivalente: Dopodiche’ notiamo che il circuito e` formato da due maglie identiche. Questo significa che le correnti che scorrono nelle maglie sono uguali e che bastera` risolvere una sola delle due maglie. Applichiamo la 2a legge di Kirchhoff alla maglia di sinistra e imponiamo l’uguaglianza delle correnti: Otteniamo: 3W 2W 4W E1=2V E2=8V 2V A B I1 I2

Quindi le correnti valgono: La ddp tra A e B e` uguale alla fem E2 meno la caduta di potenziale sulla resistenza posta su AB (tenendo conto che su AB scorre una corrente somma delle correnti che circolano sulle due maglie):

Esercizio 3 Una bobina rettangolare di N=100 spire e dimensioni a=2 m e b=1 m, ruota con velocita` angolare w=120p rad/s attorno ad un asse mediano in un campo B uniforme di 1 Tesla perpendicolare all’asse. a)Trovare l’ampiezza della fem generata Le estremita` dell’avvolgimento sono collegate, tramite contatti striscianti, ad un carico puramente resistivo R di 100 Ohm. b) Trovare la potenza dissipata e c) il momento meccanico necessario per generare questa potenza B w a b

Soluzione dell’esercizio 3 Per trovare la fem, consideriamo il flusso del campo magnetico attraverso la bobina: Dove A = ab e` l’area della spira e q = wt e` l’angolo all’istante t. La fem e` data dalla legge di Faraday: L’ampiezza e` dunque: La potenza dissipata nella resistenza e`: Il cui valore medio nel tempo e`: B q b F

Il momento meccanico e` dovuto alle forze agenti sui lati ‘a’: La cui ampiezza e`: E il cui valor medio e`:

Esercizio 4 Un’antenna e` accoppiata, tramite un’induttanza, ad un circuito LC di sintonizzazione. L’induttanza L del circuito vale 2 H, la capacita` C, variabile, dev’essere scelta in modo da raccogliere onde di lunghezza d’onda di 1 km. Trovare il valore di C. L C

Soluzione dell’esercizio 4 Troviamo innanzitutto la frequenza dell’onda incidente: La mutua induzione tra le induttanze dell’antenna e del circuito indurra` una fem nel circuito. Questa fem genera una corrente tanto maggiore quanto piu` la frequenza naturale del circuito e` vicina a quella dell’onda. Si trattera` dunque di scegliere opportunamente C in modo tale da uguagliare queste due frequenze (o pulsazioni): Da cui si determina il valore di C: