Elettrodinamica 1 5 ottobre 2013 Esperienze di Faraday Legge di Faraday-Neumann Fem dinamica, corrente indotta Legge di Lenz e conservazione dell’energia Moto di un conduttore in un campo B Lavoro della forza Spira in moto in un campo B Fem dinamica e variazione del flusso di B Applicazioni dell’induzione Betatrone

Faraday (1831) Studia situazioni sperimentali diverse Moto di un circuito in un campo B fisso Moto di un campo B rispetto a un circuito fisso Variazione d’intensita` del campo B Arriva alla conclusione che una variazione del flusso del campo B concatenato con il circuito induce una fem nel circuito Il flusso concatenato è il flusso attraverso una qualunque superficie che appoggia sul circuito

Faraday Scoperta di una nuova legge La fem è attribuita all’esistenza di un nuovo tipo di campo E, dinamico o indotto Anche una variazione geometrica del circuito nel campo B produce una fem Variazione di dimensioni Variazione di orientazione

Legge di Faraday-Neumann 2a eq. dell’e.m. nella sua forma completa Il segno negativo ha a che fare con il verso della fem (legge di Lenz) I campi E statici sono conservativi: l’integrale di linea di E su un cammino chiuso e` nullo I campi E indotti non sono conservativi: l’integrale e` uguale alla fem

Circuito a più spire Se il circuito è formato da più spire, bisogna sommare il contributo di ogni spira Se ci sono N spire tutte uguali in un campo B in totale avremo N volte il flusso, e la fem, di una spira

Corrente indotta Se il circuito è chiuso, la fem genera una corrente, detta corrente indotta, data da Ove R è la resistenza totale del circuito

fem indotta La fem è presente anche se il circuito non è chiuso Finora la fem era localizzata (es. tra i morsetti di una batteria) La fem indotta da un flusso magnetico variabile si può invece considerare distribuita in tutto il circuito La fem può anzi essere attribuita allo spazio in cui è presente il campo B variabile: ai capi del circuito è presente una fem in quanto esso occupa uno spazio in cui è presente una fem 7 7

Legge di Lenz Prescrive il segno negativo davanti alla variazione del flusso magnetico La fem indotta e la corrente indotta hanno verso tale da opporsi alla variazione che le genera Questo segno garantisce l’accordo con la conservazione dell’energia

Legge di Lenz: esempi Magnete che si avvicina ad una spira Il campo B del magnete sia rivolto nel verso positivo Il flusso aumenta, quindi la fem e la corrente indotte nella spira devono essere negative, cioè generare un campo B il cui flusso sia negativo S N S N

Legge di Lenz: esempi Circuiti affacciati percorsi da correnti variabili I1 crescente, flusso di B1 attraverso C2 crescente → I2 negativo, flusso di B2 attraverso C2 negativo I1 decrescente, flusso di B1 attraverso C2 decrescente → I2 positivo, flusso di B2 attraverso C2 positivo A C1 C2 A C1 C2

Moto di un conduttore in campo B v B Sbarra conduttrice inizialmente ferma, è posta in moto perpendicolarmente alla sua lunghezza (l) e a un campo B Supponiamo che la velocità finale v sia costante Gli elettroni della sbarra risentono della forza di Lorentz e vengono spinti verso l’estremità lontana v B - +

Fem e campo elettrico dinamici Il lavoro eseguito dalla forza su una carica q trasportata (lungo una linea C) entro il conduttore in moto con velocità v è Il lavoro per unità di carica è la fem dinamica e si puo` considerare un campo elettrico dinamico:

Stato di moto transitorio Poiché gli elettroni non possono fuoriuscire dalla sbarra, si accumulano all’estremità lontana All’estremità vicina avremo un eccesso di carica positiva v B - +

Campo statico. Equilibrio La separazione di carica genera un campo elettrico statico all’interno e all’esterno della sbarra Questo campo si oppone con una forza ad un ulteriore accumulo di elettroni Lo stato di moto transitorio ha termine e si giunge all’equilibrio quando le due forze si annullano a vicenda In questa situazione i due campi soddisfano: v B - + 14

Flusso di corrente Se la sbarra fa parte di un circuito è possibile che l’equilibrio non venga mai raggiunto e si abbia un flusso di corrente dovuto alla presenza della fem v B

Velocità degli elettroni vd v ve fL fv q s B X Velocità degli elettroni Consideriamo una situazione in cui gli elettroni si muovano La loro velocità ve è la somma della velocità v della sbarra e della componente vd associata al moto lungo la sbarra ve determina una forza di Lorentz fL, agente sugli elettroni, perpendicolare a ve

vd v ve fL fv q s B X Forza vincolare vd determina una forza di Lorentz fd sugli elettroni, perpendicolare alla sbarra, in verso opposto al moto La risultante di tutte queste forze fd è una forza che agisce sulla sbarra, anch’essa in verso opposto al moto Il vincolo (la superficie della sbarra) reagisce con una forza fv = -fd su ogni elettrone NB: Le cariche rimangono contenute nella sbarra 17

Lavoro della forza f f v ve fL fv q s B X l b Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza totale agente su un elettrone Alternativamente Com’è noto, la forza di Lorentz fa lavoro nullo, quindi il lavoro è dovuto tutto alla reazione vincolare

Generatore di fem Abbiamo visto che è presente una forza che si oppone al moto della sbarra Ne segue che affinché la sbarra si muova di moto non ritardato è necessario che ci sia una forza esterna, ovvero una sorgente esterna di energia (p.e. meccanica) L’energia che fa circolare la corrente non proviene dal campo B: esso solo converte l’energia meccanica (esterna) in energia elettrodinamica

Spira in moto in un campo B v +++++++++ - - - - - - - - - Spira di dimensioni b e h Scegliamo come verso positivo di percorrenza della spira il verso antiorario Campo uniforme: gli elettroni su ciascun lato sentono la stessa forza Risultato: c’è accumulo di carica sui lati vicino e lontano La fem totale sulla spira è nulla: sui lati vicino e lontano la forza è perp. allo spostamento La forza è uguale sui lati destro e sinistro, percorsi in verso opposto

Spira in moto in un campo B v B2 f1 f2 Campo non uniforme: gli elettroni sul lato sinistro e destro sentono le forze Poiche’ f1>f2 gli elettroni circoleranno in senso orario (e quindi la corrente associata in senso antiorario) La fem lungo la spira e`

Relazione tra fem e variazione di flusso B1 v dt B2 Nel tempo dt il circuito si sposta di vdt Il flusso diminuisce a sinistra e aumenta a destra risp. di La variazione di flusso totale è quindi Confrontando con l’espressione precedente della fem

Legge di Lenz e forza su una spira La fem fa fluire corrente nel circuito in verso antiorario Se c’è resistenza, un po’ di energia viene dissipata in calore I lati della spira sono sottoposti a forze: F2 per il lato a destra e F1 per il lato a sinistra F1 è maggiore di F2 e la forza risultante si oppone al moto Per mantenere la spira a velocità costante ci vuole un agente esterno che fornisca energia Questa energia si ritrova alla fine come calore nel filo Se la spira accelera, l’agente esterno deve anche fornire energia cinetica B1 v B2 F1 F2

Legge di Lenz e conservazione dell’energia Se fosse vero l’opposto della legge di Lenz, la forza agente sulla spira ne farebbe aumentare la velocità Questo porterebbe ad un aumento della forza acceleratrice, creando una situazione a feedback positivo Come conseguenza l’energia non si conserverebbe, ma aumenterebbe

Applicazioni dell’induzione Correnti di Foucault Forno a induzione Freno elettromagnetico Alternatore Misura del campo B Betatrone Ruota di Barlow

Betatrone E` un acceleratore circolare di elettroni che fa uso di un campo magnetico variabile nel tempo, a simmetria azimutale, ma non uniforme nello spazio Il campo magnetico svolge una duplice funzione Accelera gli elettroni tangenzialmente, cosa che si ottiene variandolo opportunamente nel tempo Contiene gli elettroni sull’orbita grazie alla forza di Lorentz

Dinamica dell’elettrone Per descrivere correttamente il moto dell’elettrone nel betatrone bisogna usare la meccanica relativistica e non quella classica Questo e` dovuto al fatto che l’energia fornita all’elettrone, dell’ordine di 1-100 MeV, e` grande in confronto con la sua energia a riposo In meccanica classica l’eq. del moto e` In meccanica relativistica conviene scrivere l’eq. in termini della QM p

Dinamica dell’elettrone Al posto dell’espressione classica dell’energia cinetica dovremo usare quella relativistica, che per energie elevate vale approssimativamente Troviamo ora l’espressione delle due forze agenti sull’elettrone

Betatrone – forza tangenziale L’accelerazione tangenziale e` dovuta alla forza del campo elettrico indotto E questo puo` essere calcolato a partire dalla fem indotta Per la simmetria azimutale del sistema l’integrale vale Da cui si puo` esprimere il campo elettrico in funzione della variazione di flusso magnetico Supposta l’orbita circolare di raggio r0

Betatrone – forza tangenziale La forza del campo elettrico indotto e` dunque, in modulo, La direzione e` tangenziale, il verso e` dato dalla legge di Lenz Supposto che il campo B sia diretto lungo z, e gli elettroni circolino in verso antiorario, un aumento del modulo di B comporta un aumento del flusso concatenato all’orbita e la comparsa di una fem oraria Siccome la carica degli elettroni e` negativa, questa fem li accelera in senso antiorario

Betatrone – forza radiale La forza di Lorentz e` Scomponendola nelle tre direzioni Vista la simmetria azimutale, la componente Bf e` nulla Inoltre consideriamo il caso ideale in cui il piano dell’orbita sia simmetrico rispetto alle linee di campo, per cui la componente Br sia nulla su tale piano la velocita` sia puramente azimutale, cioe` vr = vz = 0 L’orbita sia circolare con raggio costante r0 Ne segue

Betatrone – legge del moto La forza totale e` dunque Applichiamo la legge del moto nella forma valida anche in meccanica relativistica Consideriamo il caso ideale in cui la QM sia puramente azimutale ed eseguiamo la derivata, ricordando che siamo in un sistema di riferimento polare

Betatrone – legge del moto Sostituendo l’espressione della forza e uguagliando le componenti otteniamo Integrando la prima eq. otteniamo la QM Dalla seconda eq., dividendo per la velocita` angolare, otteniamo un’altra espressione per la QM

Betatrone – flusso di B Le due espressioni devono valere contemporaneamente e questo porta ad una condizione sul campo magnetico Ovvero Eliminiamo la dipendenza dal tempo ed introduciamo il valor medio del campo sulla superficie piana racchiusa dall’orbita

Condizione di betatrone Otteniamo la condizione di betatrone Cui deve soddisfare il campo affinche’ sia l’accelerazione tangenziale che il contenimento radiale siano realizzati contemporaneamente Per ottenere questa condizione bisogna sagomare opportunamente le espansioni polari NB: un campo spazialmente uniforme non puo` realizzarla

Betatrone – variazione di B nel tempo La funzione del tempo scelta per il betatrone e` di tipo sinusoidale Per cui la componente z del campo magnetico in un punto qualunque dello spazio e` del tipo Bisogna pero` osservare che solo il primo quarto del ciclo e` utilizzabile, infatti La parte negativa del ciclo farebbe ruotare gli elettroni in verso opposto al verso di iniezione La parte positiva ma decrescente del ciclo non accelererebbe gli elettroni

Betatrone – energia finale L’energia finale dell’elettrone, espressa in joule, e` Espressa in eV e`

Esercizio Dato un campo magnetico della forma Trovare il valore di a che garantisce la condizione di betatrone a distanza R dal centro

Esercizio Una spira, immersa in un campo B uniforme, si muove con velocita` v Determinare la fem indotta nella spira Determinare la fem indotta tra i punti A e C C A v B

Esercizio Un filo conduttore AC, immerso in un campo B uniforme, si muove con velocita` v Determinare la fem indotta tra i punti A e C Usando la forza di Lorentz Usando la legge di Faraday C A v B

Esercizio Trovare la fem indotta tra centro e circonferenza di un disco di Faraday (o ruota di Barlow)