Onde 1 29 novembre 2012 Campi e onde Equazione d’onda e sue proprietà Soluzioni dell’equazione delle onde Onde sferiche Tipologia Onde stazionarie Fronti d’onda, raggi (Energia di un’onda meccanica)

Campi Matematicamente sono funzioni reali (o complesse) che rappresentano grandezze fisiche Sono definiti nello spazio tridimensionale (o in opportuni sottoinsiemi 3-D, 2-D, 1-D) e nel tempo Se non dipendono dal tempo sono detti statici Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

Campi Se basta una sola funzione a definirli completamente, il campo è detto scalare (campo della temperatura) Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo è detto vettoriale (campo della velocità di un fluido)

Onde Sono perturbazioni delle condizioni di equilibrio statico di un campo, generate da una sorgente e che si propagano nello spazio e nel tempo Possono essere periodiche o impulsive Possono richiedere un mezzo materiale (onda meccanica) oppure possono propagarsi nel vuoto (onda elettromagnetica) Si propagano con una velocità che dipende dalla natura del campo e del mezzo

Funzione d’onda Un’onda viene rappresentata matematicamente con una funzione dello spazio e del tempo detta funzione d’onda

Equazione d’onda L’equazione che descrive il moto di un’onda prende il nome di equazione d’onda o di d’Alembert e descrive in generale tutte le onde che dipendono da una sola variabile spaziale e dal tempo f=f(x,t) Può essere generalizzata al caso di due o tre variabili spaziali cioè f=f(x,y,z,t)

Proprietà dell’eq. d’onda Nell’eq. le derivate della funzione incognita f compaiono con esponente 1, inoltre esse sono operazioni lineari Questo ha l’importante conseguenza che se f e g sono due soluzioni, allora è soluzione anche qualunque loro combinazione lineare h=f+g Vediamolo:

Proprietà dell’eq. d’onda E similmente per le derivate rispetto alle altre variabili Se moltiplichiamo per  l’equazione e per  l’equazione e le sommiamo, otteniamo Sfruttando la proprietà vista

Proprietà dell’eq. d’onda Cioè anche h è soluzione: Questa proprietà permette trattare il problema di sorgenti multiple: Si considera un problema distinto per ogni sorgente e se ne trovano le soluzioni odulatorie Si sommano poi queste soluzioni, cioè le onde delle singole sorgenti Tale somma è soluzione del problema in cui le sorgenti agiscono contemporaneamente Questo è il principio di sovrapposizione delle onde

Soluzioni dell’eq. delle onde Abbiamo visto che le soluzioni dell’eq. sono dette onde piane e che una qualunque funzione di argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione

Soluzioni dell’eq. delle onde Vogliamo ora dimostrare questo risultato Eseguiamo il cambiamento di variabili La cui trasformazione inversa è

Soluzioni dell’eq. delle onde Diciamo F la funzione f espressa in termini delle nuove variabili Esprimiamo le derivate rispetto alle nuove variabili

Soluzioni dell’eq. delle onde Le derivate seconde divengono Sostituendo nell’eq. delle onde otteniamo

Soluzioni dell’eq. delle onde E semplificando L’integrazione di questa eq. è molto semplice: se la derivata rispetto alla variabile  è nulla allora la funzione tra parentesi può dipendere solo dall’altra variabile,  : ove g è una funzione arbitraria di 

Soluzioni dell’eq. delle onde Per trovare F(, ) basta infine integrare rispetto a , operazione che dà una funzione di  (la primitiva di g) più un’arbitraria funzione di  Ritornando alle variabili iniziali, ne segue la tesi

Soluzioni dell’equazione delle onde Vogliamo ora studiare un’eq. un po’ piu` complicata In cui f sia funzione del tempo e del modulo del vettore posizione, cioe` f abbia simmetria sferica Dobbiamo esprimere il laplaciano in coordinate sferiche Poiche’ f non dipende dalle variabili angolari q e f, gli operatori corrispondenti danno risultato nullo, rimane quindi da calcolare solo il primo addendo

Onde sferiche A tal fine esprimiamo f come Il laplaciano diventa e l’eq. d’onda Moltiplicando per r otteniamo l’eq. delle onde piane per F Poiche’ tale eq. ha per soluzioni L’eq. di partenza ha per soluzioni Tali soluzioni sono dette onde sferiche Ad es. per onde sinusoidali

Tipologia Onde meccaniche: hanno bisogno di un mezzo materiale per essere prodotte e per propagarsi Onde elettromagnetiche: si propagano anche nel vuoto

Tipologia Onde longitudinali: l’oscillazione microscopica del mezzo è parallela alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda Onde trasversali: l’oscillazione microscopica del mezzo è perpendicolare alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda; sono dunque possibili due direzioni indipendenti dell’oscillazione (ovvero due polarizzazioni)

Tipologia Onde: Trasversali sulla superficie di un liquido o su una membrana su una corda nel vuoto: onde e.m. Longitudinali sonore in un fluido Onde sismiche di volume Miste sonore in un solido onde sismiche: le onde p, o primarie, sono longitudinali e le onde s, o secondarie, sono trasversali; le onde p sono piu` veloci delle onde s

Soluzioni sinusoidali L’importanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto alla teoria di Fourier, secondo cui qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di funzioni sinusoidali Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in generale, lo sviluppo contiene infiniti termini

Onde stazionarie La sovrapposizione di un’onda progressiva e di una regressiva di ugual ampiezza costituisce un’onda stazionaria 22

Onde stazionarie sinusoidali Sono del tipo Sviluppando i seni, otteniamo Cioè la dipendenza dallo spazio e dal tempo è fattorizzata I massimi e i minimi della funzione spaziale si dicono ventri, mentre gli zeri si dicono nodi

Onde stazionarie. Due estremi vincolati Relazione tra lunghezza d’onda l, frequenza f e lunghezza L della corda n=1, frequenza fondamentale n=2, prima armonica n=3, seconda armonica 1 ventre, 2 nodi 2 ventri, 3 nodi 3 ventri, 4 nodi

Onde stazionarie. Un estremo vincolato Relazione tra lunghezza d’onda l e lunghezza L della corda 1 ventre, 1 nodo 2 ventri, 2 nodi 3 ventri, 3 nodi

Onde stazionarie. Estremi liberi Relazione tra lunghezza d’onda l e lunghezza L della corda 2 ventri, 1 nodo 3 ventri, 2 nodi 4 ventri, 3 nodi

Onde piane Le onde piane sinusoidali (p.e. progressive) sono del tipo Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie piana Per un’onda piana le superfici di ugual fase sono piani x

Onde sferiche Le onde sferiche sinusoidali (p. e. progressive) sono del tipo Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie sferica di raggio r Per un’onda sferica le superfici di ugual fase sono superfici sferiche r

Superfici di egual fase A seconda del valore della fase le superfici possono essere superfici di massimo, di minimo o di altra fase Vengono anche dette fronti d’onda La direzione localmente perpendicolare alla superficie di egual fase è la direzione di propagazione dell’onda in quel punto Se scegliamo un punto sulla superficie d’onda e lo seguiamo nel tempo, esso traccia una linea localmente perpendicolare, istante per istante, alla superficie d’onda Tali linee vengono dette raggi

Raggi Per le onde piane i raggi sono rette parallele, per le onde sferiche sono semirette con origine comune x r

Energia delle onde Vogliamo calcolare l’energia associata ad un’onda Per semplicità ci limiteremo ad onde piane di tipo sinusoidale In tutta generalità considereremo un’espressione valida sia per onde trasversali (T) che longitudinali (L) Faremo il calcolo per i due casi Onda progressiva Onda stazionaria

Energia di un’onda progressiva Consideriamo una piccola quantità di materia di volume dV e massa dm di dimensione dx nella direzione x di propagazione Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge Per onde T, f rappresenta l’oscillazione trasversale rispetto a x Per onde L, f rappresenta l’oscillazione lungo x L’energia potenziale dell’elemento materiale è

Energia di un’onda progressiva L’energia cinetica L’energia meccanica totale è dunque Per trovare le energie corrispondenti ad una lunghezza L dell’onda, integriamo rispetto alla massa, supposta distribuita con densità uniforme m lungo x

Energia di un’onda progressiva Otteniamo Per semplicità scegliamo cioè una regione spaziale di estensione multipla di lunghezza d’onda. Posto che l’integrale in U (e in K, scambiando sin con cos) diventa

Energia di un’onda progressiva Infine Quindi l’energia dell’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’onda al quadrato della frequenza dell’onda alla massa della materia coinvolta mL

Energia di un’onda stazionaria Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge L’energia potenziale dell’elemento materiale dm è L’energia cinetica L’energia totale

Energia di un’onda stazionaria L’energia dell’onda, su una lunghezza multipla, p.e., di mezza lunghezza d’onda, si trova integrando su x Poiche’ l’onda è una sovrapposizione di due onde di ugual ampiezza A’, abbiamo A=2A’, ne segue che la sua energia è uguale alla somma delle energie delle onde componenti