Teoria della relatività-3 17 dicembre 2012 Trasformazione della velocità La velocita` della luce come velocita` limite Invarianza della velocita` della luce Trasformazione dell’accelerazione Effetto Doppler

Trasformazione della velocità La velocita` di un corpo, in ciascun sistema di riferimento, e` definita come rapporto tra intervallo spaziale percorso e intervallo di tempo necessario a percorrerlo In S avremo quindi la coppia dr, dt cui corrisponde in S’ la coppia dr’, dt’ e le velocita` sono x y z x’ y’ z’ v S’ S 2 2

Trasformazione della velocità Calcoliamo la trasformazione della velocità per componenti Sia ux la componente della velocità u di un corpo lungo x nel sistema S, vogliamo trovare il valore ux’ della componente lungo x’ della velocità u’ nel sistema S’ Differenziando le eqq. di trasformazione 3 3

Trasformazione della velocità Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità 4 4

La somma di due velocità minori di c è minore di c Dimostriamolo nel caso particolare in cui v e c siano paralleli a x Se -c < v < c , -c < ux < c, allora anche -c < ux’ < c Infatti, se -c < v < c, ux’ è funzione crescente di ux , e quindi assumera` un valore minore di quello assunto per ux=c, che vale e maggiore di quello assunto per ux=-c, che vale 5 5

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali Questo risultato deve ovviamente valere se la teoria e` consistente Nel caso il corpo in moto sia sostituito da un raggio di luce in verso positivo ux = c o negativo ux = -c otteniamo che nel sistema S’ la velocita` del raggio luminoso e` uguale agli estremi appena trovati 6 6

Trasformazione della velocità Sia uy la componente della velocità u di un corpo lungo y nel sistema S, vogliamo trovare il valore uy’ della componente lungo y’ della velocità u’ nel sistema S’ Differenziando le eqq. di trasformazione 7 7

Trasformazione della velocità Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità E similmente per la componente lungo z 8 8

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali Vediamo il caso particolare in cui la luce in S e` diretta lungo y, allora In S’ le componenti saranno E il modulo della velocita` 9 9

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali Lo si puo` dimostrare nel caso piu` generale verificando la relazione inserendo nella formula le componenti della velocita` nel sistema S’ 10 10

Trasformazione dell’accelerazione Si possono trovare le eqq. di trasformazione dell’accelerazione partendo dalle definizioni 11 11

Trasformazione dell’accelerazione E analogamente per le componenti y e z 12 12

Effetto Doppler per onde e.m. Sia F(,t) un’onda piana monocromatica che si propaga nel sistema S, nella direzione  di una retta che giace nel piano xy e forma un’angolo  con l’asse x La relazione tra , x e y è Inoltre la velocità della luce si può esprimere come z x y   S 13

Effetto Doppler per onde e.m. Nel sistema S’, in moto con velocità v lungo x rispetto a S, l’onda avrà la forma ove ’ è dato da Inoltre la velocità della luce si può esprimere come z’ x’ y’ ' ' z x y S S’ v 14

Effetto Doppler per onde e.m. Applichiamo le trasformazioni di Lorentz all’onda F’ nel sistema S’ (o meglio alla sua fase divisa per 2) Questa espressione rappresenta la fase (divisa per 2) dell’onda F nel sistema S Possiamo quindi uguagliare i termini omologhi nelle due espressioni della fase di F 15

Effetto Doppler per onde e.m. Otteniamo Dal rapporto delle prime due eqq. ricaviamo la relazione tra gli angoli di propagazione dell’onda nei due sistemi e la relazione inversa 16

Effetto Doppler per onde e.m. L’ultima eq. ci dà la relazione tra le frequenze nei due sistemi Se la velocità di S’ è diretta verso la sorgente dell’onda 17

Effetto Doppler trasverso E la relazione inversa Confrontando questa espressione con quella ottenuta nel caso classico troviamo una perfetta corrispondenza per piccole velocità ( ) Una notevole differenza si ha a grandi velocità per per cui classicamente ma relativisticamente (effetto Doppler trasverso) 18