Meccanica 3 7 marzo 2011 Cinematica in due dimensioni Vettore spostamento. Velocita` media e istantanea Componenti cartesiane e polari. Velocita` azimutale Coordinata curvilinea Accelerazione media e istantanea Accelerazione in coordinata curvilinea Cerchio osculatore Moto circolare. Moto circolare uniforme e sue proiezioni cartesiane Vettore velocita` angolare

Moto su di un piano Ovvero moto in due dimensioni Ora è necessario specificare due coordinate per individuare compiutamente il moto di un corpo Scelte più frequenti: Coordinate cartesiane Coordinate polari Mentre nel moto rettilineo la natura vettoriale di una grandezza era manifestata dal segno, ora dobbiamo introdurre il formalismo vettoriale in modo compiuto Molto di quanto diremo per un piano può estendersi immediatamente allo spazio

Vettori su di un piano Spostamento, velocità e accelerazione sono grandezze vettoriali Ogni vettore su di un piano può essere espresso come somma di due vettori Per lo spazio: ogni vettore può essere espresso come somma di tre vettori Tra i vettori ce ne sono di particolari, detti versori o vettori unitari, in quanto hanno intensità unitaria e dimensioni fisiche nulle

Vettore posizione Il vettore posizione si può quindi scrivere In coord. cartesiane In coord. polari Ove le funzioni che moltiplicano i versori sono le proiezioni del vettore lungo le direzioni dei versori stessi Similmente in tre dimensioni In coord. sferiche

Vettore posizione Una importante differenza tra sistema cartesiano e polare è che nel primo l’orientazione dei versori è indipendente dal particolare vettore posizione e quindi dal tempo, mentre nel secondo in generale dipende da questi

Vettore spostamento È la differenza di due vettori posizione, ad esempio e

Vettore spostamento In coordinate cartesiane lo spostamento si può esprimere Ove non c’è ambiguità sui versori da usare, in quanto sono gli stessi per i due vettori posizione

Vettore spostamento In coordinate polari lo spostamento si può esprimere con i versori relativi a Ciò in pratica equivale a proiettare lungo e lungo la direzione perpendicolare, f

Vettore velocità Similmente a quanto fatto nel caso unidimensionale, definiamo la velocità media come Che è da intendersi, in coordinate cartesiane, come Cioè come la coppia di velocità medie lungo x e y

Vettore velocità La velocità istantanea è, di nuovo, il limite della velocità media quando l’intervallo di tempo tende a zero:

Vettore velocità In coordinate polari avremo Ove ora la coppia di velocità è formata dalla velocità radiale (cioè lungo ) e da quella azimutale (cioè lungo )

Vettore velocità E per la velocita` istantanea: È importante esprimere in altro modo la velocità azimutale

Vettore velocità Se l’intervallo di tempo è infinitesimo, anche il vettore spostamento sarà tale

Vettore velocità Per trovare la velocità basta dividere lo spostamento per l’intervallo di tempo: Dal confronto con l’espressione precedentemente trovata, abbiamo che la velocità azimutale è

Vettore velocità Interpretazione geometrica del vettore velocita` media: la direzione e` quella della secante alla traiettoria percorsa dal corpo in moto, individuata dai vettori e il modulo e` il rapporto tra il modulo del vettore spostamento e l’intervallo di tempo necessario a percorrerlo Considerazioni indipendenti dal sistema di riferimento

Vettore velocità Interpretazione geometrica del vettore velocita` istantanea: la direzione e` quella della tangente alla traiettoria percorsa dal corpo in moto, al tempo t il modulo e` il limite del rapporto tra il modulo del vettore spostamento e l’intervallo di tempo necessario a percorrerlo Considerazioni indipendenti dal sistema di riferimento

Velocita`: riassunto Velocita` in coordinate cartesiane: Componenti: Modulo: Velocita` in coordinate polari: Generalizzabile Immediatamente al moto nello spazio

Coordinata curvilinea Il moto lungo la traiettoria puo` essere descritto mediante una coordinata curvilinea s, misurata da un’origine arbitraria sulla traiettoria s esprime la lunghezza della traiettoria ds/dt esprime la variazione temporale della posizione sulla traiettoria, cioe` la velocita` istantanea Con questa scelta, il vettore velocita` e` determinato, istante per istante, dal modulo (ds/dt) e dal versore uT che individua la direzione della tangente alla curva O

Un risultato importante Nel definire la velocita` abbiamo introdotto il versore uT Calcoliamo ora la derivata di uT rispetto al tempo, tale risultato ci sara` utile nello studio dell’accelerazione

Un risultato importante Troviamo la differenza dei versori uT calcolati nei due istanti di tempo, con considerazioni geometriche La direzione sia individuata da un versore e, che dipende pure dai due istanti di tempo Il modulo e` dato dalla formula trigonometrica Avremo

Un risultato importante La derivata e` dunque il limite del rapporto Facendo opportune manipolazioni algebriche e applicando il teorema del limite di un prodotto : Il primo termine vale 1, il secondo termine e` la derivata temporale dell’angolo f, il terzo termine e` il versore uN perpendicolare a uT e rivolto verso la convessita` locale della traiettoria In modo simile avremmo potuto calcolare la velocita` a partire dal vettore posizione

Analogamente Possiamo ripetere le considerazioni anche per il versore r Il terzo termine e` ora il versore f

Analogamente Idem per il versore f Il terzo termine e` ora il versore -r

Velocita` in coordinate polari Con i risultati raggiunti possiamo ri-calcolare facilmente la velocita` in coordinate polari f Che e` l’espressione ottenuta precedentemente

Vettore accelerazione E` definito come Usando per convenienenza la coordinata curvilinea, eseguiamo la derivata della velocita`: Mentre per definire la velocita` basta il vettore uT, per l’accelerazione ne servono, in generale, due: uT e uN

Vettore accelerazione Il primo va a costituire l’accelerazione tangenziale cioe` tangente alla traiettoria: e` relativo alla variazione di modulo della velocita` Il secondo l’accelerazione normale, cioe` perpendicolare alla traiettoria e verso la convessita` di questa: e` relativo alla variazione di direzione della velocita`

Moto circolare Sono i moti che avvengono lungo una circonferenza Poiche’ la velocita` cambia direzione continuamente, deve essere sempre presente un’accelerazione Se la velocita` e costante in modulo il moto si dice uniforme Si puo` descrivere il moto o con la coordinata curvilinea s o con la coordinata angolare q, corrispondente all’angolo al centro sotteso da s

Moto circolare Similmente a quanto fatto per il moto unidimensionale, si definiscono Posizione angolare q Spostamento angolare Dq Velocita` angolare media Velocita` angolare istantanea Accelerazione angolare media Accelerazione angolare istantanea

Moto circolare In un moto circolare la velocita` radiale e` sempre nulla, poiche’ il raggio vettore non cambia in modulo (ma solo in direzione) La velocita` coincide quindi con la velocita` azimutale La velocita` e` costante se e solo e` tale la velocita` angolare

Moto circolare uniforme Il modulo della velocita` e` costante Quindi l’accelerazione tangenziale e` nulla Rimane l’accelerazione normale (centripeta) Il moto e` periodico con periodo T pari al tempo di percorrenza della circonferenza:

Moto circolare non uniforme Cioe` il modulo della velocita` non e` costante In questo caso c’e` accelerazione tangenziale Inoltre l’accelerazione centripeta non e` costante, cio` e` conseguenza della formula che la lega alla velocita`: Inoltre dalla relazione tra velocita` e velocita` angolare segue che quest’ultima non e` costante e quindi esiste un’accelerazione angolare

Esempio: moto circolare uniformemente accelerato Cioe` con accelerazione angolare costante Dalla formula precedente cio` equivale ad avere un’accelerazione tangenziale costante Integrando l’equazione che definisce a, troviamo per la velocita` angolare: E l’accelerazione centripeta risulta dipendente dal tempo:

Moto circolare uniforme Se proiettiamo il moto sui due assi cartesiani, con origine nel centro della circonferenza: Ove q0 e` il valore assunto dall’angolo al tempo t=0 Abbiamo ottenuto l’importante risultato che il moto circolare uniforme puo` essere pensato come la sovrapposizione vettoriale di due moti armonici di ugual ampiezza, sfasati di un quarto di periodo q R

Esercizio Trovare il moto risultante dalla sovrapposizione dei due moti lungo x e y

Esercizio Dati i due moti lungo x e y Trovare: a) l’equazione della traiettoria, eliminando il tempo dalle equazioni; b) l’espressione della distanza radiale r(t); c) l’espressione della coordinata angolare f(t); d) il vettore velocita` in coordinate cartesiane; e) il vettore velocita` in coordinate polari

Esercizio 1) n. 2.24 pag 47 MNV

Vettore velocita` angolare w Possiamo considerare la velocita` angolare del moto circolare un vettore Il modulo e` La direzione e` perpendicolare al piano del moto circolare Il verso e` determinato con 2a regola della mano destra: e` indicato dal pollice e la rotazione dalle altre quattro dita Introduciamo il concetto di asse di rotazione: e` la retta perpendicolare al piano del moto circolare passante per il centro della circonferenza Si deve pensare che il vettore w sia applicato ad un punto (per altro arbitrario) dell’asse di rotazione

Vettore velocita` angolare w Grazie ad w possiamo esprimere la velocita` come Ove r e` il vettore distanza tra il punto di applicazione di v e quello di w (punto arbitrario sull’asse di rotazione) Derivando w rispetto al tempo otteniamo il vettore accelerazione angolare a Calcoliamo l’accelerazione a con le due componenti tangenziale e centripeta: v r w aT aN a

Esercizio Un punto P si muove di moto rettilineo Un osservatore O, che non giace sulla retta percorsa da P, vede il punto muoversi con velocita` angolare w Trovare come varia w in funzione della posizione di P P O h q

Cerchio osculatore Consideriamo una traiettoria planare In un suo punto arbitrario P tracciamo una circonferenza: abbiamo possibilita` doppiamente infinite di scelta, corrispondenti alle due coordinate del centro della circonferenza Se chiediamo inoltre che la circonferenza abbia in P la stessa tangente della traiettoria, la scelta si riduce a semplicemente infinita, corrispondente alla lunghezza del raggio della circonferenza (il centro deve infatti trovarsi sulla retta perpendicolare in P alla tangente) P

Cerchio osculatore P Se inoltre chiediamo che in P la derivata seconda del cerchio sia uguale a quella della traiettoria, abbiamo una sola possibilita` di scelta Questa circonferenza, determinata univocamente, prende il nome di circonferenza osculatrice (CO) Essa rappresenta la circonferenza che meglio approssima localmente la traiettoria Il raggio R della circonferenza e` detto raggio di curvatura della traiettoria In generale la CO varia da punto a punto (o istante per istante) lungo la traiettoria, cioe` variano la posizione del centro e la lunghezza del raggio

Cerchio osculatore: casi particolari Nei punti di flesso della traiettoria la derivata seconda cambia segno (cioe` si annulla) In questo caso la circonferenza degenera in una retta Ovvero si puo` immaginare che il raggio di curvatura diventi infinitamente grande Nei punti angolosi non si puo` definire un cerchio osculatore Tutt’al piu` si puo definirne uno a destra e un altro a sinistra del punto P P

Accelerazione e cerchio osculatore P Vediamo ora che relazione esiste tra velocita` sulla traiettoria e circonferenza osculatrice Sia C il centro della CO Accanto alla coordinata curvilinea s sulla traiettoria, introduciamo anche sulla CO una coordinata curvilinea s’ Consideriamo uno spostamento infinitesimo nel punto P, questo si puo` scrivere, per definizione di CO: ds=ds’ (a meno di termini di ordine superiore a due) Se ora introduciamo l’angolo g con vertice in C e semiretta origine CP, possiamo scrivere lo spostamento infinitesimo lungo la CO in termini di quest’angolo e del raggio R della CO: ds’=Rdg Otteniamo infine ds=Rdg C P dg R C

Accelerazione e cerchio osculatore Considerazioni indipendenti dal sistema di riferimento Se ora dividiamo entrambi i membri per l’intervallo di tempo infinitesimo dt, otteniamo una relazione di uguaglianza tra la velocita` lungo la traiettoria e sulla CO: Inoltre, si puo` dimostrare che l’angolo df definito dalle perpendicolari alle tangenti in due punti infinitamente vicini della traiettoria coincide con l’angolo dg della CO, quindi La componente normale dell’accelerazione si puo` dunque scrivere (in modulo): Tale componente e` anche detta centripeta, poiche’ punta sempre, istante per istante, verso il centro del cerchio osculatore