Teoria della relatività-4 16 gennaio 2013 Nuova definizione della quantità di moto Teorema dellenergia cinetica Espressione dellenergia cinetica Energia relativistica, energia a riposo Relazione tra energia e QM Conservazione dellenergia relativistica Relazione tra forza e accelerazione Forza parallela alla velocità Forza perpendicolare alla velocità

Quantità di moto Si puo` dimostrare che in relatività bisogna introdurre una nuove definizione di quantità di moto, affinche il principio di conservazione di questa grandezza continui a valere La definizione classica viene ora sostituita da 2

33 Energia cinetica Vogliamo trovare lespressione dellenergia cinetica per una particella che viene accelerata da una forza F da velocità iniziale u A fino ad una velocità u B 3 F u

44 Energia cinetica Partiamo dal lavoro elementare Esplicitiamo il differenziale della QM Il lavoro finito è 4

55 Energia cinetica Esprimiamo u in funzione di Otteniamo Il lavoro della forza esterna si ritrova come variazione di energia cinetica del corpo (th. dellenergia cinetica) 5

66 Energia cinetica E quindi lenergia cinetica si puo` scrivere come Per determinare la costante poniamo u A =0, in tal caso =1 e K=0, ne segue Lenergia cinetica è dunque Si introduce anche lenergia relativistica Il termine è la cosiddetta energia a riposo, cioè quella posseduta dal corpo fermo Tale relazione stabilisce lequivalenza tra massa ed energia 6

77 Relazione tra K e p in meccanica classica Possiamo esprimere K in funzione di p eliminando v dalle eqq. classiche Troviamo le relazioni 7

88 Relazione tra E e p in relatività Similmente in relatività eliminiamo v dalle eqq. Dividendo membro a membro otteniamo Reintroducendo u in e sostituendo in E abbiamo 8

99 Casi limite di E e p in relatività Caso u<<c, diventa QM ed energia diventano, allordine piu` basso in u Lenergia cinetica diventa Cioè ritroviamo le espressioni newtoniane per p e K Caso ultrarelativistico u~c, QM ed energia diventano 9

Conservazione di E Si puo` dimostrare che lenergia relativistica E di un sistema isolato si conserva Poiche E è somma di energia cinetica K e energia a riposo, ne segue che, in generale, ne K ne lenergia a riposo (la massa) si conservano separatamente Vediamo un esempio semplice 10

Conservazione di E Supponiamo di avere due particelle di massa m che si urtano centralmente con velocità uguali e contrarie Inizialmente abbiamo una massa, unenergia cinetica e unenergia relativistica pari a 11

Conservazione di E Supponiamo che lurto sia totalmente anelastico, nello stato finale avremo un unico oggetto fermo di massa M Dopo lurto abbiamo una massa, unenergia cinetica e unenergia relativistica pari a 12

Conservazione di E Applichiamo ora la conservazione di E: Ne segue che cioè la massa finale è maggiore della massa iniziale Poiche lurto è totalmente anelastico, cè perdita di energia cinetica 13

Conservazione di E Per il primo principio della termodinamica ci devessere una produzione di calore Q (<0) pari alla perdita di energia cinetica Dal punto di vista relativistico, a questo calore corrisponde laumento di massa del sistema Questo è unesempio di equivalenza tra massa ed energia 14

Conservazione di E In realtà il concetto di massa va pensato non come somma delle sole masse dei singoli costituenti il sistema, ma anche dellenergia interna del sistema In tal modo la massa relativistica si conserva, è infatti unaltro modo di scrivere la conservazione dellenergia relativistica 15

16 Relazione tra accelerazione e forza Partiamo dalleq. Ricordando che Abbiamo Sostituendo nellespressione della forza e ricordando che otteniamo

17 Relazione tra accelerazione e forza Risolvendo per laccelerazione Questa eq. ci dice che in generale laccelerazione non è parallela alla forza Ci sono due casi in cui accelerazione e forza sono parallele –Quando la forza è parallela alla velocità –Quando è perpendicolare alla velocità

18 F parallela a u In questo caso particolare E laccelerazione diviene Accelerazione e forza sono proporzionali tramite il fattore detto massa longitudinale

19 F parallela a u (esempio) Consideriamo una particella di massa m e carica q, inizialmente ferma, soggetta ad un campo elettrico E diretto lungo x Passando alla proiezione lungo x E separando le variabili La soluzione è F

20 F parallela a u (esempio) Per risolvere lintegrale cambiamo variabile Quindi Risolvendo per v

21 F parallela a u (esempio) Per la posizione moltiplichiamo per v leq. del moto Ricordando che vale la relazione otteniamo e integrando Sostituendo il valore trovato per la velocità otteniamo

22 F parallela a u (esempio) Il limite per dà i risultati classici Il limite per dà il limite relativistico

23 F perpendicolare a u In questo caso particolare E laccelerazione diviene Accelerazione e forza sono proporzionali tramite il fattore detto massa trasversale

24 F perp. a u (esempio) Consideriamo una particella di massa m e carica q(<0), soggetta ad un campo magnetico B uniforme diretto lungo z e con velocità iniziale contenuta nel piano perpendicolare a z La forza agente sulla particella è ed è contenuta nel piano perpendicolare a z Da cio` segue che la velocità è sempre contenuta in tale piano B u F

25 F perp. a u (esempio) Dette t e n le direzioni tangente e normale alla traiettoria, laccelerazione diviene e leq. del moto Poiche la forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità questultima devessere costante in modulo e quindi du/dt=0, esattamente come in meccanica classica B u F

26 F perp. a u (esempio) Leq. del moto diviene allora Da cui ricaviamo il raggio (locale) della traiettoria Siccome u è costante, ne segue che, se B è uniforme, anche R è costante, cioè la traiettoria è una circonferenza B u F

27 F perp. a u (esempio) Noto R possiamo esprimere la velocità, la QM e la velocità angolare come segue

28 a caso generale Laccelerazione può essere espressa come