I dati tridimensionali

I dati tridimensionali Si misura un dato funzione di due variabili Spessore di un tavolo in funzione di x ed y Altezza slm in funzione di longitudine e latitudine Densità di galassie in funzione delle coordinate celesti ... Quindi si campiona una Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Gli istogrammi tridimensionali

Gli istogrammi tridimensionali Si divide una porzione di piano con un reticolo In ogni celletta si riporta un parallelepipedo proporzionale ad Si ottiene una sorta di selva di grattacieli Un Lego-Plot Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Gli istogrammi tridimensionali Ecco una funzione binormale, ed un campione isrogrammato Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Gli istogrammi tridimensionali Alcuni problemi: Rappresentazione degli errori Nessuna soluzione Vedere dietro Animazione Un esempio di una distribuzione binormale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Gli scatter-plots

Gli scatter-plots Un’altra soluzione: Pro e contro Si riportano i punti X,Y Si ottiene una sorta di nuvola di punti Pro e contro Visibilità immediata Buono per le statistiche Non buono per le misure (errori) Illeggibile se X ed Y non sono ben definiti (boxes) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Gli scatter-plots Ecco un’immmagine della binormale ed uno scatter plot Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Le immagini

Le immagini La scala dei grigi indica il valore della funzione Di solito bianco = alto, nero = basso Si possono usare anche scale di colore Tipiche Quella geografica (dall’azzurro scuro al marrone e bianco) Quella dei colori caldi (nero, rosso scuro, arncione, giallo, bianco, azzurrino) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Picture Element = PIXEL Le immagini Ecco un’immagine con isolivello (ad occhio) ed un plot di densità su dati simulati Un bin a due dimensioni si chiama anche Picture Element = PIXEL Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Gli isolivelli

Gli isolivelli Curve che riuniscono i punti con Non semplici da calcolare con funzioni analitiche Ancora più difficili con funzioni discretizzate Delicati problemi di interpolazione e smoothing Ecco un esempio Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Gli isolivelli Le linee del gradiente sono perpendicolari agli isolivelli Isoipse, isofote, iso... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Gli istogrammi 4-dimensionali

Gli istogrammi 4-dimensionali Si misura un dato funzione di tre variabili Temperatura in una stanza in funzione di (x,y,z) Modulo della velocità del vento in funzione di (x,y,z) Densitometria ossea ... Quindi si campiona una Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Gli istogrammi 4-dimensionali E se invece del modulo della velocità del vento volessimo la velocità vettoriale? Tre variabili funzioni di altre tre? Siamo nei guai Fluidodinamica Packages da 10000 €... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Gli istogrammi 4-dimensionali E purtroppo le applicazioni tecnologiche sono importantissime! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Le nuvole di punti

Le nuvole di punti Si ricorre a punti rappresentati in 3D Ogni punto è rappresentato in scala di colore a seconda del valore della F Si danno visioni stereo della nuvola Da osservare ad occhi paralleli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Le animazioni

Le animazioni Nel caso precedente si anima la nuvola, facendola roteare a comando Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Le sezioni ed i Trellis plots

Le sezioni ed i Trellis plots Si fanno fette della nuvola e si danno come scatter plots o immagini Si chiamano Trellis Plots (!) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un MonteCarlo piccolo piccolo

Un MonteCarlo piccolo piccolo Vogliamo riempire uniformemente di punti un cerchio Notate vuoti, addensamenti, e filamenti Che NON sono reali! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un MonteCarlo piccolo piccolo Ecco i casi con 500, 5000 punti Si impara che in 2 dimensioni le fluttuazioni sono più alte che in una dimensione Siamo in un quadrato... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un MonteCarlo piccolo piccolo Impariamo che Per dati multidimensionali occorrono statistiche tremende se si vuole che la popolazione di un bin sia ragionevole Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un MonteCarlo piccolo piccolo ...e si impara anche che i bin del bordo sono meno popolati i pixel del bordo contengono meno area utile Cerchio con quadrato... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un MonteCarlo piccolo piccolo Per avere errori del 10% occorrono bin popolati da 100 casi Con dati unidimensionali con 100 bin occorrono Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un MonteCarlo piccolo piccolo Con dati unidimensionali con 100 bin per variabile occorrono 100 volte di più per avere la stessa risoluzi!one Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un MonteCarlo piccolo piccolo ...e se le dimensioni aumentano? Peggio che andar di notte... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una costante

Un fit con una costante Ecco i dati Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una costante Ecco cosa dobbiamo minimizzare Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una costante Otteniamo una media pesata Il risultato non è eccitante, ad occhio... Il livello di confidenza è pietoso Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una retta Il caso più usato

Un fit con una retta Ed il plot Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una retta Ecco la matrice Ed i termini noti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una retta E la soluzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una retta La soluzione... Ed il grafico Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una retta Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una retta Se trascuriamo gli errori... O supponiamo che siano tutti uguali Tipico caso della regressione lineare di molti testi di statistica... ...otteniamo una retta un po’ diversa rispetto a quella giusta Ma in fondo non di tanto, ed a volte ci si può accontentare, se non si conoscono gli errori... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una retta E gli errori Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una retta Ecco le variazioni dovute alle incertezze sulla pendenza (sola) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una retta Ecco le variazioni dovute a q (solo) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una retta Ed ecco le varie combinazioni Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una retta Infine il coefficiente di correlazione La correlazione è alta Se cresce uno deve calare l’altro Il che è proprio vero... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una retta E quanto vale il livello di confidenza? Prima calcoliamo il c2 al minimo Risultato Gradi di libertà Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una retta Calcoliamo il livello di confidenza... E vediamo la curva del c2 per 8 gradi di libertà 1 – la cumulativa... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una retta Qui si vede ad occhio che una parabola andrebbe meglio... ...ad occhio... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una retta E poi la distribuzione... Moda Mediana Notate come moda, media e mediana siano diverse per una distribuzione di questo tipo! Moda Mediana Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una parabola

Un fit con una parabola Cambiamo ipotesi Supponiamo che il campione derivi da una funzione Dati 10, parametri 3, gradi di libertà 7 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una parabola Il livello di confidenza per grado di libertà cambia in questo modo Va decisamente meglio E si vede... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

E se provassimo con una cubica? Un fit con una parabola L’ipotesi parabola ha un livello di confidenza speriore a quello dell’ipotesi retta E se provassimo con una cubica? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Un fit con una cubica Stavolta è Ecco i grafici Anzitutto del fit Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una cubica Quindi dei vari c2 per grado di libertà Brusco calo e poi si smussa Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una cubica Quindi del livello di confidenza Satura La conclusione è che Un fit con una costante è fuori discussione Un fit di I grado è approssimativo Un fit di II grado è significativo Un fit di III grado è inutile Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

LIMITATAMENTE AL CAMPIONE CHE ABBIAMO IN ESAME Un fit con una cubica ATTENZIONE LIMITATAMENTE AL CAMPIONE CHE ABBIAMO IN ESAME CON DATI SUCCESSIVI LA COSA POTREBBE CAMBIARE IN MODO DRASTICO Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Un fit con una cubica La conclusione è che la cubica non è più significativa Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Fondo e segnale

Fondo e segnale Un esempio: Questo potrebbe essere un caso reale Fondo uniforme e segnale gaussiano Media: 12.5 SD: 2.5 Fondo 600 casi contro i 300 del segnale Questo potrebbe essere un caso reale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Fondo e segnale Occorre anzitutto fare delle ipotesi sul fondo Prima e dopo il segnale si fitta con una costante È possibile? Ha senso? Ci sono dei modelli teorici? Dove comincia e dove finisce il segnale? Nel nostro caso fitteremo con un fondo costante ...e costruiremo un fondo fittizio Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Si ottengono anche valori negativi! Fondo e segnale Riportiamo il segnale col fondo Il segnale col fondo sottratto SORPRESA: Si ottengono anche valori negativi! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Hanno senso i valori negativi? Fondo e segnale Hanno senso i valori negativi? Due scuole Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Fondo e segnale Sì Perchè sono il risultato di un’operazione statisticamente legittima Potremo calcolare media e SD del fondo e verificare che è compatibile con 0 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Fondo e segnale No Perchè in nessun caso potremmo trovare fisicamente un numero negativo di eventi Dobbiamo fare una sottrazione col vincolo di non scendere sotto a 0 Vincolo anolonomo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

La prima Preferenza generale Fondo e segnale Si sa benissimo cosa vuol dire scendere sotto a 0 Meglio fidarsi del formalismo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Operazioni pericolose ...anche se comuni

Operazioni pericolose Soprattutto in serie di dati Monodimensionali (time series, ...) Bidimensionali (immagimi, ...) Pluridimensionali (voxels, ...) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Operazioni pericolose Esaltazione del segnale significativo Smoothing (= spianamento) Filtraggio Fit non parametrico Interpolazione Estrapolazione Eliminazione dei dati sbagliati attenzione, attenzione, attenzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Operazioni pericolose Osservazione generale Sono operazioni accettabili Se si sa cosa si vuole ottenere Cioè Se si hanno informazioni sul segnale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy