L4 - MECCANICA: STUDIO DEL MOTO Cinematica  pura descrizione del moto Dinamica il moto è messo in relazione alle cause come e perchè gli oggetti si muovono  (equilibrio, energia, vibrazioni) La maggior parte dei fenomeni “usuali” può essere descritta dalla Meccanica Classica: v << c, d >> atomo

CINEMATICA: Moto rettilineo Localizzare un oggetto: trovare la sua posizione relativa ad un punto di riferimento Sistema di riferimento Posizione: coordinata x(t) [m] Spostamento: Dx = x2 –x1 = x(t2) – x(t1) x x o x1 x2

Velocità media: [m/s] velocità istantanea:

Rappresentazioni grafiche x(t): diagramma orario traiettoria v media = pendenza della retta che congiunge i punti x(t1) e x(t2)

Esempio: velocità media e istantanea x (m) 6 4 2 t (s) -2 1 2 3 4 Quanto vale la velocità media nei primi 4 secondi? E la velocità istantanea nell’istante t = 4 s ?

Accelerazione media: [m/s2] accelerazione istantanea:

Esempio Un’automobile passa da 0 a 90 km/h in 5 s. Quanto vale l’accelerazione media ?

Esempio La posizione di una particella sull’asse x é data dalla funzione: x = 8t2 – 6t + 4, dove le unità di misura di x e t sono espresse in m e s. Trovare le funzioni v(t) e a(t) della particella.

Riassumendo Se la posizione x è nota in funzione del tempo  possiamo trovare la velocità v e l’accelerazione a in funzione del tempo! x t v t a t

Relazioni cinematiche moto rettilineo uniforme uniformemente accelerato

Rappresentazioni grafiche Esempio: a costante x(t) x = xo + vot + ½ at2 v(t) v = vo + at a(t) a = cost

Esempio Nota la velocità della luce v = 3 .108 m/s e la distanza Sole-Terra d = 1.5 . 1011 m, quanto tempo impiega la luce del Sole per raggiungere la Terra ? Esprimere l’Anno Luce (distanza percorsa dalla luce in un anno) in km.

Si possono ricavare altre relazioni: Risolvendo rispetto a t: Sostituendo:

Caduta libera dei gravi Quando un oggetto è lasciato libero, cade verso terra; la forza che ne causa la caduta è detta forza di gravità L’accelerazione causata dalla gravità si indica per convenzione con la lettera g L’accelerazione g risulta la stessa per qualunque oggetto, è cioè indipendente dalla natura materiale dell’oggetto g = 9.81 m/s2 All’equatore g = 9.78 m/s2 Al polo nord g = 9.83 m/s2

Caduta libera dei gravi In prossimità della superficie terrestre: a = - 9.81 m/s2 = - g (il segno negativo dipende dalla scelta dell’orientazione dell’asse y)

Esempio In un cantiere una chiave inglese viene lasciata cadere da ferma da una certa altezza h e arriva al suolo con v = 24 m/s. Quanto tempo ha impiegato a cadere? Da che altezza é caduta?

Consigli su come impostare la risoluzione di un problema: a. Leggere attentamente il testo b. Fare un disegno scegliendo il sistema di riferimento c. Quali relazioni cinematiche si possono usare? d. Risolvere il problema simbolicamente e. Verificare se la risposta è dimensionalmente corretta f. Risolvere il problema numericamente.

Esempio Una palla viene lanciata lungo la verticale ascendente con velocità iniziale v0=20 m/s. Per quanto tempo rimane in aria? Qual è il valore della massima quota raggiunta? In quale istante si trova a 15 m sopra il suolo?

Esempio Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente verso l’alto un sasso. Esso raggiunge la massima altezza 1.60 s dopo il lancio. Ricade in strada dove giunge 6.00 s dopo il lancio. Determinare: a) La velocità di partenza del sasso; b) l’altezza massima raggiunta sopra l’edificio; c) l’altezza dell’edificio.

L5 - CINEMATICA Moto in due (o piu’) dimensioni RIEPILOGO – le grandezze cinematiche fondamentali: posizione, velocità e accelerazione sono vettori (caratterizzati da modulo, direzione e verso): Vettore posizione r = xi + yj + zk Vettore spostamento Dr = r2 – r1 = = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k y P r x O z

Velocita’ Velocità media: Velocità istantanea: v = v uT La velocità è sempre tangente alla traiettoria v = v uT

Accelerazione

Accelerazione - II

Total Acceleration The tangential acceleration causes the change in the speed of the particle The radial acceleration comes from a change in the direction of the velocity vector

Moto circolare

Moto circolare uniforme

Changing Velocity in Uniform Circular Motion The change in the velocity vector is due to the change in direction The vector diagram shows The magnitude of the centripetal acceleration vector is given by The direction of the centripetal acceleration vector is always changing, to stay directed toward the center of the circle of motion

Moto dei proietti È il moto di particelle di massa m che vengono lanciate con velocità iniziale vo e sono soggette alla sola accelerazione di gravità g supposta costante

Moto dei proietti Osservazione sperimentale: La pallina rossa viene lasciata cadere da ferma nello stesso istante in cui l’altra è lanciata orizzontalmente verso destra con velocità vo. gli spostamenti verticali delle due palline sono identici Il moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti

Analisi del moto dei proietti Il moto può essere analizzato separatamente nelle sue componenti: la componente orizzontale è descritta dalle relazioni cinematiche del moto rettilineo uniforme, quella verticale dalle relazioni del moto uniformemente accelerato Il moto avviene nel piano individuato da vo e g: scegliamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale orientando l’asse x orizzontalmente e l’asse y lungo la verticale

Analisi del moto dei proietti Analizziamo separatamente il moto orizzontale: e il moto verticale:

 traiettoria parabolica Equazione della traiettoria luogo geometrico dei punti occupati in funzione del tempo dalla punta del vettore posizione r(t) Eliminando t fra le equazioni del moto nelle componenti x e y: ( y = ax +bx2 con a,b cost è l’equazione di una parabola)  traiettoria parabolica

Gittata Distanza orizzontale coperta dal proietto all’istante in cui tocca il suolo La gittata è massima quando θo = 45o

Esempio 1 Nel 1996 C. Lewis vinse la medaglia d’oro nel salto in lungo con un salto di 8.50 m. Se l’angolo con cui spiccò il salto fu 23o, calcolare, assumendo il moto parabolico, il modulo vo della velocità iniziale.

Esempio 2 Dal tetto di un edificio di altezza h viene lanciata una pallina con velocità vo = 10 m/s e inclinazione θo = 30o rispetto all’orizzontale. Calcolare l’altezza h dell’edificio, sapendo che la pallina arriva al suolo ad una distanza d = 18 m dalla base dello stesso. y vo θ h d x

N.B. È necessario specificare sempre in quale sistema di riferimento si descrive il moto: le coordinate del punto, le componenti di v e di a, l’espressione analitica della traiettoria dipendono dal sistema di riferimento. Però le relazioni più generali tra le grandezze cinematiche sono relazioni vettoriali e in quanto tali sono invarianti (covarianti) rispetto alla scelta del sistema di riferimento.

Relative velocity

Relative velocity - II Reference frame S is stationary Reference frame S’ is moving Define time t = 0 as that time when the origins coincide Let v0 be constant

Relative velocity - III