TESTI UTILI PER PAPER/TESI 1 TESTI UTILI PER PAPER/TESI 1. ECONOMETRIA CON STATA - An introduction to modern econometrics using stata / C.F.Baum [330.015 195   BAU  INT] - Regression models for categorical dependent variables using stata / J.S.Long [519.536  LON-F  REG] 2. STATISTICA CON STATA / UTILIZZO STATA - A handbook of statistical analyses using Stata / Rabe-Hesketh S., Everitt B.S. [COLL. 519.502 855 369] - Statistics with Stata : updated for version 9 / Hamilton L.C. [COLL. 519.502 855 369 HAM]

PROPRIETA’ ASINTOTICHE STIMATORI OLS Finora abbiamo discusso PROPRIETA’ “FINITE” (finite sample properties) degli stimatori OLS: NON DISTORSIONE DISTRIBUZIONE NORMALE  DISTRIBUZ. t-Student della relativa statistica t: La prima proprietà deriva dalle ipotesi MLR 1-4.  La seconda dalle ipotesi MLR 1-4 + 5 (Gauss-Markov) e 6 (CLM): u~N(0,σ2) HP MOLTO “FORTE”… DIFFICILE RISPETTARLA SEMPRE!!

PROPRIETA’ ASINTOTICHE DOMANDA1: Che succede se HP6 non è rispettata? Perdiamo possibilità di usare strumenti di inferenza statistica descritti finora? RISPOSTA1: NO!! Possiamo tenerci strumenti di inferenza fin qui usati purchè n sia “molto grande” (n   ) Per n “grande” valgono infatti alcune PROPRIETA’ ASINTOTICHE, cioè proprietà “tendenziali” che OLS esibisce per n   DOMANDA2: Che succede se HP1-5 non sono rispettate? Le proprietà asintotiche “rimediano” alla distorsione di OLS che ne deriva? RISPOSTA2: Non da sole. Per n   le proprietà asintotiche consentono di garantire la consistenza delle stime “sotto certe condizioni” che variano a seconda dell’ipotesi violata: Es: Anche senza l’ HP. 4 è possibile ottenere stimatori consistenti mediante l’impiego di “variabile strumentali” ( capitolo 15)

PROPRIETA’ ASINTOTICHE Sono “speculari” alle PROPRIETA’ “FINITE”: FINITE ASINTOTICHE NON DISTORSIONE CONSISTENZA NORMALITA’ DISTRIBUZ. DI  DISTRIBUZIONE tn-k-1 E Fq,n-k-1 per statistiche t e F. NORMALITA’ DISTRIBUZ. “ASINTOTICA” DI  DISTRIBUZ. Asintotica NORMALE-STANDARD DELLA t-statistic  Distr. Asintotica LM-statistic ~ cq per restrizioni multiple. BREVE RICHIAMO DI STATISTICA

PROPRIETA’ ASINTOTICHE-RICHIAMI DI STATISTICA CONSISTENZA Sia Wn lo stimatore di un parametro Q basato su un campione di dimensione n (Y1… Yn) [NB Yi = variabile casuale che assume valore yi quando estratta] Wn è definito “stimatore consistente” di Q se: plim(Wn)=Q Ovvero: … cioè il limite in probabilità di Wn coincide con Q … cioè per n la distribuzione di Wn “collassa” su un unico valore che è proprio Q NB1 Stimatori non distorti possono essere non consistenti: per n la loro media continua a essere OK, ma la loro varianza non scende a zero NB2 Stimatori distorti possono essere consistenti

n=200 fWn(w) n=40 n=15 n=5 w Q

LEGGE DEI GRANDI NUMERI PROPRIETA’ ASINTOTICHE-RICHIAMI DI STATISTICA LEGGE DEI GRANDI NUMERI Stabilisce che la media campionaria delle osservazioni è uno stimatore consistente della media μ di una popolazione, cioè Date n variabili casuali Yi (i=1…n) indipendenti e identica- mente distribuite (i.i.d.) con media m, e definita la media campionaria delle n osservazioni, vale: plim( )=m 4 implicazioni: Se Wn stimatore consistente di Q e g(.) una funz. continua:  plim[g(Wn)] =g[plim(Wn)]  plim[g(Wn)] =g(Q) NB: qs proprietà valeva con E solo x funzioni linerari. 2. Con Wn e Zn stimatori consistenti di Q e a: 2a. plim (Wn+Zn) = Q + a 2b. plim (Wn*Zn) = Q*a 2c. plim (Wn/Zn) = Q/a se a0

NORMALITA’ ASINTOTICA PROPRIETA’ ASINTOTICHE-RICHIAMI DI STATISTICA NORMALITA’ ASINTOTICA Qual è la distribuzione asintotica di uno stimatore?  In che modo (cioè seguendo quale forma) uno stimatore consistente “collassa” con probabilità quasi certa attorno al valore Θ? Sia Zn (n=1,2…) una sequenza di variabili casuali tale che: P(Zn≤z)  F(z) per n dove F è la cumulata di una distribuzione normale standard. In questo caso si dice che Zn ha una distribuzione asintotica normale standard ( ) Esempio di “sequenza” di variabili casuali: media campionaria calcolata su 2 osservazioni ( ), poi ri-calcolata su 3 ( ), poi su 4 ( ) etc etc

TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE PROPRIETA’ ASINTOTICHE-RICHIAMI DI STATISTICA TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE E’ la versione “per le distribuzioni” della legge dei grandi numeri. Sia (Y1… Yn) un campione casuale, dove Yi sono variabili casuali i.i.d. con media m e varianza s2 vale sempre: FINE “RIPASSO” STATISTICA torniamo alle proprietà asintotiche OLS

CONSISTENZA OLS Lo stimatore OLS è consistente se: plim( )= . bj n=40 PROPRIETA’ ASINTOTICHE OLS CONSISTENZA OLS Lo stimatore OLS è consistente se: plim( )= . n=40 n=15 n=5 bj

TEOREMA: Le ipotesi Gauss-Markov 1-4 garantiscono consistenza OLS PROPRIETA’ ASINTOTICHE OLS - CONSISTENZA TEOREMA: Le ipotesi Gauss-Markov 1-4 garantiscono consistenza OLS Dimostrazione per regressione semplice (generalizzabile al caso multivariato): Numeratore: Da cui:

Legge dei grandi numeri assicura: PROPRIETA’ ASINT. OLS - CONSISTENZA Da cui: Legge dei grandi numeri assicura:

NB In questo caso perdi però non-distorsione PROPRIETA’ ASINTOTICHE OLS - CONSISTENZA Ipotesi GM3: Da cui: COROLLARIO: Consistenza di OLS assicurata anche sostituendo l’ipotesi GM3 con l’ipotesi più debole: GM3’: E(u)=0 e Cov(xj,u)=0 NB In questo caso perdi però non-distorsione

DISTORSIONE ASINTOTICA PROPRIETA’ ASINT. OLS - CONSISTENZA DISTORSIONE ASINTOTICA Se l’ipotesi GM3 non è assicurata, nemmeno nella versione debole GM3’, per n permane una distorsione pari a: nel caso della regressione semplice nel caso della regressione multipla con variabile omessa  POSSO RAGIONARE SUL SEGNO DELLA DISTOR- SIONE ASINTOTICA CON GLI STESSI CRITERI USATI PER LA DISTORSIONE FINITA

NORMALITA’ ASINTOTICA OLS E INFERENZA SU GRANDI CAMPIONI Di tutte le ipotesi GM, la GM6 è la più “forte”. Tuttavia per n “grande” la legge dei grandi numeri e il teorema del limite centrale ci assicurano l’applicabilità degli strumenti di inferenza statistica anche in assenza di GM6 TEOREMA - Sotto ipotesi GM1-GM5 vale:

COSA INTENDIAMO PER n “GRANDE”?  Risposte puramente convenzionali. NORMALITA’ ASINTOTICA OLS Sotto ipotesi GM6 era: Di fatto il teorema ci dice che per n possiamo ancora usare t-test visto che tn-k-1 N(01) Se n è “grande” posso considerarlo come “tendente” a infinito e applicare inferenza statistica senza indagare sul rispetto ipotesi GM6 COSA INTENDIAMO PER n “GRANDE”?  Risposte puramente convenzionali. Valori t-student “molto vicini” a norm. std. per n>120 Dipende molto anche da: - grandezza relativa a k - grado di indipendenza delle osservazioni

TEST LM (Lagrange Multiplier) NORMALITA’ ASINTOTICA OLS TEST LM (Lagrange Multiplier) Se n il test F è OK Tuttavia si usa spesso un test con finalità simili chiamato LM test  verifica ipotesi nulla di validità q restrizioni Eseguo regressione “ristretta”: Eseguo regressione dei residui stimati al pto 1. su TUTTE le variabili: Calcolo della regressione al pto 2. Si dimostra che:  Procedo come al solito (valore critico, intervalli confidenza etc.) nR2-statistic

EFFICIENZA ASINTOTICA OLS Sotto le ipotesi GM1-5 si dimostra che OLS è stimatore asintoticamente efficiente (ha la varianza asintotica più piccola di ogni altro stimatore).