Intervista virtuale al genio M.C. Escher, Three Spheres II. Litografia,1946 Prova individuale Cianca Giovanna Università Cattolica del Sacro Cuore Matematiche Elementari da un punto di vista superiore Anno 2010 -2011

Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, 17 giugno 1898 – Laren, 27 marzo 1972) Autoritratto - Litografia, 1948

Presentazione È stato un incisore e grafico olandese. È conosciuto principalmente per le sue incisioni su legno, litografie e mezzetinte che tendono a presentare costruzioni impossibili, esplorazioni dell'infinito, tassellature e motivi a geometrie interconnesse che cambiano gradualmente in forme completamente differenti. Le opere di Escher sono molto amate dagli scienziati, matematici, logici e fisici che apprezzano il suo uso di poliedri, distorsioni geometriche ed interpretazioni originali di concetti appartenenti alla scienza.

Arte in gioventù Come hai maturato esperienza nell’arte, nel disegno,nell’architettura? Dopo le Superiori, quando mi sono iscritto alla Scuola di Architettura e Arti Decorative di Haarlem ho studiato architettura per un breve periodo, ma presto ho prediletto le arti decorative, studiando sotto l’artista Samuel Jesserum de Mesquita. In quegli anni ho ottenuto una certa esperienza nel disegno e in particolare nell'incidere il legno, così nel 1922 ho lasciato la scuola.

Rendimento scolastico A proposito di scuola, puoi raccontare la tua esperienza? “Alle superiori ero molto scarso in aritmetica e in algebra perché avevo, e ho ancora una grande difficoltà nell’astrazione di numeri e lettere. Più tardi, quando la mia immaginazione venne attratta dalla stereometria [geometria solida] le cose andarono un po’ meglio, ma a scuola non riuscii mai ad avere buoni risultati in queste discipline. Ma il percorso della nostra vita può prendere strane svolte”.

Eppure il tuo amico grande fisico e matematico Roger Penrose scrive"Non crediate affatto a quello che Escher racconta sulla sua ignoranza matematica. Forse non aveva dei buoni voti, o forse non aveva avuto un buon rapporto con i professori. Ma una conoscenza molto chiara ed approfondita della matematica e della geometria ce le aveva eccome. D'altra parte questo è evidentissimo nei suoi disegni".

Sì, nei disegni che faccio applico regole matematiche senza alcuna fatica. Non è come a scuola!

Ispirazioni A che cosa o a chi ti ispiri per realizzare i tuoi lavori? Nel 1922, visitai l'Italia e fui impressionato dalle sue campagne a cui spesso mi ispiro. In Spagna, nel’autunno dello stesso anno rimasi impressionato dall‘Alhambra di Granada, famoso palazzo moresco del Trecento. Vi conobbi i particolari arabeschi che adornano gli interni di questo edificio e che spesso sono caratterizzati da motivi grafici ricorsivi, un tema che ho sviluppato nelle mie tassellazioni. Nelle mie opere le invenzioni e le fonti di ispirazione sono comunque molteplici: dalla psicologia alla matematica, dalla poesia alla fantascienza...

Decorazione dell’Alhambra Rimasi estasiato dalla bellezza dei disegni astratti che ornavano le pareti del palazzo. L’arte di riempire un piano con uno schema ripetuto raggiunse il suo massimo sviluppo proprio nella Spagna del tredicesimo secolo, dove i Mori usarono tutti i diciassette gruppi di simmetria, nelle loro intriganti decorazioni dell’Alhambra. La loro preferenza per gli schemi astratti era dovuta alla stretta osservanza del precetto del Corano: “Tu non disegnerai alcuna figura...””. Approfondii così lo studio matematico del piano.

Per catturare l’infinito La divisione regolare del piano divenne un mezzo per catturare l'infinito; ho tentato di imprigionarlo in una composizione "chiusa": non tollero di troncare brutalmente la ripetizione, teoricamente infinita, dei motivi periodici.

Componente matematica Perché la componente matematica è molto presente nelle tue opere? "Nelle mie stampe cerco di mostrare che viviamo in un mondo stupendo ed ordinato."

Triangolo di Penrose Prova a descrivere alcuni concetti. Molti dei mondi che ho disegnato nelle mie opere sono costruiti attorno a oggetti impossibili come Triangolo di Penrose

Salita e discesa Il concetto del Triangolo di Penrose è utilizzato come struttura fondamentale per la stampa “Salita e discesa” del 1960

Cubo di Necker Oppure in altre opere uso maggiormente illusioni ottiche come il Cubo di Necker Il trucco: piuttosto che posteriormente, come si doveva, aver fatto passare anteriormente il fondo della base del cubo.

Belvedere Il Cubo di Necker è la struttura fondamentale della stampa “Belvedere” del 1958

Sono particolarmente esperto nell’arte relativa alla ricopertura del piano, effettuandola mediante trasformazioni isometriche di un motivo fondamentale (il modulo o pattern) ma anche mediante altri tipi di trasformazioni, ad esempio mediante similitudini e, mediante trasformazioni su piani non euclidei.

Isometrie Tra le principali trasformazioni geometriche del piano reale si annoverano le isometrie, cioè le particolari trasformazioni geometriche che conservano la distanza tra punti.

Per comprendere

Geometrie Due rette aventi una perpendicolare in comune nelle tre geometrie. Nella geometria iperbolica le rette divergono, ed è quindi possibile trovare molte rette parallele (cioè che non si intersecano). Nella geometria ellittica le rette convergono e quindi non esistono rette parallele.

Negando il V postulato di Euclide e nella geometria non euclidea in cui esistono più parallele a una retta passanti per un punto, si può tassellare la superficie sferica del piano di Poincarè. Questo procedimento permette di rappresentare l’infinito in una porzione finita di piano.

Modello di geometria iperbolica Disco di Poincaré Nella figura è descritta una tassellazione del disco tramite triangoli iperbolici: nonostante appaiano diversi, questi triangoli sono in realtà tutti congruenti, cioè di eguale grandezza. A partire da tassellazioni di questo tipo ho costruito alcune delle mie famose litografie. M.C. Escher, Circle Limit I (1958) with geodesics in red.

Geometria iperbolica Nella geometria iperbolica, le rette parallele generalmente "divergono" e gli angoli interni di un triangolo sono più piccoli che nella geometria euclidea. Questo è quanto accade ad esempio per le geodetiche su una superficie a forma di sella come questa. in geometria differenziale, una geodetica è una particolare curva che descrive localmente la traiettoria più breve fra punti di un particolare spazio.

Concetti Proviamo a descrivere meglio i concetti sottesi nelle tue opere? Le implicazioni logiche, matematiche, geometriche e fisiche sono piuttosto variegate, e coinvolgono concetti quali: Infinito e frattali Tassellature Autoreferenzialità Effetto Droste – processi ricorsivi Nastro di Mobius - Concetti topologici Moto perpetuo Spazi dimensionalmente diversi Relatività

Concetti di infinito e frattali Ho già parlato dell’infinito (sia filosofico che matematico), preludio alle geometrie frattali a sviluppo infinito. Lo ritroviamo ad esempio nelle mie opere sul tema del “limite del cerchio”, dove un motivo ripetitivo si espande nell'infinitamente piccolo.

Per capire lo spazio infinito che ho voluto rappresentare Poniamoci al centro del disegno e supponiamo di voler camminare fino al bordo di esso. Mentre camminiamo ci restringiamo sempre di più, proprio come accade ai pesci della figura. Per raggiungere il bordo quindi dovremmo percorrere una distanza che ci sembrerà infinita, ma essendo immersi in questo spazio non ci parrà subito ovvio che ci sia qualcosa di inusuale. Questa rappresentazione dell'infinito anticipa di qualche decennio la formulazione matematica del concetto di frattale ad opera di Beniot B. Mandelbrot. M.C. Escher, Circle Limit III, 1959.

Concetto delle Tassellature Le tassellature consistono nella ripetizione ritmica di forme congruenti. "tessere" ripetute con tutte le possibili variazioni.

Semplici disegni periodici Guardiamo i semplici disegni periodici seguenti. Si nota subito che la somma delle ampiezze degli angoli dei poligoni regolari accostati attorno allo stesso vertice è un angolo giro. In questo caso, se si vogliono adoperare tasselli di una sola forma, è necessario che l'angolo interno del poligono sia un divisore dell'angolo giro affinché sia possibile coprire il piano accostando più tasselli.

Nella creazione di tassellature ci si pone il problema di come far combaciare una figura con la sua copia adiacente, senza che rimangano spazi vuoti, sia utilizzando figure concave che figure convesse. La carta quadrettata si presta bene a queste esplorazioni. lettere N, X e Z ripetute ed opportunamente accostate. Sequenza riconoscibile in due diverse direzioni, orizzontalmente e verticalmente

Utilità didattica Possiamo quindi scoprire la grande utilità didattica del ricoprire superfici mediante tassellature. La tecnica del “disegno periodico” può essere un buon mezzo per conseguire i principali obiettivi della geometria, quali l’orientamento, il riconoscimento, la localizzazione di oggetti e forme e, in generale, la progressiva organizzazione dello spazio. Con l’esercizio delle tassellature il bambino acquisisce intuitivamente la prima delle sei forme fondamentali sottostanti alla divisione regolare del piano (la griglia quadrata).

Disegno periodico Sì, sono vere e proprie lezioni di trasformazioni geometriche e sono ritenuti luminose esposizioni visive di molti concetti scientifici. Sono anche un mezzo esemplare con cui si riesce a sintetizzare graficamente forme di fantasia e regole geometriche estremamente sofisticate e con cui esplorare tutte le possibili simmetrie del piano, riempiendolo di complesse ed affascinanti tassellature che si incastrano e si ripetono all'infinito, mutando l'una nell'altra in un continuo gioco di percezione tra soggetto e sfondo.

Immaginazione ed inventiva L'immaginazione e l'inventiva, oltre alla tenacia, sono indispensabili in questo lavoro: sono qualità che derivano da un qualche luogo, posto 'al di fuori di noi stessi', ma possiamo facilitare loro la strada, incoraggiarle e coltivarle in vari modi. (M.C. Escher

Concetto dell’autoreferenzialità in Mani che disegnano vediamo due mani ognuna delle quali disegna l’altra formando un anello che in qualche modo ci riporta all’immagine dell’ouroboros, il serpente che si morde la coda. M.C. Escher, Drawing Hands. Litografia, 1948.

Concetto di processo ricorsivo I processi ricorsivi, quali l‘Effetto Droste, collegati a particolari rotazioni del piano, come in galleria di stampe, dove un visitatore, guardando fuori da una finestra della galleria rivede l'edificio contenente anche se stesso, in una successione potenzialmente infinita.

Escher non avrebbe potuto ultimare il quadro senza essere incoerente rispetto alle regole secondo cui stava dipingendo il quadro. Al centro resta quindi una “macchia” bianca, il centro del vortice, che è e deve essere incompleto. M.C. Escher, Print Gallery. Litografia,1956.

Concetti topologici Questioni di topologia, esempio la percorrenza di una superficie bidimensionale estesa in uno spazio tridimensionale come Nastro di Möbius percorso da formiche. Il nastro di Mobius II

Il nastro di Moebius è una superficie con una sola faccia Il nastro di Moebius è una superficie con una sola faccia. Si ottiene unendo le due estremità di un nastro di carta, ma dopo avergli dato mezzo giro di torsione, unendo cioè l’angolo destro di un lato con quello sinistro dell’altro, a differenza di quanto si fa per formare con un nastro un normale cilindro.

Le proprietà particolari In questo modo si ottiene una superficie dalle proprietà particolari: per esempio, percorrendola come fanno le formiche nel disegno, ci si ritrova “sotto” il punto di partenza senza bisogno di bucare la carta o di sconfinare oltre il bordo. Così, volendo dipingere una sola faccia del nastro, si dipinge inevitabilmente anche l’altra. Questo non accade nelle normali superfici bilaterali, come il cilindro o la sfera, dove per passare da una parte all’altra occorre appunto attraversare la superficie. Inoltre tagliando un normale nastro cilindrico a metà, parallelamente alla base, si ottengono due nastri con uguale perimetro e metà altezza. Nel nastro di Moebius si ottiene invece un solo nastro di metà altezza e con il perimetro doppio rispetto a di quello iniziale.

Concetto di moto perpetuo In moto perpetuo, un trucco percettivo permette il disegno di una cascata che aziona un mulino e la stessa acqua torna ad alimentare la cascata.

Concetto di spazi dimensionalmente diversi Spazi dimensionalmente diversi che si incontrano, come in rettili, dove piccoli animali preistorici escono dal mondo bidimensionale di un libro, per poi ritornarvi. (rappresentante di piastrelle – rettile)

Concetto di relatività In relatività Escher usa tre diversi punti di fuga per dare origine ad una raffigurazione unitaria che rappresenta, simultaneamente, tre mondi distinti. Escher, nella sua composizione, ci induce a credere che tre diverse forze di gravità operino nel medesimo tempo.

Libertà d’interpretazione “Un giorno una signora mi telefonò e mi disse: -Signor Escher, sono affascinata dai suoi lavori. Nella sua composizione “Rettili” ha raffigurato in maniera convincente la reincarnazione.- Le risposi: -Se Lei crede di trovarvi ciò, sarà davvero così-”

Ottica globale In tutte le opere non vi è solo la fredda logica delle scienze esatte, ma mondi naturali con panorami, scorci, piante ed animali reali od immaginari.

Ambiguità di significato Nelle mie opere, l'ambiguità visiva diventa ambiguità di significato, con la conseguenza che i concetti di positivo e negativo, corretto e scorretto, sono intercambiabili.

I contrasti “La vita è possibile soltanto se i sensi percepiscono i contrasti. Un suono monotono d'organo, sostenuto a lungo, diventa insopportabile per l'orecchio, come per l'occhio la contemplazione di una grande parete in tinta unita, o perfino di un cielo senza nubi...” (M.C. Escher) 

Artista come un medium “Benchè impegnato in uno sforzo consapevole e personale, mentre muove la matita sul foglio, l'illustratore ha la sensazione che stia avvenendo una specie di magia. Gli sembra di non essere lui stesso a decidere le forme ... come se fossero i colori a guidare o impedire i movimenti della mano che disegna, come se l'artista fosse un medium.” (M.C. Escher) 

Rapporti e quantità “Non è affascinante rendersi conto che non c'è immagine né forma e neppure tonalità di colore che possa esistere autonomamente? Che per tutto ciò che possiamo osservare con lo sguardo dobbiamo fare riferimento ai rapporti e ai contrasti? Se una quantità non può essere confrontata con un'altra, non esiste.” (M.C. Escher) 

Le COSTRUZIONI con Escher

http://nextloop. wordpress http://nextloop.wordpress.com/1-il-ciclo-in-immagine/21-le-figure-impossibili-di-mc-escher/ http://it.wikipedia.org/wiki/Maurits_Cornelis_Escher http://www.focus.it/Scienza/domande_e_risposte/quali-caratteristiche-ha-il-nastro-di-moebius.aspx http://www.youtube.com/watch?v=wItLdM62q94 Escher, Marco Bussagli, ART, Giunti