1 4 a lezione - laboratorio a.a Corso di Laurea Ingegneria MECCANICA

2 Esercizio 1 (Esame 02/12/2002) Si considerino i sistemi lineari A i x i =b i, i=1,2,3 con i vettori dei termini noti b i, i=1,2,3 scelti in modo che la soluzione dei sistemi sia i =[1,1,1,1] T, i=1,2,3. Supponiamo che:

3 Si determini con MATLAB, il condizionamento K 2 (A i ), i=1, 2, 3 e si verifichi che K 2 (A i ) = (K 2 ( A 1 ) ) i, i=2, 3. Si spieghi il motivo di tale relazione e se ne prevedano le conseguenze. Quesito 1

4 Si costruisca un file MATLAB: Cognome_Nome.m, che una volta avviato: a) faccia visualizzare una schermata con i dati personali (Cognome, nome, matricola, corso di laurea) ed una breve presentazione del problema; Quesito 2

5 b) mediante un ciclo for, determini i dati A i, b i, i=1, 2, 3; risolva quindi i sistemi applicando il metodo di Gauss con pivoting parziale; calcoli lerrore relativo in norma 2; Quesito 2b

6 c) faccia visualizzare una tabella riassuntiva che riporti: intestazione: indice iter soluzione errore; e su ogni riga il valore dellindice i della matrice, il numero di iterazioni iter effettuate nel raffinamento, la soluzione corrispondente scritta come vettore riga e lerrore relativo err ; Si utilizzino i seguenti formati di stampa: 1 cifra intera per il valore di i ; 2 cifre intere per il valore di iter ; 10 cifre decimali e formato virgola fissa per le componenti di ; 2 cifre decimali e formato esponenziale per err. Quesito 2c

7 Soluzione teorica del Quesito 1 Proprietà della matrice e conseguenze.

8 Soluzione teorica del Quesito 1 Proprietà delle matrici Analogamente per i = 3. K2(A1)K2(A1) per la simmetria di quindi:

9 Istruzioni relative al Quesito 1 clear all disp('Numero di condizionamento delle matrici Ai') A1=[ ; ; ; ]; cond_Ai=[];cond_A=[]; for i =1:3 Ai=A1^i; cond_Ai=[cond_Ai,cond(Ai)]; % vettore dei cond(Ai) cond_A=[cond_A,cond(A1)^i]; % vettore dei % cond(A1^i) end disp('cond(Ai)') disp(num2str(cond_Ai,'%13.3e')) disp((cond(A1))^i') disp(num2str(cond_A,'%13.3e')) Nome file script: punto1

10 Output punto1 >> punto1 Numero di condizionamento delle matrici Ai cond(Ai) 6.499e e e+011 (cond(A1))^i 6.499e e e+011 >> Conseguenze del numero di condizionamento grande?

11 Calcolo della soluzione di >> x1=A2\b2 % Operatore \ x1 = >> err1=norm(x1-alfa)/norm(alfa) err1 = 1.53e-009=.153e-008 >> nc=log10(K2) nc = Numero di cifre significative perse 9 cifre signific., 8 decimali corretti

12 Come incide il valore di K 2 (A 2 )? >> A2m=A2; >> A2m(2,2)=A2(2,2)+1e-3; % perturbazione data % sulla matrice >>pert=norm(A2-A2m)/norm(A2) pert = e-006 % entità della perturbazione >> x1m=A2m\b2 % soluzione perturbata x1m = >> err1m=norm(x1m-alfa)/norm(alfa) err1m = >100% !!!

13 Istruzioni relative al Quesito 2a clear all disp('Cognome e nome studente: XXXX XXX') disp('Numero di matricola: XXXX') disp(Corso di Laurea: XXXX) disp(' ') disp('Questo programma calcola e visualizza la soluzione dei ') disp('sistemi lineari A_i x_i=b_i, i =1,2,3, con i vettori b_i tali che sia') disp('alfa=[1,1,1,1]'',essendo: ') A1=[ ; ; ; ]; disp('A1=');disp(A1) disp( 'e A_i= A1^i per i=2,3.')

14 Output file Cognome_Nome.m >> Cognome_Nome.m Cognome e nome studente: XXXX XXX Numero di matricola: XXXX Corso di Laurea:XXXX Questo programma calcola e visualizza la soluzione dei sistemi lineari A_i x_i=b_i, i =1,2,3, con i vettori b_i tali che sia alfa=[ ]', essendo: A1= e A_i= A1^i per i=2,3.

15 Istruzioni relative al Quesito 2b tab=[]; alfa=ones(4,1); % soluzione for i =1:3 A=A1^i; b=A*alfa; % vettore termini noti [L,U,P] = lu(A); %[L,U]=lu(A); y = forwsub(L,P*b); % y = L\(P*b); x = backsub(U,y); % x=U\y; R=eye(size(A)); [x,iter]=raff_iter(A,b,L,U,P,R,x); err=norm(alfa-x)/norm(alfa); tab=[tab;[i,iter,x',err]]; end Istruzioni di gausspv_r.m

16 Risultati File Punto 2b Tabella Punto 2c fprintf('i iter \t\t\t soluzione \t\t \t\t errore \n') fprintf('%1d %2d %14.10f %14.10f %14.10f %14.10f %12.2e \n',tab'); iitersoluzioneerrore e e e- 007

17 Esercizio 2 Sia dato il sistema lineare avente la matrice dei coefficienti ed il vettore dei termini noti così assegnati:

18 Problema I°: quesiti 1, 2 1.Si studino le caratteristiche della matrice A e si stabilisca quale tipo di fattorizzazione è possibile effettuare. 2.Si risolva il sistema usando ogni tipo di fattorizzazione possibile e con loperatore \ applicato alla matrice A ed al vettore b.

19 Caratteristiche di A: conseguenze Caratteristiche di A: a) simmetrica b) tridiagonale; c) diagonalmente dominante; d) definita positiva perché è a), c) e tutti gli elementi in diagonale principale sono >0. Conseguenze: a) È possibile la fattorizzazione A=L*U; b) È possibile la fattorizzazione di Cholesky A=R*R

20 Verifica MATLAB e soluz. sistema I0=[ ];I1=[ ];[n,m]=size(A); A=diag(I0)+diag(I1,-1)+diag(I1,1); % matrice A b=[3 –2 1 –1 3 4]; % termine noto A==A; % controllo simmetria for i=1:size(A,1) minore(i)=det(A(1:i,1:i)); end % minori principali di testa disp(minore) [L U P]=lu(A) % fattorizzazione LU Rt=chol(A) % fattorizzazione di Cholesky y=Rt\b;alpha=Rt\y; %soluzione sistema utilizzando Chol y=L\b;alpha1=U\y; %soluzione sistema utilizzando A=Lu alpha2=A\b % soluzione sistema (\ utilizza A=LU)

21 1.Si studi la convergenza dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel e Rilassamento in serie (SOR) per il sistema assegnato. 2.Si dica quale di questi metodi è il più veloce giustificando teoricamente la risposta e calcolando, mediante Matlab, i raggi spettrali delle rispettive matrici di iterazione ed il valore ottimale del parametro per il metodo SOR. Problema II°: quesiti 1 e 2

22 3. Si costruisca un file MATLAB che: a) calcoli la soluzione numerica del problema assegnato applicando il metodo con convergenza migliore e fissando una precisione non inferiore a 1.e-4 ed un vettore di innesco pari a x0=[ ] T ; Quesito 3a

23 b) faccia visualizzare una tabella riassuntiva che riporti: intestazione: iterazioni soluzione errore; e su ogni riga il numero di iterazione iter, la soluzione corrispondente e la norma del residuo err ; Si utilizzino i seguenti formati di stampa: 2 cifre intere per il valore di iter ; 5 cifre decimali e formato virgola fissa per la soluzione approssimata ; 1 cifra decimale e formato esponenziale per err. Quesito 3b

24 Soluzione quesito 1:Convergenza dei metodi Caratteristiche di A: a)diagonalmente dominante Jacobi conv. b)tridiagonale anche Gauss-Seidel converge, inoltre: c) simmetrica d) definita positiva anche SOR converge per

25 Qual è il metodo più veloce? Il metodo più veloce è SOR se si assume:

26 Istruzioni relative ai quesiti 1, 2 % file Punto2 I0=[ ];I1=[ ];[n,m]=size(A); A=diag(I0)+diag(I1,-1)+diag(I1,1) D=diag(diag(A)); B_J=eye(n)-inv(D)*A; % metodo di Jacobi rho_J=max(abs(eig(B_J))) R_J=-log(rho_J) omega=1; % metodo di Gauss-Seidel OE=-omega*tril(A,-1); B_GS=eye(n)-omega*inv(D-OE)*A; rho_GS=max(abs(eig(B_GS))) R_GS=-log(rho_GS) omega_ott=2/(1+sqrt(1-rho_GS)) % metodo SOR OE=-omega_ott*tril(A,-1); B_r=eye(n)-omega_ott*inv(D-OE)*A; rho_r=max(abs(eig(B_r))) R_r=-log(rho_r)

27 Risultati file Punto2 rho_J = R_J = rho_GS = R_GS = omega_ott = rho_r = R_r = rho_J = R_J = rho_GS = R_GS = omega_ott = rho_r = R_r =

28 Istruzioni relative ai quesiti 3a, 3b b=[ ]'; K=cond(A,inf); precisione=input('precisione = '); % 1.e-4 toll=precisione/K % toll = e-006 x0=ones(n,1);omega=omega_ott; [x,iter,err,rho]=Gauss_Seidel_ril(A,b,x0,omega,nmax,toll); it=[1:iter]'; tab=[it x err]; s=' '; disp(s) fprintf('iter soluzione errore\n') disp(s) fprintf('%2d %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %9.1e\n…,tab');

29 Risultati quesiti 3a, 3b iter soluzione errore e e e e e e e e e e-006 Si invitano gli studenti a determinare la soluzione con precisione = 1.e-8 e riportare le componenti della soluzione approssimata con 10 cifre e virgola fissa.